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八年级数学 等腰三角形的判定 教学目标1、理解等腰三角形的判定方法的证明过程. 2、通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力3、学生初步了解数学来源于实践，反过来又服务于实践的辨证唯物主义观点 教学重点与难点教学重点：等腰三角形的判定方法及其运用.教学难点：等腰三角形判定方法证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别.教学过程（一）、提出问题出示投影片（图形出示，内容教师讲解）。某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度就可知河流宽度。同学们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么呢？这位专家的意思是AB=BC，也就是ABC是等腰三角形，那么他是怎么知道ABC是等腰三角形的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定。（板书课题）（二）复习引入 A提问：1、 如图，在ABC中，AB = AC，图中必有哪些角相等？为什么？ 2、 反过来，若B= C,一定有AB=AC 吗？ B C3、 通过“纸制三角形实验”发现“等角对等边”的结论。这个结论是否真实可靠，必须从理论上加以证明。4、 等腰三角形判定定理的证明。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。已知：ABC中，B =C.求证：AB = AC.(学生思考：定理的证明方法。按实验小组进行分组讨论，探讨证明的思路。然后由一位学生口述，教师板书，学生评论，由此引出多种证法，再由学生归纳作辅助线的方法，教师总结。)教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形因为已知B =C.，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引出再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作ABC的平分线AD或作BC边上的高AD等，证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形（3）判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系. （三）例题教学例1某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度就可知河流宽度。这个方法正确吗？请说明理由。例2 如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DEBC，交AB于点E.判断BDE是不是等腰三角形，并说明理由。（四）小组合作练习（1）已知：OD平分AOB，EDOB，求证：EO=ED。（2）已知：OD平分AOB，EO=ED。求证EDOB。（3）已知：EDOB，EO=ED。求证：OD平分AOB。归纳总结：该图形是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形，上述练习说明在该图中“角平分线、平行线、等腰三角形”这三者中若有两者必有第三，熟练这个结论，对解决含有这个基本图形的教复杂的题目是很有帮助的。（五） 探究活动（1）已知：如图a，AB=AC，BD平分ABC，CD平分ACB，过D作EFBC交AB于E,交AC于F,则图中有几个等腰三角形?（2）如图b,AB=AC,BF 平分ABC交AC于F，CE平分ACB交AB于E，BF和BE交于点D，且EFBC，则图中有几个等腰三角形?（3）等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分ABC，CD平分ACB，过A作EFBC交CD延长线于E,交BD延长线于F,则图中有几个等腰三角形?（自己画图）（4）如图c,若将第(1)题中的AB=AC去掉,其他条件不变,情况会如何?还可证出哪些线段的和差关系? （六）课堂小结（师生共同小结）1、 等腰三角形的判定方法2、 辅助线3、 解决实际问题的关键2.4 等边三角形 教学目标1、理解等边三角形的性质与判定. 2、体会等边三角形与现实生活的联系3、理解等边三角形的轴对称性 教学重点与难点教学重点：等边三角形的性质与判定.教学难点：等边三角形的轴对称变换与旋转变换.教学过程一、 复习引入：1、回顾等腰三角形定义、性质。2、一般情况下腰与底有何关系？若三边相等又如何？3、学生举例生活中的等边三角形（交通警告标志、台球桌上用于固定起始球放置的框）二、 新课教学：1、 等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形2、 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形3、 合作学习用直尺和圆规作一个边长是3CM的等边三角形ABC讨论：(1)在ABC中，A、B、C存在什么关系？(2)任选一个角(如A),作出它的角平分线,再作出该角所对的边的高线、中线，试问这些线有何特征？(3)等边三角形有几条对称轴？这些对称轴有何特点?(4)除了定义以外,什么条件下也可以得到等边三角形?