资源描述
19.3 课题学习 选择方案(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
用函数思想解决方案选择问题——选择那种上网收费方式省钱？
2．内容解析
函数是反应变量之间对应关系和变化规律的重要模型．它在研究自然界和现实生活中的变化规律，解决相关问题中有着广泛的应用．
利用函数模型解决问题的基本过程：设变量(自变量和因变量)，建立因变量与自变量的函数关系，把实际问题转化为函数问题；其次，研究函数性质，把握变量之间的对应关系和变化规律，解决函数问题；第三，解释函数问题解的实际意义，得到实际问题的解．这种利用函数模型解决问题的过程如图1所示．
实际问题
函数问题
设变量
找对应关系
函数问题的解
实际问题的解
解释实际意义
图1
一次函数模型是最简单的函数模型——线性模型．一次函数在(－∞，＋∞)上没有最大值，也没有最小值，但由于实际问题中的一次函数的自变量取值范围往往是在某一范围内，如某一闭区间[a，b]或半开半闭区间(a，b]或[a，b)．这样，在实际问题中，往往就有存在于区间端点(闭端点)的最值．
具体的一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，函数的变化率k是固定不变的，但两个不同的一次函数往往有不同的变化率，比较变化规律是解决实际生活的方案选择问题时常用的数学方法．
综上所述，本课教学的重点是应用一次函数模型解决方案选择问题．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想．
(2)能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法．
(3)能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．
2．目标解析
本节内容属于实践与综合应用领域，是解决问题的教学，而不单纯是一次函数的应用．
目标(1)要求能根据实际问题建立一次函数模型，比较若干一次函数的变化规律和趋势，应用一次函数的相关性质解决问题，认识到函数模型的应用方法，感受函数模型的应用价值．
目标(2)要求能从不同的角度感知问题中的数量关系，对实际问题中的数量关系进行有向多元表征，构建不同的模型，用不同的方法解决问题，并能比较评价各种解决方案．
目标(3)要求在解决问题过程中，能进行“现状—目标”差距评估，调整解题思路，在解决问题后，能对解决题步骤、程序和方法进行总结提炼．
三、教学问题诊断分析
本课的认知要求高，是问题解决层次.问题解决过程需要感知和确定问题、表征和定义问题、形成解决问题策略、组织信息、资源分配、监控、评估等认知活动.问题解决学习过程有着特殊性.首先，它是指向问题的，而非指向知识的；其次，它是具有挑战性的整体问题甚至是问题情境，没有铺垫和提示；第三，它需要不断进行问题的感知、表征及转换，把整体目标分解为一系列的分目标，生成连接起点和终极目标的目标链，进行问题的不断转化；第四，解题思路不是显然的，而是要根据问题的情境和特点进行系统的规划和选择．
与数学概念、数学事实原理等学习相比，学生数学问题解决学习的经验相对缺乏，因此，在学习解决问题时会遇到较大困难，学生习惯于接受老师的解题分析，一旦自己独立面对陌生问题，往往无从下手．学生的主要困难是：(1)不会审题，难以从整体上把握问题中数量关系；(2)不能用适当的方法表示问题中的数量关系，因此就难以形成适当的数学模型；(3)不会进行系统的解题规划而习惯于提取直接的解题经验；(4)只要得到答案就完事，没有反思的习惯．
问题解决学习活动的核心价值是通过这种高层次的数学学习活动发展数学感知、表征、抽象概括、推理计算等认知能力，培养提出问题、分析问题和解决问题的能力．而这些教育价值的实现，必须以独立完整地经历相关的认知活动为前提．
本课教学的难点是规划解决问题思路，建立函数模型．
四、教学过程设计
(一)创设情境，提出问题
引言：做一件事情，有时有不同的实施方案．比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的．应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清楚地认识各种方案，做出理性的决策.请说说自己搜索到的生活中需要做比较选择的例子．
当我们面对不同的方案，怎样运用数学方法进行比较并做出合理的选择？请看下面问题：
怎样选取上网收费方式？
下表给出A，B，C三种上宽带网的收费的方式．
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/(元/min)
A
30
25
0.05
B
50
50
0.05
C
120
不限时
选取哪种方式能节省上网费？
设计意图：通过引言，让学生体会到现实中方案选择问题普遍存在，利用数学建模的方法对各种方案进行理性选择，具有重要的现实意义，在此基础上，提供一个现实问题以供研究．
(二)理解问题，明确目标
问题1 面对这样一个问题，从哪里入手？
追问1 该问题要我们做什么？
追问2 选择方案的依据是什么？
师生活动：教师引导学生通过阅读问题明确问题的起点(条件)和目标.知道根据省钱原则选择方案．
