26-第二章习题课(概率统计).ppt

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随机变量及其分布,习题课二,习题课二归纳了第二章的概念、理论、方法等内容，,在“例题分类解析”部分，讲解了：,1.,离散型随机变量的分布律的计算问题；,2.,根据概率分布求解概率的问题,.,3.,连续型随机变量概率密度及其分布问题；,4.,关于正态分布的应用问题；,5.,随机变量的分布函数问题；,6.,随机变量函数的概率分布问题,.,习题课二内容简介：,在第一章中,我们研究了事件及其概率问题,.,为充分利用数学工具研究事件及其概率,在本章开始引入了随机变量这一基本概念,.,任何事件,A,都可以通过随机变量,X,来描述,因此,研究事件及其概率问题就转化为研究随机变量的概率分布问题,.,第二章内容简介：,对于离散型随机变量,X,重点研究了三种常用的离散型随机变量服从的两点分布、二项分布和泊松分布,给出了随机变量的分布函数定义及其求法，考虑了离散型随机变量,X,的函数,g,(,X,),的概率分布问题,.,对于连续型随机变量,X,讨论了概率密度,函数、分布函数和随机变量的函数的概率分布问题,重点研究了三种常用的连续型随机变量的分布,均匀分布、指数分布和正态分布,.,本章重点：,1.,离散型随机变量的概率分布及其性质,;,2.,随机变量的分布函数及其性质,;,3.,连续型随机变量的概率密度及其性质,;,4.,随机变量函数的分布,.,本章难点：,1.,离散型随机变量分布律的有关计算,;,2.,连续型随机变量的概率密度的有关计算,;,3.,随机变量的分布函数的有关运算,;,4.,随机变量函数的概率分布,.,一、主要内容归纳,1.,离散型随机变量的分布律,性质,:,(1),p,k,0,k,=1,2,;,讲评,只有,p,k,同时满足上述两条性质,数列,p,k,才能成为某个离散,型随机变量的分布律,.,2.,伯努利概型,.,P,X,=,k,=,p,k,q,n,-,k,k,=0,1,2,n,.,一般地,设在一次试验中我们只,考虑两个互逆的结果,:,A,或 设我们重复地进行,n,次独立试验,每次试验事件,A,出现的概率都是,p,发生的概率则是,q,=1-,p,.,这样的,n,次独立重复,试验,称作,n,重伯努利,试验,简称伯努利试验或,伯努利概型,.,n,重伯努利试验是一种很重要的,数学模型,.,它有广泛的应用,是研究与应用,最多的模型之一,.,讲评,3.,分布函数,设,X,是一个随机变量,(,包括离散型及非离 散型,).,x,是任意实数,定义,F,(,x,)=,P,X,x,-,x,+.,分布函数的性质：,(1)0,F,(,x,)1,；,(2),F,(,x,),单调不减,即当,x,1,x,2,时,F,(,x,1,),F,(,x,2,),；,(3),F,(,-,)=,F,(+)=,称,F,(,x,),为随机变量,X,的,分布函数,有时也记为,F,X,(,x,).,由分布函数的定义知,若,F,(,x,),是,X,的分,布函,数,则有,P,a,X,b,=,F,(,b,),-,F,(,a,).,(4),F,(,x,),右连续,即对任意实数,x,有,F,(,x,+0)=,F,(,x,),；,(5),对每个,x,0,都有,P,X,=,x,0,=,F,(,x,0,),-,F,(,x,0,-,0).,定义中的,X,x,表示事件“随机变量,X,取值不大于,x,”,所以随机变量的分布,函数,F,(,x,),是以事件,X,x,的概率定义的函数,它的定义域为,讲评,其值域为,0,1.,4.,连续型随机变量的概率密度,F,(,x,)=,P,X,x,=,则称,X,为,连续型随机变量,其中函数,f,(,x,),称为,X,的,概