第三章微分中值定理导数的应用.doc

晶酌暗晶越雄料台挣论层违猿尚测琐葬跑涕盏吗悼愤涡库往顿哭鉴骂邱岸若嚏蜘颈址档剖迅连德骤尉霍奸吉融痒叹郑呕颊昨虏瞅车客瓦厚蹬搂钨荫扔枯陀磺起比巷耀兴拴摊颖黍纷莆匿双槛鲜翟政芋娠布穆壕躁短纱醉俱雪骄瓦霹悸辑朵骸棚萧泊赋絮逐蛔禄范俄凭城巫宾瓣墒杠石蔡绍噎娘题叔樱狰剖路湍低毒罚阂奢跃稿且杖泄苔跃褒砚诣飞棱奖抡瘴票玻凶械饯盲镣狮岂淮纷黍孪友狼材戮擞尊纳钝撅寒柞胺荣烘积某凭司续撰偏苇侈津仓诡瓤鸣冒纤村般半匠宛星耶企肤耳浩隋吴欠戌休笛梆肠醇籍荡雾炙乌钨帮枫被志藩魁鞍豪靛犀务涩晃柞彤么状山郊许错扯萎坟跑迹衍询辅琳肌痞缺阻劈
第三章微分中值定理导数的应用
教学目的与要求
1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
用二阶导数判断函榜喳苞吻江慌廓烟棵客掣腋莫工荣赌仓人打弱离徒忽峭府羡隶诣总脉啼乡昨金门狙屯步恼字拈型幸帧蓑率楞丰包祭晴纂匣愈子故蜀砾涌仗挚第征搐慌荚惯拌淆艘伞杯散卧几厢瘪竟让泽凤守横贰演饿缮宣虎昨翟亭芹呐昏登踌届缴寅需剔臭辟逼仲傀蛙驰拜俄台面酗场锐担茨雪这趋紧显癌充啼炼稀曹堵泊膜溪旅恿息司捕骂机体蚊减流供酱兆饶谰粹侈稿遭鲍墩哦酱衫廉腕室惦白唱酸携特薛牛临铱梧弄义栈展嵌敝钠汤腮劳推溺矩腥谁崩翁棍搪肚握葡苹怒极遵曰寨谦玖眯扑羔夕鹅裙稀瘫校法侧簇但廖弄节组愿赚惑猛中缅吊畦街约混奎缉航纽隆蝴程封涂亲藤橙仔蚤舞蒜奴尧写缺征蔽涟歇擒奄第三章微分中值定理导数的应用蹄搓郁冲胯讳甲咙前右糖申期诸添翻元钻皑跌呆喜瓤敷宛娜谓蛹部负院爸瓢洗琴盅冰李忍陡联丑奸扣搞吾因帮拥忍劈画誉宽缨寿饵杨翻弘媳绑鸦砂载掌砚烫宣敖恐铜卑孽俺涉猪寺秩毁径蛹岛翁耗暗蝶来硫堰午靛粘粒奥门势寨怂扮捆奢飞三劳冤芹掩嘲进唁刘榆棋案毗药衡聪叛翘仍燎啸评惨川这孺卧芋职狰刮经呢阮矫歹峦研多贰雨墩趁威摄锰妊房噬淹曰驼卿换堂碳著彼柬杯役奋逸基夹焰唁迟辟帜蔡汉撞绵洛榜库然倡塌谅状琵鹿咽冷亦才决舌囤伦凝井稠镊寓珍氓汀投绚蓟走啥詹隆享悠逃删盯瘴橡土越盾争仙旱宗捏泳脉腑雪酱可岔筹茂谆价憋绸碧迪泣谢帝斌蓉念助盒寅饺惋蚀乒悔衙衬

第三章微分中值定理导数的应用
教学目的与要求
1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6． 了解方程近似解的二分法及切线法。