(学生分组讨论,教师提示从角、边去考虑)师生一起总结：1、等边三角形的内角相等，且为60度2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线、等边三角形的判定：(1) 三边相等的三角形是等边三角形(2) 三角相等的三角形是等边三角形(3) 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形三、 例题分析：例1：如图，等边三角形ABC中，三条内角ABCDEFO平分线AD、BE、CF相交于点O。(1)AOB,BOC,AOC有何关系？并说明理由(2)求AOB，BOC，AOC的度数，将ABC绕点O旋转，问要旋转多少度就能和原来的三角形重合（只要求说出一个旋转度数）？解：（1）AOB，BOC，AOC互相全等AD、BE、CF是等边三角形的三条角平分线AD、BE、CF所在直线是等边ABC的对称轴AOB与AOC关于直线AD成轴对称AOBAOC同理 AOBCOBAOBAOCCOB思考：能否由全等判定得到这三个全等？（2）AOBAOCCOBAOB=BOC=AOC （全等三角新的对应角相等）OA=OB=OC （根据什么？）AOB+BOC+AOC=3600AOB=BOC=AOC=3600=1200ABC绕点O旋转1200，就能和原来的三角形重合四、 练习巩固1、课本P32课内练习1、22、课本P32作业题A组2、3五、 师生小结1、 等边三角形的性质2、 等边三角形的判定3、 等边三角形的轴对称性六、 作业：作业本2.5 直角三角形（1） 教学目标1、体验直角三角形应用的广泛性，进一步认识直角三角形. 2、学会用符号和字母表示直角三角形3、经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质4、会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形教学重点与难点教学重点：“直角三角形的两个锐角互余”的性质及其应用在以后的几何学习中将得到广泛的应用，是本节教学的重点.教学难点：本节例2涉及的知识点较多，推理表述较长，是本节教学的难点.教学过程一、复习引入：1. 三角形内角和.2.等腰三角形及相关概念。3.小学已学习的直角三角形知识。（直角三角形及相关概念直角边、斜边等）学生口答后引入课题。（板书课题：2.5直角三角形）二、新课教学：1.由复习得出直角三角形的概念。板书：有一个角是直角和三角形叫做直角三角形.直角三角形表示方法：Rt.由书本图例，让学生体验直角三角形应用的广泛性。（让学生举例说明直角三角形应用）2.合作学习：（1）直角三角形的内角有什么特点？（2）怎样判定一个三角形是直角三角形？学生讨论后，小结得出：（板书）直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。结论解释，与判定、性质相联系。3.例题教学：例1 如图，CD是RtABC斜边上的高.请找出图中各对互余的角.解：ABC是Rt.A+B90CDAB（已知）ACD，BCD是Rt.A+ACD90，B+BCD90.ACBRt，ACD+BCD90.图中一共有4对互余的角，分别是A与B；A与ACD，B与BCDACD与BCD.例题小结：得到两角互余的途径.学生操作探索：这个三角形有什么特点？（给学生相应的提示：探索的内容）由学生操作探索引入等腰直角三角形的概念，并对概念作出必要的解释.（板书）一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45（为什么？）由学生口答完成。例2如图，在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则ADBDCD.请说明理由。仿书本例题解答. 例题小结.变式：（1）已知，如例2图，ADBDCD，AD是斜边BC上的高，则ABAC.请说明理由.（2）已知，如例2图，ADBDCD，B45，则ABC是等腰直角三角形.请说明理由.三、练习：见书本第35页。四、总结回顾：1、 直角三角形的概念及其应用的广泛性.2、 直角三角形的两个锐角互余。（直角三角形性质中的一条）3、 有两个角互余的三角形是直角三角形.（直角三角形判定的一种方法）4、 等腰直角三角形的概念及其相关性质。5、 注重知识间的相互联系，学会通过比较理解掌握相应的几何知识。五、作业：见书本第35页作业题。2.5 直角三角形（2） 教学目标1、掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 2、领会直角三角形中常规辅助线的添加方法3、通过动手操作、独立思考、相互交流，提高学生的逻辑思维能力以及协作精神 教学重点与难点直角三角形的性质及其应用是初中几何部分比较重要的内容，是实验几何向论证几何过渡之后学生学习几何知识的一个新的起点，有着承上启下的作用，而“直角三角形斜边中线等于斜边一半”这一性质无论在几何计算中还是在相关的推理论证中都起到很重要的作用。教学重点：“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”这一性质的灵活应用.教学难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线.教学过程1、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半学生实验：每个学生任意画一个直角三角形，并画出斜边上的中线，然后利用圆规比较中线与斜边的一半的长短。教师提问：让学生猜测直角三角形斜边上的中线与斜边一半的大小关系。