设计意图：感知问题首先要感知问题的起点和目标，即知道在什么条件下需要做什么事，在解决问题的过程中，问题的目标必须始终保持在大脑中，设计问题1及两个子问题就是为了让学生明确问题的起点和目标．
(三)分析问题，规划思路
问题2 要比较三种收费方式的费用，需要做什么？
师生活动：教师引导学生认识到需要算出三种收费方式的费用并进行比较．
追问1 方式C需要多少钱？
追问2 方式A，B的费用确定吗？影响交费多少的因素是什么？
追问3 方式A，B的费用与上网时间t有什么关系？
师生活动：教师引导形式进行如下分析：
①费用的构成要素及其关系：当上网时间不超过规定时间时，费用＝月费；当上网时间超过规定时间时，
费用
月费
超时费用
＝
＋
超时使用价格
超时时间
×
②用适当方法表示出A，B两种方案的费用．
用结构图表示数量关系(设上网时间为t h)．
方式A费用：当上网时间不超过25 h时，费用＝30元；
当上网时间超过25 h时，
费用
30
超时费用
＝
＋
0．05
60(t－25)
×
方式B费用：当上网时间不超过50 h时，费用＝50元；
当上网时间超过50 h时，
费用
50
超时费用
＝
＋
0．05
60(t－50)
×
用表格表示数量关系：
月费/元
上网时间/h
超时费用/元
总费用/元
方式A
30
t(＞25)
3(t－25)
30＋3(t－25)
方式B
50
t(＞50)
3(t－50)
50＋3(t－50)
用式子表示数量关系：设上网时间为t h，
方案A费用
方案B费用
④用函数图象表示数量关系：
25
50
30
50
120
t
y
O
方案A费用
方案B费用
方案C费用
图19. 3-2
追问4 怎样比较三种收费方式的费用？
设计意图：感知问题的整体结构和数量关系，是从粗略到精细，从定性到定量的过程，要感知本题中费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量作为研究的对象，并不是自动生成的，需要经过费用构成要素分析、各要素的可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程．在感知问题中数量关系的基础上，教师要进一步引导学生标出已知数据，设出变量或未知数，用式子表示这些数量之间关系.最终把问题转化为比较一次函数的函数值大小．
(四)建立模型，解决问题
问题3 请把原来的问题描述为函数问题．
师生活动：学生独立建立函数模型，把实际问题转化为函数问题：
设上网时间为t h，方案A费用为y1元，方案B费用为y2元，方案C费用为y3元，则
y3＝120，t≥0．
比较y1，y2，y3大小．
设计意图：通过前面的分析，在写出函数式的基础上，通过建立一次函数模型，把实际问题转化为一次函数的问题，这是感知问题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数学表征，通过这种表征，把实际问题转化为函数问题．
问题4 独立解决上面的函数问题，并进行相互交流．
师生活动： 教师引导学生解决函数问题．
结合图象可知：
(1)y1＝y2即3t－45＝50．解方程，得t＝．
(2)y1＜y2即3t－45＜50．解方程，得t＜．
(3)y1＞y2即3t－45＞50．解方程，得t＞．
令3t－100＝120，得t＝．
令3t－100＞120．解方程，得t＞．
设计意图：上述函数问题，需要在画出函数图象、观察函数图象的基础上对上网时间进行分段讨论．让学生体会根据函数图象，对整体时间做出分段规划，应用方程和不等式解决具体时间段中的函数值大小比较结果，精细分析数量关系的过程．
问题5 请解释你得到结果的实际意义，并检查自己解题过程正确与否．
师生活动：教师引导学生解释上述结果的实际意义．
当上网时间不超过31小时40分，选择方案A最省钱；
当上网时间为31小时40分至73小时20分，选择方案B最省钱；
当上网时间超过73小时20分，选择方案C最省钱．
设计意图：让学生解释数学模型解的实际意义，发展自我评价的意识．
(五)反思总结，提炼方法
请大家带着下列问题回顾上述问题的解决过程，谈谈自己感悟，分享各自观点．
1．是怎样明确问题的目标任务的？
2．是怎样发现问题中的已知数据和数量关系的？
3．是怎样发现问题中的变量及其变量之间的函数关系的？
4．回忆建立方程过程的思考框图，能画出用一次函数解决问题的思考框图吗？
设计意图：让学生带着问题回顾解决实际问题的过程，可以提高反思过程的针对性，突出反思问题解决的关键节点和核心思想这两个重点，帮助学生概括应用一次函数解决实际问题的基本思路(如图19.2.3-3)．
实际问题
函数问题
设变量
找对应关系
函数问题的解
实际问题的解
解释实际意义
如图19.2.3-3
(六)布置作业
小张准备安装空调，请调查市场上不同节能级别的空调的价格、耗电量，了解当地的电费价格，运用数学知识进行分析，给小张提一个购买建议．把你的调查分析及建议写成书面报告形式．
设计意图：课题学习不以训练技巧为目标，而是以联系实际，发展提出问题、分析问题、解决问题能力发展为目标，因此，本课安排的作业是实践性作业.同时，把实践问题解决的过程和结果作为评价学生利用一次函数模型解决方案选择问题的水平，不再设计另外的书面检测试题．
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