第三章中值定理与导数的应用0.doc

第三章 中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用
§1 中值定理
必作习题
P166 1，2，3，5，6，7，10
必交习题
一、 证明：当时，。

二、证明方程只有一个正根。

三、设在上连续，在内可导，证明在内有一点，使得

四、证明：若函数在内满足关系式，且，则。

五、设函数在的某邻域内具有阶导数，且
，
试用柯西中值定理证明：

§2 洛必达法则
必作习题
P171 1 (2) (4) (5) (7) (11) (13) (15)，2
必交习题
一、 求下列极限
（1）=

（2）=

（3）=

（4）=

（5）=

（6），其中。

§3 泰勒公式
必作习题
P177 1，2，3
必交习题
一、 求函数的二阶麦克劳林公式。

二、 求函数的阶麦克劳林公式。

三、当时，求函数的三阶泰勒公式。

四、当时，求函数的阶泰勒公式。

§4 函数单调性的判定法
必作习题
P182 1，2，3(1) (2) (4) (5)，4(1) (3)，5
必交习题
一、 确定下列函数的单调区间：
（1）；

（2）

二、 证明：当时，；

三、设在上，证明函数在上是单调增加的。

§5 函数的极值及其求法
必作习题
P189 1 (3) (4) (6) (7) (12)，2
必交习题
一、 求下列函数的极值：
（1）；

（2）；

（3）

二、试问为何值时，函数+在=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值。

三、讨论方程(其中)有几个实根？

§6 最大值、最小值问题
必作习题
P194 1 (2) (3)，4，5，7，9
必交习题
一、 求函数在上的最大值与最小值。

二、设，求
（1）在上的最大值
（2）

三、要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高之比是多少？

四、从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗(图见P195的图3－19)，问留下的扇形的中心角取多大时，做成的漏斗的容积最大？

§7 曲线的凹凸与拐点
必作习题
P200 1 (3) (4)，2(2) (4)，3 (1)
必交习题
一、求曲线的拐点及凹凸区间。

二、试决定中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

三、利用函数图形的凹凸性证明不等式：.

四、设在的某邻域内具有三阶连续导数，如果，，而，试问是否为极值点？为什么？又是否为拐点？为什么？

§8 函数图形的描绘 §9 曲率
必作习题
P206 1，3； P217 1，2，3，4
必交习题
一、描绘下列函数的图形：
(1)

(2)

二、对数曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。

三、 证明曲线在点处的曲率半径为。

习题课
必作习题
P233 1，2，3，4，8，9，10(2)，17
必交习题
一、设在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且，证明存在一点，使。

二、设0<a<b，函数在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试利用柯西中值定理证明：存在一点，使。

三、设都是可导函数，且，证明：当时，。

四、证明不等式：当时，有。

五、设，求的极值。

六、设函数在上二次可微，且满足：(1) ；(2) ，
(3) ，证明方程在内有唯一实根。

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