教师板书性质后可以演示一下教师预先准备好的证明过程给学生看，但不要求学生掌握。课堂练习：(1)直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为。 （2）已知，在RtABC中，BD为斜边AC上的中线，若A=35，那么DBC=。2、 直角三角形性质应用举例例 如图2-18，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30的斜边，中A滑行至B。已知AB=200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少m？30ABC教师先引导学生理解题意后分析：书上分析。教师板演解题过程：解：如图作RtABC的斜边上的中线CD，则CD=AD=1/2AB=1/2200=100（ 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）AB=30（已知）DA=90B=903030CB（直角三角形两锐角互余）DCA=A=60（等边对等角）ADC=180DCAA=1806060=60（三角形内角和等于180）ABC是等边三角形（三个角都是60的三角形是等边三角形）AC=AD=100答：这名滑雪运动员的高度下降了100m。讲完后教师归纳一下“在直角三角形中如果一个锐角是30，则它所对的直角边等于斜边的一半”让学生注意书写的规范。课堂练习：P37、课内练习3、 师生小结今天学习的直角三角形性质也是以后在直角三角形中一条常用的辅助线。4、 布置作业书上作业题 1、2、3、4、52.6 探索勾股定理（1） 教学目标1、体验勾股定理的探索过程. 2、掌握勾股定理3、学会用勾股定理解决简单的几何问题 教学重点与难点教学重点：本节的重点是勾股定理.教学难点：勾股定理的证明采用了面积法，这是学生从未体验的，是本节教学的难点.教学过程（一）、创设情境，导入新课 向学生展示国际数学大会（ICM-2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。可以首次提出勾股定理。（二）、做一做 通过学生主动合作学习来发现勾股定理。 （1）、让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm，并根据测量结果，完成下列表格：abc3468512（三）、议一议1、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图象交流的基础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的勾股定理。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么。我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。2、分别以9cm 和12cm为直角边长作一个直角三角形，并测量斜边长度，请同学们两人一组讨论，三边关系符合勾股定理吗？ （四）、想一想 已知直角三角形ABC的两条直角边分别为a,b，斜边长为c，画一个边长为c的正方形，将4个这样的直角三角形纸片按下图放置。教师提出3个问题：abc （1）、中间小正方形的边长和面积分别为多少？（用 a,b 表示） （2）、大正方形的面积可以看成哪几个图形面积相加得到？ （3）、据（2）可以写出怎样一个关系式？化简后便验证了勾股定理。可以启发学生其他的验证方法。 （五）用一用 通过例题的讲练使学生体验勾股定理应用的普遍性和广泛性。 例1、已知ABC中，C=90，AB=c, BC=a, AC=b,(1) 如果求c；(2) 如果求b；可以让学生独立完成这个基本训练，但教师应强调解题过程的规范表述。例2、如图，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：mm），求两孔中心A、B之间的距离。AB160904040 首先，教学过程中应启发学生构造出含所求线段的直角三角形，从而应用勾股定理求解。 其次，应强调，构造新图形的过程及主要的推理过程都应书写完整。（六）、练一练 1、已知ABC中，C=90，AB=c, BC=a, AC=b,(3) 如果求c；(4) 如果求b；(5) 如果求a,b； 2、用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为cm。 3、利用作直角三角形，在数轴上表示。（七）、小结 1、至少了解一种勾股定理的验证方法； 2、除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理。（八）、布置作业 （见作业本2.6）一、 教学反思 本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流。适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广。2.6 勾股定理的逆定理（2） 教学目标1、掌握勾股定理的逆定理的内容及应用. 2、会应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形3、了解我国古代数学家的伟大成就，激发学生热爱祖国的思想和求知欲 4、通过研究讨论培养学生的逻辑思维能力教学重点与难点教学重点：勾股定理的逆定理是教学的重点.教学难点：教学的难点是根据勾股定理的逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形.