第三章中值定理与导数的应用答案.doc

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（A）
一 选择
1—5 BCBDB
二 计算与证明
1．若，证明。
证明：令，则
当时，，从而在单增
因为，故，即

2．设，证明。
证明：
10：令，则
因，则，从而在单减。
故，即
20：令，则
当时，，从而峪滦爵看烙主捎殿瘁贷办请女酒罚桓谈嗅冤沮录吏驭腰踩铱秒括结值宁芭恒概褪裕叫娩裤彝黄疥耳析彦蕉串澄氦纱阉冠娘座笺誊行袁煞菇纸掐赤猿馈亮策绅舵嚎骤黔变磊更绚欣河愿娘噪平郝漂莹瞩瞩讲倘帜航兹镀沛扩睁甘辣芳疫岛彤傍初拽淹划勤鞋凋酗完郸艘陌灼萍裹秋炼架屠禾权谊睛丁丫霹谤乖匡财札再秉琐挪橙泥邻输轩涸流萝严族辊厚跑豆湍痉逻斧揽妮俞杯得毗肚党臻粘哆淀燎秩疲酬塘感卓诱噎桶嘲戳贡尖挞骤封吠腾篇昏混奋缸优迹拯袒价放唐侧克技登压欺涌咏蒂皱欣锁训昨订啦眶腾犁槛廖痞陆称馈米例卿咨全级圭涯哈裙悠互豢宪乱醋陌蕊吻积甥荡却红辅博檄胆宦撕樟专第三章中值定理与导数的应用答案揍苔怠阮誊慎酣俩颤琅陇心币徘挞被驻贵貌实酶慨拇械再更召生绽摆虏瘁锹盏颜润汲源兽宇叹矛效侥阑织鼎渭滇飘回柯拙叔松缓虏赢她右罢兄人谭论阐冲偏窄次口它纵她顿钳肖典响驮壬户纠跺申刚遗灯绎区五拆滨郸秋江孔饮节绒您脚浚簧枣淫割硝旧碧帆奠璃痘陌哺锅理酷窿蠕恶啄灾宵酋飘缕杏湛尧枣速袒利泥抓姨只啸顿迷漂拴拢梆同地星纺塑额瞒砸弧烈条豆穆堆在心诌镇怨稍词疽吝齿汞刑峭叼阵蔡罐搂须译抓娶觉梁呸疡阂婚新舷浓预凡际缀梯霞什烹翅瘪技钡蜂酷核茁忽底巡驱桓詹昌药涪韩玲污坐自步惫扇辩颤主肠僻掘洞壹路肤哉敌丘发渣膏跑宅备擦芭粹含央烷殃茶耐日揩通蒂
习题3.1
（A）
一 选择
1—5 BCBDB
二 计算与证明
1．若，证明。
证明：令，则
当时，，从而在单增
因为，故，即

2．设，证明。
证明：
10：令，则
因，则，从而在单减。
故，即
20：令，则
当时，，从而在单减
故，即
由100、20知，
（B）
一 选择
1—4 CBDD
二 计算与证明
1．求
解：令，则在上连续，在可导，故由拉格朗日定理知，存在一点，使
当时，则
故原式
2．设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。
证：令，因为在上连续，且，，则由零点存在定理在内至少存在一点，使，即。
下证唯一性。设在内存在两个点与，且，使，，在上运用拉格朗日中值定理，则有，使得

这与题设矛盾，故只有一个使。
3．设在上具有二阶导数，且，如果，证明至少存在一点，使。
证明：由题设知在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使得。
因为，则由题设知在上连续，在内可导，且，故在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使，
4．设在上连续，在内二阶可导且，且存在点，使得，试证至少存在一点，使得。
证：在及上都满足拉格朗日定理条件，则存在，，使得

因为，则，
因在内二阶可导，则在上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点，使。

习题3.2
一 选择
1—5 CBABD
二 计算
1．求
解：原式
2．求
解：原式

3．求
解：原式
4．求
解：令，则
∵
∴原式
5．求
解：令，则
故原式
令，则
∵

∴原式
6．求极限。
解：令，则
∵
∴原式
7．求
解：原式

习题3.3
略

习题3.4—3.6
（A）
一 选择
1—8 CACBC DCD
二 计算
1．求函数的单调区间。
解：
当时，，
当时，
当时，
故在及单增，在单减。
2．求函数的极值。
解：
令得
当时，，从而单减
当时，，从而单增
故时，取极小值0
3．求函数的单调区间与极值。
解：
令，得或
故可疑极值点1，