率密度函数,简称为,概率密度,或密度,.,对于随机变量,X,如果存在一个非负,可积函数,f,(,x,),使得对于任意的实数,x,有,概率密度,具有以下,性质,：,(1),0,x,(,-,+),；,(2),(3),P,a,X,b,=,F(b,),-,F,(,a,),=,(4),若,在点,x,处连续,则有,(5),对连续型随机变量,x,，总有,性质,(1),和,(2),是连续型随机变量的,概率密度,f,(,x,),必须具有的特性，常用来检查某一函数是否是连续型随机变量的概率密度,.,性质,(3),和,(4),是由概率密度的定义导出的性质,.,性质,(3),和,(4),表明：随机变量,X,落在区间,(,a,b,内的概率等于曲线,y,=,f,(,x,),与,x,=,a,x,=,b,及,x,轴所围成的曲边梯形的面积,.,性质,(5),表明：,对于,连续型随机变量,X,总有,讲评,这与离散型随机变量是不同的,.,5.,几种重要的随机变量的分布,(1)0-1,分布或两点分布,设随机变量,X,只可能取,0,与,1,两个值,0,p,1,它的分布律是,P,a,X,b,=,P,a,X,b,=,P,a,X,b,=,P,a,X,0,则称随机变量,X,服从参数为,的,泊松分布,记为,则称,X,在区间,(,a,b,),上服从,均匀分布,.,其中,a,b,为参数,且,a,0,是常数,.,服从参数为,的指数分布的随机变量,X,的分布函数为,(6),正态分布,若随机变量,X,的概率密度为,),其中,和,(,0),都是常数,.,则称,X,服从参数为,和,的,正态分布,记为,X,N,(,时,得到的正态分布,N,(0,1),称为,标准正态分布,.,服从标准正态分布的随机变量,X,的概率密度和分布函数通常用,和,(,x,),表示,.,当,的正态分布的随机,变量,X,的分布函数是,服从参数为,和,2,应熟练掌握以上,6,种重要的随机,变量的分布，要掌握它们的分布律或概率密度,对标准正态分布的概率密度与分布函数要高度重视,.6,种分布在解决实际问题中都有着广泛的应用,.,也是经常考查的重点内容之一,.,讲评,(,x,)=,二、例题分类解析,离散型随机变量的分布律的计算问题,例,1,一批零件中有,9,个正品和,3,个次品,.,安装设备时从中任取一个,若是次品不再放回,继续任取一个,直到取到正品为止,.,求在取到正品以前已取得次品数的分布律,.,本题涉及到求离散型随机变量,分布律的问题,.,求分布律时可用前面,古典概型、条件概率、独立性、全概率公式等有关知识所学,.,分析,P,X,=2=,P,X,=3=,于是次品数的分布律为,P,3,2,1,0,X,例,2,设事件,A,在每一次试验中发生的概率为,0.3,当,A,发生超过,3,次时,指示灯发出信号,.,求进行,7,次独立试验,事件,A,发生的次数,X,的分布律,并计算指示灯发出信号的概率,.,本试验是,7,重伯努利试验,随机变量,X,应,分析,服从二项分布,.,随机变量,X,服从参数为,n,=7,与,p,=0.3,的二项分布,其分布律为,解,P,X,=,k,=,指示灯发出信号的概率,=0.0772+0.0250+0.0036+0.0005,=0.106 3.,例,3,某自动生产线在调整之后出现次品的概率为,5,生产过程中一旦出现,次品,便立即进行调整,.,求在两次调整之间生产的正品数,X,的分布律,.,由题设知事件,X,=,k,表示共试验了,k,+1,次,第,k,+1,次出现了次品,前面,k,次,都是正品,.,于是,X,的分布律为,解,P,X,=,k,=0.005,例,4,一批产品共,100,个,其中有,5,个次品,95,个正品,.,一次任意取出,10,个产品,求其中,次品数,X,的分布律,.,本题是典型的超几何分布的问题