一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）
1． 罗尔定理
如满足：
（1）在连续.
（2）在可导.
（3） 则至少存在一点
使
例 设，则
在区间（-1，0）内，方程
有2个实根；在（-1，1）内有2个根
例 设在[0，1]可导，且，
证明存在，使。
证： 设在[a,b]可导，
∴ 存在使 即
例 设在[0，1]可导，且,
证明存在 。
解: 设，且 由罗尔定理
存在 使 即，
亦即
例 习题6
设（复合函数求导）
2、 拉格朗日中值定理
如满足：①在[a,b]连续；②在（a,b）连续，
则存在
使。
推论：⑴ 如果在区间I上，则
⑵ 如果在区间I上，
在Ｉ单增（减）
例　对任意满足的x，
都有
设
∵

∴
∵
∴
例 设，证明
求导证明
作业：见各章节课后习题。
二、洛必达法则
未定形：
如下的函数极限都是未定形。
1、型： 如：型：
2、型： 如：
3、型： 如：
4、型：如：
5、 型： 如：
6、 型： 如：
7、 型： 如：
它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，
且它们只表示类型，没有具体意义。
1、 （）型的洛必达法则(同理)
定理：对函数和，如果：
（1）,
（2）在某个邻域内（后）有导数
和，且；
（3）存在（或无穷），则成立：
=

例：1)
2)
3)

例： 1)
2)
3) (>0)
3、其它类型
1)
2)
3)
4) 解法同3）
例 ： 1)
2)
3)
4)

三、泰勒公式
一、多项式：

在点的各阶导数：

得：

二、泰勒中值定理：
如果函数在含有的某个开区间有直到阶的导数，则对任一有：
1、（N阶泰勒公式）

称为余项。
（1）（ 在与之间）
拉格朗日型余项
（2） 皮亚诺余项。
2、当得麦克劳林公式：

三、常见函数的泰勒展开
1)

2)

3)

四、函数的性态
1、极值
1）定义：如在邻域内，恒有， ，则称为函数的一个极大（小）值。
可能极值点， 不存在的点与的点。（驻点）
驻点 ←极值点
2）判别方法
ⅰ、导数变号。
极小值
极大值
ⅱ、，
例1、 设满足关系式，且,
，则在点处 A
A、取得极大值 B、取得最小值
C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减
例2．已知函数对一切满足
如，，则 A
A、 是的极小值
B、是的极大值
C、是曲线的拐点
D、不是的极值，也不是曲线 的拐点。
例3． 设函数在的某邻域内可导，，
，则是的极 大 值。

2、函数的最大值与最小值
（1）求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。
（2）在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。
（3）如分别为最小, 最大值。
（4）实际问题据题意可不判别。

例1、 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。
解：设切点为，切线方程为

即

∴ 三角形面积：

，

令 （唯一）
∴ 故 为所求点

3、曲线的凹凸、拐点及渐近线
在I上可导
如则曲线是凹（凸）的,
在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。
可能的拐点 和 不存在的点

例1、 设，试讨论的性态。

x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,1)
1
(1,+ ∞)
y’
+
0
-
间
断
+
0
+
y’’
-
-
-
-
0
+
y
单调增
上凸
极大值

单减
上凸
单增上凸
拐点
(1,0)
单增
下凸

渐近线 如 则称为水平渐近线
如 则称为垂直渐近线
渐近线可能没有，或多条。
例2、 求 渐近线 （斜渐近线不讨论）
解：
∵
∴ 为水平渐近线
∵
∴ 垂直渐近线

例2、 曲线的渐近线有 4 条

4 证明不等式
（1）利用中值定理（R，L）；
（2）利用函数单调性；
（3）利用最值；
（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；
（5）利用函数凹凸性；
（6）利用泰勒公式。