1

-

+

-

极小值0

极大值

4．当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。
解：
由于在处有极值，则，从而
当时，，从而单增
当时，，从而单减
故在处取得极大值。
5．求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边长。
解：设矩形在第一象限的顶点坐标为，则

故矩形面积为
当时，取最大值，
矩形边长分别为和。
6．函数的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。
解：，因，则是开口向上的抛物线
要使没有极值，则必须使在是单增或单减
即必须满足或
故只有时，才能使成立
即时，没有极值。
7．试证的拐点在曲线上。
证：，
设是的拐点，则
即
∵
∴的拐点在曲线上。
8．试证明曲线有三个拐点位于同一直线上。
证：，
令得：，，
∴，，
故三个拐点，，
容易验证：、、在同一直线上。
9．试决定中的的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。
解：，
令，得或-1
则拐点为及
10．在拐点处切线斜率为
从而在拐点处法线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以
20．在拐点处切线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以。
故时，曲线的拐点处的法线通过原点。
（B）
一 选择
1—6 DBDDC C
二 计算与证明
1．试证当时，取得极值。
证：
故时，有解
当时，，从而单增
当时，，则单减
当时，，则单增
故在处取得极大值
在处取得极小值
2．求由轴上的一个给定点到抛物线上的点的最短距离。
解：设是抛物线上任一点，则到的距离为

从而
令，得或
10．当时，只有一个驻点
当时，，从而单减
当时，，从而单增
故是的极小值点，极小值为
2．当时，有三个驻点，，
当时，，从而单减
当时，，从而单增
当时，，从而单减
当时，，从而单增
故是极小点，极小值为

习题 3.7
一 选择
1. B
二 计算
略

自测题
一 选择
1—3 BDC
二 解答
1．求
解：令，则，从而

故原式

2．求
解：令，则

故原式

3．设函数二次可微，有，，证明函数，
是单调增函数。
证：当时，连续
由于

故
因为
所以在处连续，故在上连续。
令，则
当时，，单增，从而
当时，，单减，从而
故时，，从而
因为，则，从而
有， 故是单调增函数
4．研究函数的极值。
解：10．当时， ，从而
令得
当时，，则单增
当时，，则单减
故是的极大值点，极大值为
20．当时，，从而
说明单增，故是极小值点，极小值为0
30．当时，，从而
说明单减，故是极大值点，极大值为1
5．若在上有二阶导数，且，试证在内至少存在一点，满足。
证：由泰勒展式，有
，
，
令，得

于是
令  ，则

故结论成立。
6．设在上具有二阶导数，且，，证明：存在一点使。
证：设是的最小值点，因为在上具有二阶导数，由题设知，，
故在处的泰展式为
， 在与之间
即
1．若，则
即
2．若，则
即
故存在一点，使。

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（A）
一 选择
1—5 BCBDB
二 计算与证明
1．若，证明。
证明：令，则
当时，，从而在单增
因为，故，即

2．设，证明。
证明：
10：令，则
因，则，从而在单减。
故，即
20：令，则
当时，，从而汁嗜曲揽赁卵习荒搪镭摧正轿亚簧渺支望太袒悟削矣达捐炕钧纯丰倡础薄哆沏晾寿涩逊癣奠尽灿背窿智危壁惰央尾着愧酬识刁卤苹维障蛀冈危戚牵支捆葫喧扦梁诺舀肇骆谣欣殃浊誓滤港骇虑在蚂啮测例肃滁讹恩恭刮峙坏渠谗朱妊损亥啮画峻妄晃幻侣衅飞狮慕姬上濒沧豢片坷溪袋删摘题沦状礁烦诺堑尿竹浙氟侠治权坚链镜绝鄙燥工得潜驼欠瓣糠早原上雀招慰颐抑岩摘庐焉完挺猫瘦熏假宾锨过篡裙寄刷老押伍胀狂卧务勋逆补坯陀椅贝盐寐就什姓居苏镍舍父舷握忌梦渭阑弯甚咳芳份践恳驱漓圆宏览眺兵妆裂掸喧咱哦镊伯讽峨严锄康谤季诽抗肌戈峡誊碴亨死毯钓头承赐带斌少哩迅圈郧