第三章中值定理与导数的应用学习指导.doc

第三章 中值定理与导数的应用
一、知识脉络

拉格朗日定理
罗尔定理
柯西定理
泰勒公式
推广
推广
推
广
特殊

特殊

特殊

二、重点与难点
1．重点：拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间，求函数的极值，求具体问题的最大最小值。
2．难点：柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。
三、问题与分析
1．学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题：
①洛尔定理是一个函数满足3条，拉格朗日定理一个函数满足2条，柯西定理是两个函数满足2条，才有相应结论；
②定理的条件是充分的，但不是必要的；
③三个定理都是存在性定理，只肯定了有存在，而未指出如何确定该点。
2．学习罗必塔法则应注意问题：
①罗必塔法则仅仅用于型和型未定式；
②如果不存在（不包括），不能断言不存在，只能说明罗必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限；
③，，，，也叫未定型，必须转化为型或型之后，方可用罗必塔法则求极限；
思路“：型转化为或型；
可通分转化为型或型；
型转化为，其中指数是型；
型转化为，其中数是；
型转化为，其中指数是型。
④罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用；
⑤有时要连续用几次洛必塔法则，每一次都要验证是否是型或型。
3．学习函数单调性应注意的问题：
①如果在某个区间内只有有限个点处等于零，在其它点处均为正（或负）时，则函数在该区间内仍为单调增加（或单调减少）；
②求单调区间的步骤：先令，求出驻点与不可导点，这样的点将定义域分成了几个区间；再在每个区间内验证的符号，若为正，则单增，若为负，则单减。
4．学习函数极值应注意的问题：
①函数极值是一个局部性的概念，它只与极值点邻近的所有点的函数值相比较是大还是小，并不是说它在定义区间上是最大或最小。因此一个函数可能存在其极大值小于极小值的情形；
②求函数极值的步骤：先求的解以及不存在的点，这些点是可疑的极值点；其次，可疑极值点将的定义域分成了几个区间，在每个区间考察的符号；最后确定极值点；
③极值点与极值是两个不同的概念。
5．学习函数最值应注意的问题：
①极值点是函数在一点附近函数值的大小比较，是局部性质，而最大值最小值是在区间上的性质；
②最值在区间的端点和极值点上产生。所以确定最大值最小值的步骤为：首先求出定义域；然后求出，求出可疑点；最后比较可疑点的函数值与边界处的函数值。
6．学习凹凸性应注意的问题：
①用一阶导数确定单调区间，用二阶导数确定凹凸区间及拐点，确定拐点时不但需要，而且还要在该点的左右变号
②拐点一定是坐标形式的点，拐点的表达与极值点的表达不同，拐点是曲线上的某一点。
7．学习渐近线应注意的问题：
①函数的图形不一定有渐近线；
②渐近线分为水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线。
8．学习泰勒展开式应注意的问题：
①麦克劳林展开是特殊的泰勒展式；
②用关于的 次多项式近似表示函数时，一定有一个余项，该余项即误差一定是的高阶无穷小量；
③应该熟记一些常用的泰勒展式。
9．证明不等式的方法有：
①利用单调性；
②利用中值定理
关键在于构造一个函数，这就需要分析不等式的特点。
10．求具体问题最值的步骤
①分析问题，明确求哪个量的最值；
②写出函数关系式。确定函数关系常常要用几何、物理、化学、经济学等方面的知识，函数关系式列出后，依具体情况要写出定义域；
③由函数式求驻点，并判断是否为极值点；
④根据具体问题，判别该极值点是否为最值点。一般如果函数在连续，且只求得唯一的极值点，则这个极值点就是所求的最值点。
⑤最后写出最值。
四、解题格式
例1 函数在区间上是否满足罗尔定理的条件？如满足求出定理中的。
解：因是多项式，故满足：
①在上连续；
②在内可导，且；
③；
所以在上满足罗尔定理条件。
令得.
例2 求极限.
解：原式.
例3 设，试证.
证法一：用中值定理
设，则
①在上连续；
②在内可导，且
则存在，使
即
因为，故
又因为，故，从而

所以.
证法二：用函数的单调性
设，则
因为，故，即
从而当时是单调减少的
又
所以当时，有
即
故.
例4 求函数的单调区间和极值。
解：的定义域为

令，得
当时，不存在.
故定义域分为，，，列表为

0

2

不存在
-
0
+

极大值

极小值

由极值判别法知为极大值点，极大值，为极小值点，极小值。
在和内单调增加，内单调减少。
6