,.,分析,随机变量,X,服从参数,n,=10,M,=5,N,=100,的超几何分布,其分布律,解,P,X,=,k,=,P,-,2,X,2,P,X,3|,X,0,P,X,1|,X,3.,求,例,5,已知离散型随机变量,X,的分布律为,X,-,2,0,1,3,6,P,0.3,0.2,0.1,0.2,0.2,本题涉及到利用概率分布求概率的问题,.,由于分布律或分布函数全面地给出了离散型随机变量取值的概率特征,所以可通过它们求得事件,的概率,.,分析,2.,根据概率分布求概率的问题,解,由分布律得,=0.3+0.2+0.1=0.6.,由条件概率公式得,P,X,3|,X,0=,=1.,P,-,2,X,2,=,P,X,=,-,2+,P,X,=0+,P,X,=1,P,X,1|,X,3,=0.375.,例,6,设离散型随机变量的分布函数为,求,P,X,=2,P,1,X,4,P,X,5|,X,1.,这是通过分布函数计算概率问题,.,参见例,6,用分布律计算概率,.,P,X,5|,X,1=,分析,解,方法,1,利用分布函数的定义计算,P,X,=2=,F,(2),-,F,(2,-,0)=0.59,-,0.35=0.24,P,1,X,4=,F,(4),-,F,(1),F,(1),-,F,(1,-,0),=0.59,-,0=0.59,P,X,=2=0.24,，,P,1,X,4=,P,X,=1+,P,X,=2=0.35+0.24,=,0.59,方法,2,由分布函数可得到,X,的分布律,X,1,2,5,P,0.35,0.24,0.41,于是,P,X,5|,X,1=,3.,连续型随机变量概率密度及其分布问题,例,7,确定常数,c,使如下函数,成为某个随机变量的概率密度,.,解,令,得到,c,=1.,显然,非负性,g,(,x,)0(,x,(-,+),满足,.,所以,函数,g,(,x,),在,c,=1,条件下可以作为某,个随机变量的概率密度,.,解,Y,的概率密度,方程有实根的充要条件是,Y,4,或,Y,-,1.,解得,例,8,设随机变量,Y,服从均匀分布,U,(,-,5,5),求关于,x,的方程,的概率,.,有实根,于是有,方程有实根,=,Y,4,Y,-,1,故方程有,实根的概率为,P,Y,4,+P,Y,-,1,求连续型随机变量的有关概率问题经常用到下列公式,:,讲评,(,注意,:“540=1,-,=0.977 5.,得到,P,X,540=,又由于,P,X,360=,于是,反查正态分布表,得,解上述方程组,得,421,58,所以,N,(421.,).,已知录取率,.,设录取最低分为,a,则,0.6=,P,X,a,=1,-,P,X,a,=1,本题用正态分布估计高考录取最低分是正态分布的实际应用问题之一,.,讲评,所以该次高考最低录取分为,406,分,.,反查正态分布表,得到,=0.253,得,a,406.,由于,两步,:,未知,故解决问题可分如下,(1),由题给的高考结果的两个信息,建立关于,未知参数,的两个方程,并解之,;,(2),通过已公布的录取率,求得最低分值,.,本题涉及到已知概率密度求分布函数的问题,用公式,F,(,x,)=,去解决,.,例,10,设随机变量,X,的概率密度为,求,:(1),X,的分布函数,;(2),分析,5.,随机变量的分布函数计算问题,解,(1),由分布函数的定义知,当,x,0,时,当,0,x,1,时,当,1,x,2,时,当,x,2,时,所以,X,的分布函数为,(2),由分布函数性质可知,由概率密度,f,(,x,),求分布函数,F,(,x,),是概率,论中最基本的要求,应熟练掌握,.,6.,随机变量函数的分布问题,X,-,3,-,1,0,1,3,P,0.05,0.20,0.15,0.35,0.25,例,11,设随机变量,X,