高考数学兵法10招(8)打蛇“七寸”-攻题“命门”.doc

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(8)打蛇“七寸”，攻题“命门”
传说人与蛇斗，要紧的是在距蛇头七寸之处给予重击，即可一击而使其至毙命，这是因为“七寸”之处是其心脏所在，蛇的心脏都瘫痪了，他还能够逞凶吗？
这些道理移植到解题上，每个题都有其“七寸”之处，也就是题的“命门”.抓住了命门这样的关键部位，解题也就不难了.
【例1】如，下列不等式一定成立的是 （ ）

【分析】从形式上看，题中的选项太复杂了.逐一分析讨论决非明智之举本题的要害之处在哪里？在含绝对值不等式的性质.看清了这一点，解题是轻而易举的.
【解析】令=，=.注意到时，＞0，，且，∴+＞2，故选.
【例2】双曲线的两个焦点为点在双曲线上，且满足，则△的面积为 （ ）

【分析】题干中含有参数，而所有选项都是常数.这一特殊结构注定解本题应走消参的道路.消参，便是本题的蛇头或“七寸”.
【解析】设双曲线的实、虚半轴，半焦距依次为，，，那么：，
=1，.不妨设点P在双曲线右支，由双曲线的定义：
∣PF1∣-∣PF2∣=2 （1） 而由条件： （2）
解（1），（2）得：∣PF1∣=，∣PF2∣=，又∣F1F2∣=2，可知：
∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2，∴∠F1PF2=90°.于是.
故选A.
【例3】对任意实数k,直线y=kx+b与椭圆
恒有公共点，则b的取值范围是
【分析】b是什么？是直线y=kx+b在y轴上的截距，
也就是x=0时y的值，这不正是本题的“七寸”么.
【解】椭圆的标准方程是：.
在如图的椭圆中，命x=0,得
y－1=±2,得y=3或－1.∴当b∈[－1,3]时，直线与椭圆
恒有公共点.
【点评】请注意“恒有公共点”几个字.若或，直线y=kx+b与椭圆也可能会有公共点，但不是“恒有”，需由斜率k之值确定.
【例4】 已知f(x+y)=f(x)·f(y)对任意的实数x，y都成立，且f(1)=3,
则.
【思考】本题的“七寸”在哪里？注意到待求值的式子是连续2005个比值之和，这些比值有什么规律？自变量的规律是明显的（分子中的自变量比分母中的自变量多1），那么函数值的相应比值呢？这正是关键所在，为此我们去向条件要答案.
【解】在f(x+y)=f(x)·f(y)中，命x=k,y=1,那么：f(k+1)=f (k)·f(1),又f(1)=3,
∴. ①
又由f(1)=f(1+0)=f(1)·f(0),知f(0)=1,故知数列f(0),f(1),f(2),……是首项为1，公比为3的等比数列.
在①中依次令k=0,1,2,……，2004，得：
.
【点评】可见：本题的关键点即“七寸”所在，是看见f(k)是等比数列.
【例5】P是圆x2+y2－4x=0上一动点，Q是射线OP上一点，满足|OP|·|OQ|=4,则点Q的轨迹方程是 .
例5图
【思考】轨迹方程是需要探求的，探求的方向何在？
找出点运动的规律，也就是相应的“七寸”.
圆（x－2）2+y2=4的圆心为C（2，0）,半径为R=2,如图，
我们先让P运动到直径的外端，即当P重合于A时，|OA|=4.
此时Q应重合于M，且由|OM|·|OA|=4.只能|OM|=1，
又因|OQ|·|OP|=|OM|·|OA|=4,知A、P、Q、M四点共圆.
∵∠OPA=90°,∴必∠AMQ=90°，这就是说：
点Q的轨迹是过M（1，0）且垂直于x轴的直线，其方程为x=1.
【评注】本题的“七寸”是用特值探究出来的其解简明、直观.
本题还有多种解法，其中较为简便的一种是：设Q（x,y）为直线
OP上一点,则射线OQ的参数方程是：
代入圆方程：t2cos2θ+t2sin2θ－4tcosθ=0,即t2－4tcosθ=0.∵t>0,∴t=4cosθ.
即是当P在圆上运动时，恒有|OP|=4cosθ.
已知|OQ|·|OP|=4,∴|OQ|cosθ=1,即得x=1.
【例7】设实数(x,y)满足方程x2+y2－2x－2y+1=0,
则的最小值是
【解析】圆(x－1)2+(y－1)2=1的圆心C(1,1)，半径r=1.
如图所示，此圆在第一象限且与两轴相切，为求的最小值.
先求的最大值.表示圆上的点（x,y）与定点P（－1，0）连线的斜率.
∴kPA≤（其中PA、PB为过P所引圆的切线）.设∠APC=∠CPB=θ,则tanθ=.
∴tan∠BPA=tan2θ=.∴.
【例8】设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 .
【思考】∵f(x)+f(1－x)=.
命x=1,2,3,4,5,6.得：f(1)+ f(0)= f(2)+ f(－1)= f(3)+ f(－2)= f(4)+f(－3)= f(5)+ f(－4)= f(6)+ f(－5)=.∴原式=.
【点评】本题的“七寸”之处在哪里？其实题本身已作了提示：“利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法”.那是什么方法？那是抓住了等差数列“与首末等距离的两项之和相等”这个“七寸”，因而采用“倒写相加”即可求和.
本题若能发现并抓住f(x)+f(1－x)=这个“七寸”，一切矛盾也就迎刃而解，但我们特别提醒，f(－5),f(－4),…，f(6)本身并非等差数列（读者可自行验证）.也就是说：与首末距离相等的两项之和都相等的数列，不一定是等差数列.
【小结】每位考生在备考之时，对于所遇到的每个问题须认真思索如下三个问题：（1）本题的条件和要求是什么？（2）题的关键点即要害之处是什么？（3）应采用何种手段才能最行之有效地破题？经多次反复训练，有了良好的“悟性”，找到“七寸”之处也就不难了.

考前预演
1. (04·浙江卷)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳一个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点的不同运动方法共有 种（用数字作答）.
2. (x2+)9的展开式的常数项是 （用数字作答）.
3.若过（m,2）总可以作两条直线和圆(x+1)2+(y－2)2=4相切，则实数m的取值范围是 .
4.已知动点P(x,y)满足10=|3x+4y|,则P点的轨迹是
5.离心率e=的椭圆称为优美椭圆，F、A分别是它的右焦点与左顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF=

参考答案
1.5；2.84；3.；4.椭圆；5，90°.