教学方法以学生为主体通过实验的方法，研究性学习.教学用具三角板，圆规，小黑板等.教学过程（一） 复习回顾，导入新课首先回顾上节课内容：勾股定理。勾股定理体现了直角三角形的三边关系：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。这里老师有一个感兴趣的问题有待于解决，不知大家有没有想过：把这个定理反过来说：如果一个三角形有两边平方和等于第三边的平方，这个三角形一定是直角三角形吗？大家一起来分组做个实验，第一组的同学在本子上画一个边长为3cm,4cm,5cm的三角形，第二组的同学每人画一个边长为5cm，12cm，13cm的三角形，第三组的同学每人画一个边长为8cm，15cm，17cm的三角形，第四组的同学拿着三角板或量角器分别到一，二，三组来抽查，看看他们画出的三角形大概是什么形状呢？能不能得出一个公认的结论呢？（二） 实验讨论，新课教学通过实验大家得出结论了吗？（当第四组的同学量时，其他同学也看到了并得出自己的结论）现在大家讨论半分钟，每组派一个代表说出你们的结论，看看结论一致吗？哪一组概括得更准确？1归纳结论：勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。2 结论的应用：知道这个结论有什么作用吗？（有些同学是知道的）显然如果给出一个三角形的三边长，我们可通过计算两边的平方和，第三边的平方，通过判断他们是否相等来看这个三角形是不是直角三角形。如 以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？解：以6，8，10为边的三角形是直角三角形。那么做这种题目时有没有规律，是不是盲目计算呢？如 三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？分析：我们先用中的哪一个与第三边的平方比较呢？有的同学已经想好了，总是用较短的两边的平方和，与最长的那个边的平方比较。我们来试几道题3 例题例3 根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形（1）a=7,b=24,c=25; (2) a=,b=1,c=解：（1）以7，24，25为边的三角形是直角三角形。（2）以为边的三角形不是直角三角形。例4 已知的三边分别为a,b,c且a=,b=2mn,c=(mn,m,n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由。分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。解：是直角三角形注意事项：（1） 书写时千万别写成是直角三角形。这里你弄错了勾股定理的逆定理的条件和结论。（2） 分清何时利用勾股定理，何时利用其逆定理4 巩固练习教科书43页，课内练习1，作业题1各选做一些，课内练习2等课内练习2分析：ABC先求BC2+AC2=+ AB2=+ 我们由已知+=+显然BC2+AC2=AB2（三）课堂小结：1 勾股定理逆定理。2 勾股定理逆定理的作用：利用三边关系判断三角形形状。3 通过以上学习要有意识培养自己的逻辑思维能力。（四）作业：教科书44页1题：（2），（5）；2题；3题；4题。（五）补充练习：ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3ABCabcS1S2S3如下图中分别以三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？2.7 直角三角形全等的判定 教学目标1、探索两个直角三角形全等的条件. 2、掌握两个直角三角形全等的条件（HL）3、了解角平分线的性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上，及其简单应用 教学重点与难点教学重点：直角三角形全等的判定的方法“HL”.教学难点：直角三角形判定方法的说理过程.教学过程一、 创设情境，引入新课：教师演示一等腰三角形，沿底边上高裁剪，让同学们观察两个三角形是否全等？二、 合作学习：（1） 回顾：判定两个直角三角形全等已经有哪些方法？（2） 有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等吗？如何会全等，教师可启发引导学生一起利用画图，叠合方法探索说明两个直角三角形全等的判定方法，可充分让学生想象。不限定方法。教师归纳出方法后，要学生注意两点：“HL”是仅适用于Rt的特殊方法。 应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt的条件(3) 教师引导、学生练习 P47三、 应用新知，巩固概念例题讲评例：已知：P是AOB内一点，PDOA，PE OB，D，E分别是垂足，且PD=PE，则点P在AOB的平分线上，请说明理由。分析：引导猜想可能存在的Rt；构造两个全等的Rt；要说明P在AOB的平分线上，只要说明DOP=EOP小结：角平分线的又一个性质：（判定一个点是否在一个角的平分线上的方法）角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。四、学生练习，巩固提高练一练：P48 1. 2. P49 3五、小结回顾，反思提高 （1）本节内容学的是什么？你认为学习本节内容应注意些什么？ （2）学习本节内容你有哪些体会？（3）你认为有没有其他的方法可以证明直角三角形全等（勾股定理）（4）你现在知道的有关角平分线的知识有哪些？六、布置作业：