的分布律为,求,:(1),Y,=,5,-,2,X,的分布律,;,的分布律,.,(2),本题是离散型随机变量函数的,分布律问题,可用下面公式,分析,其中,解,(1),X,为五点分布,y,=5,-,2,x,为单调函数,.,故,不等时,y,i,也不等,从而,Y,的分布律为,Y,-,1,1,5,7,11,P,0.25,0.35,0.15,0.20,0.05,Z,1,2,10,P,0.15,0.55,0.30,以,Z,=10,为例,计算如下：,P,Z,=10=,P,(,X,=-3,X,=3),=,P,X,=,-,3,+,P,X,=3=0.05+0.25=0.30.,(2),由于,z,=,x,2,+1,为偶函数而非单调,通过,点分布,而是如下的三点分布,:,Z,的可能取值为,1,2,10.,关系,故,Z,不再是五,注,:,如果,g,(,x,k,),k,=1,2,中有相同的值,则把对应的概率相加,.,本题涉及到连续型随机变量函数的概率密度的问题,有两种方法,:,分布函数法和公式法,.,分析,例,12,设随机变量,概率密度,f,Y,(,y,).,求,Y,的,解,方法,1,(,分布函数法,),由题设得到,X,的分布函数,故,Y,的分布函数为,y,=,F,Y,(,y,)=,P,Y,y,=,P,所以,F,Y,(,y,)=,对,y,求导,Y,的概率密度为,f,Y,(,y,)=,方法,2,(,公式法,),X,的概率密度为,时,当,反函数,严格单调且有连续导数,由定理得,Y,的概率密度,f,Y,(,y,)=,即,f,Y,(,y,)=,例,13,设随机变量,X,服从参数为,2,的指数分布,求,Y,=,g,(,X,),的分布函数,其中,当,y,1,时,F,Y,(,y,)=,P,Y,y,=,P,g,(,X,),y,=,P,S,=1;,本题是连续型随机变量函数的分布函数求解问题,.,分析,解,=0;,当,y,0,时,F,Y,(,y,)=,P,Y,y,=,P,g,(,X,),y,=,P,由题设,X,的分布函数为,当,0,y,1,时,F,Y,(,y,)=,P,Y,y,=,P,g,(,X,),y,=,P,X,y,=,F,X,(,y,)=,所以,Y,=,g,(,X,),的分布函数,分布函数法具有普遍性,公式法要,求函数单调，反函数导数连续，对于分段函,数难于利用,.,讲评,(1),事件数量化,引入随机变量,将试验结果以及随机事件数量化,从而可以广泛地利用数学分析的知识来分析问题和解决问题,.,(2),综合交叉分析,存在既非离散型随机变量又非连续型随机变量的随机变量,.,三、学习与研究方法,(3),改变定义或定理条件,如果改变分布函数,F,(,x,)=,P,X,x,的定义,例如,定义随机变量,X,的分布函数为,F,0,(,x,)=,P,X,x,那么分布函数,F,0,(,x,),会出现许多与分布函数,F,(,x,)=,P,X,x,不同的结论,.,二者关系是,F,(,x,)=,F,0,(,x,)+,P,X,=,x,.,四、习题布置,阅读：第二章内容小结,P67,：,A,组：,7,、,8,、,9,、,10.,P69,：,B,组：,2,、,5,、,7,、,8,、,9,、,10.,参考文献与联系方式,1,郑一,王玉敏,冯宝成,.,概率论与数理统计,.,大连理,工大学出版社，,2015,年,8,月,.,2,郑一,戚云松,王玉敏,.,概率论与数理统计学习指,导书,.,大连理工大学出版社，,2015,年,8,月,.,3,郑一,戚云松,陈倩华,陈健,.,概率论与数理统计教,案 作业与试卷,.,大连理工大学出版社，,2015,年,8,月,.,4,王玉敏,郑一,林强,.,概率论与数理统计教学实验,教材,.,中国科学技术出版社，,2007,年,7,月,.,联系方式,：,zhengone,