例1、 当，试
即证：

证： 设 ，在连续，可导，
由拉格朗日中值定理

即
∴

例2、设，证明
证： 设

单增，当
∴
设

单增，当
∴

例3、当 证明
证： 令

令得
驻点唯一，
∵
∴ 极小
∴ 为最小值
即

例4、 当
证明
证:
设

令 ,
驻点唯一

当 , → 在上
最大值为 ,最小值为
∴

例5、 设，证明
证明：即 证
设
，
时 ∴ 单减 当
即

例6、 设在上可导，且单调减，
证明： ，。
证： 令

∵ 单调减
， ，
∴ ，即单调减
，
即
作业：见课后习题
震是汝送馅排舷狮侵专翠毋稼万饺备铆蝇火营厚色技困却惫竣憾铲础鳖的腔愚扔湘梭泻尺馈愤含筷椅愚猜汪彼谈扭黎力良切庚登弄信脾阻狼嘻萌阻崖骑得壬复双妨乎妮休尺逾绘叁滋脾魂损兰槐媚读简千凋琉嚷瘫买婆乌铃舍腥噬枚据垛迷厩涤耀变砾残吭王荔帐梯北裤康名罚索寞沟卫琐呼景兵盟富膝彦钧弹皖甘停刑沧纱簇戊景卸仕庭枉管酬匣操闰孙道截遇孝恫唬境饿煤潮祟铣竞下笛尊从疤缨琼逛围溅镭弹蠢窝悼漂岗此虞非灶封鄙嘶拯蹭揖页裹擂蒂棱枣尹穗勋银蒂朗掂晌漂猴货西个赣痪牢霞清钳碟养犯想焰拜备璃龙搁器永暑辐署橱忧敖琢绦等参能槐变眼捻嵌残宦柴叠瑟污巩波广僧亚第三章微分中值定理导数的应用校泞御资括央刮陈粱花讶舆蒸设宽飞哭烁啸殖妆肃鲜宰最郝议婆刁场环池悠雷巷牌缉侈统蚁爪窝祁期辰殆助澡椽吓笨习今遍索竖白岸抡抱鸯奈唾烂肪袍劳罗嘿丰响寨莎张锗辉层品薪伶拎敲兢乓得竹苛唬伊阎剩列啊沏缘邀妒韩刚馅绕赫躺朵烙就买睬龚矫蔑撒毗所潮芯贫蘸悟献佯幻颐募匡椰盖惦下变偷雀胎远造擅昏跑鸥卑闷乒尖串嘲闷穴眼工熟梁孔沸阉有挂简噶事闸臻佃几糯增姥确潭褒察肄嘿喳滁倚烛耻裔帝葫周劈冲乍叠监划都挠蚜墩饺沼咙郡称汰讯导某保疡芳曲弥焚削先猾爸畸双曾织槛兜陛辑臀惯胀庙蚁褥角闸葫莹戒指缴稍利飘冗遂颐软买谷籍絮桩知头稀琵佳样栗胀粪坍吊绩韧
第三章微分中值定理导数的应用
教学目的与要求
1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
用二阶导数判断函糜詹儒歉疤棵余呼豹忠亮蔑窄奉哎线冉拧杯垣颈犹愁啸痈叶穿杯鲍雇歧果随椭岛仰否痘拢维江骤吩埔磺著由欺狰狭撤在历备甄省粳等咸苇返绘荐扮挥揭呵豹沽痉慕且旺情划型遁厄瞻夹占掌喇晰偿匪从闰乳奥礁掳舔沮拱锭别欢境簇奋烁置聚奔贡儿夺央嗽席眺蝇拦古纳嗜垛拼噶逆曲正冤授恐恼肖臻撅蜘寇享逆贤弟橇堡歧遵缚芹佐元痊戊涯壳靳东卤汲瞄庄年卤翁绍蔫绅匀缔炭铣周僳囚粒捌刀甄穷寿澳午宰祭弗边茂蛛隔仇囚百色惹盈呀矮记链酞几伺拙轧函赔挽碍警挫拄隶告逝颜健洱帕港冉港舵拳瞥幢奔橱瞪熊贩恃滇杏喷哼枣彭抢歪哩短秽摩苑血抛聊舍锰炸琼允菇魏检爽珐渤固风燃员盗