第三章中值定理与导数的应用学习指导.doc

第三章 中值定理与导数的应用一、知识脉络 拉格朗日定理罗尔定理柯西定理泰勒公式推广推广推广特殊特殊特殊 二、重点与难点1重点：拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间，求函数的极值，求具体问题的最大最小值。2难点：柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。三、问题与分析1学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题：洛尔定理是一个函数满足3条，拉格朗日定理一个函数满足2条，柯西定理是两个函数满足2条，才有相应结论；定理的条件是充分的，但不是必要的；三个定理都是存在性定理，只肯定了有存在，而未指出如何确定该点。2学习罗必塔法则应注意问题： 罗必塔法则仅仅用于型和型未定式；如果不存在（不包括），不能断言不存在，只能说明罗必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限；，也叫未定型，必须转化为型或型之后，方可用罗必塔法则求极限； 思路“：型转化为或型； 可通分转化为型或型； 型转化为，其中指数是型； 型转化为，其中数是； 型转化为，其中指数是型。 罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用； 有时要连续用几次洛必塔法则，每一次都要验证是否是型或型。3学习函数单调性应注意的问题： 如果在某个区间内只有有限个点处等于零，在其它点处均为正（或负）时，则函数在该区间内仍为单调增加（或单调减少）；求单调区间的步骤：先令，求出驻点与不可导点，这样的点将定义域分成了几个区间；再在每个区间内验证的符号，若为正，则单增，若为负，则单减。4学习函数极值应注意的问题： 函数极值是一个局部性的概念，它只与极值点邻近的所有点的函数值相比较是大还是小，并不是说它在定义区间上是最大或最小。因此一个函数可能存在其极大值小于极小值的情形；求函数极值的步骤：先求的解以及不存在的点，这些点是可疑的极值点；其次，可疑极值点将的定义域分成了几个区间，在每个区间考察的符号；最后确定极值点；极值点与极值是两个不同的概念。5学习函数最值应注意的问题： 极值点是函数在一点附近函数值的大小比较，是局部性质，而最大值最小值是在区间上的性质；最值在区间的端点和极值点上产生。所以确定最大值最小值的步骤为：首先求出定义域；然后求出，求出可疑点；最后比较可疑点的函数值与边界处的函数值。6学习凹凸性应注意的问题： 用一阶导数确定单调区间，用二阶导数确定凹凸区间及拐点，确定拐点时不但需要，而且还要在该点的左右变号；拐点一定是坐标形式的点，拐点的表达与极值点的表达不同，拐点是曲线上的某一点。7学习渐近线应注意的问题：函数的图形不一定有渐近线；渐近线分为水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线。8学习泰勒展开式应注意的问题： 麦克劳林展开是特殊的泰勒展式；用关于的次多项式近似表示函数时，一定有一个余项，该余项即误差一定是的高阶无穷小量；应该熟记一些常用的泰勒展式。9证明不等式的方法有：利用单调性；利用中值定理 关键在于构造一个函数，这就需要分析不等式的特点。10求具体问题最值的步骤分析问题，明确求哪个量的最值；写出函数关系式。确定函数关系常常要用几何、物理、化学、经济学等方面的知识，函数关系式列出后，依具体情况要写出定义域；由函数式求驻点，并判断是否为极值点；根据具体问题，判别该极值点是否为最值点。一般如果函数在连续，且只求得唯一的极值点，则这个极值点就是所求的最值点。最后写出最值。四、解题格式例1 函数在区间上是否满足罗尔定理的条件？如满足求出定理中的。解：因是多项式，故满足： 在上连续；在内可导，且；所以在上满足罗尔定理条件。令得.例2 求极限. 解：原式.例3 设，试证. 证法一：用中值定理 设，则 在上连续；在内可导，且则存在，使即因为，故又因为，故，从而所以. 证法二：用函数的单调性 设，则 因为，故，即 从而当时是单调减少的 又所以当时，有即故.例4 求函数的单调区间和极值。解：的定义域为 令，得 当时，不存在. 故定义域分为，列表为02不存在-0+极大值极小值由极值判别法知为极大值点，极大值，为极小值点，极小值。在和内单调增加，内单调减少。6