八年级数学上册 15.2.2《完全平方公式》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
15.2.2 完全平方公式
（新授课）

【理论支持】
《数学课程标准》指出：对学生数学学习的评价，既要关注学生学习的结果，更要关注学生在学习过程中的变化和发展；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感和态度．
整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处．
乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养严密的逻辑推理能力的功能．
完全平方公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好的模式．
“完全平方公式”的教学目的应是“熟练掌握”．为了使学生“熟练掌握”，一方面要正确理解公式．让学生自己得出公式，是正确理解公式的措施之一；同时还要扫除正确理解的障碍，即消除一些容易混淆之处．另一方面，通过把公式运用到各种情况中去来达到熟练运用．对于易混淆之处，应提高新旧知识的可分辨性．通过变式对一些以前学过的，对现在公式容易产生混淆的内容进行分辨，从比较中加深对正面法则的理解。
【教学目标】

知识技能
1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征． 　
2．熟练运用公式进行计算． 　
3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力． 　　
4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．
数学思考
通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．
解决问题
熟练运用公式进行计算．
情感态度
1．通过小组合作研究，培养学生合作交流意识和探索精神．
2．培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣．
【教学重难点】
1. 重点：(1) 体会完全平方公式的发现和推导过程；
(2)掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．
2. 难点：准确判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方,综合运用完全平方公式进行计算．
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
利用整式的乘法计算下列各题：
（1）（m+n）2 （2）（m-n）2
（3）（a+2b）2 （4）（a-2b）2
〖答案〗（1）（m+n）2 =（m+n）（m+n） ＝m2+2mn+n2
（2）（m-n）2=（m-n）（m-n）＝m2-2mn+n2
（3）（a+2b）2 =（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2
（4）（a-2b）2=（a-2b）（a-2b）=a2-4ab+4b2
〖设计说明〗让学生进行简单的模仿，从感性上初步认识可以用整式的乘法来运算．

课内探究
一、导入新课：
提出问题，学生自学
1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2 应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（m+2）2=_______；
（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（m-2）2=_______；
2．学生探究
3．得到结果：
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1
（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4
（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1
（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2-4m+4
分析推广：
结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍,（1）（2）之间只差一个符号.
二、小组合作，探索新知：
1．问题：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。（如图）
a b （1）四块面积分别为： 、 、 、 ;
b （2）两种形式表示实验田的总面积：
① 整体看：边长为 的大正方形，S= ；
a a ②部分看：四块面积的和，S= 。

a b
总结：通过以上探索你发现了什么？
〖点拨方法〗数形结合，正方形的面积可以分开算，也可以合起来算．
〖设计说明〗从现实生活中的数学情景出发，培养学生对数学的热爱和运用数学的能力．
2．问题：如果将该正方形田地的边长缩减b米，则其边长又为多少？面积呢？
要求：让学生分组动手拼图：用手头的彩色纸，在原有的正方形广场上，拼出现在的广场，探究其面积的不同表示方法及其内在联系，体会完全平方公式的几何背景。（小组成员之间要相互合作、相互交流）

a
b

〖设计说明〗通过实际操作，鼓励学生经历观察、操作、交流等过程，培养学生的自主探究的学习习惯．鼓励学生自己探索，鼓励算法多样化，尤其是对这种用已获得的知识来解决问题的方法，渗透了转化的数学思想，应给予肯定。
三、合作交流，探究新知
观察得到的式子，想一想：
（1）（a+b）2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢？
（2）（a-b）2等于什么？某位同学写出了如下的算式：
（a–b）2=[a+（–b）]2
她是怎么想的？你能继续做下去吗？
〖设计说明〗学生运用多项式乘法法则推导出并说出每一步运算的道理．让学生在直观认识的基础上，在从代数角度推导公式，可以培养学生的逻辑推理能力．
四、观察特征、深入探究
在学生自主探究出（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2后，归纳出完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
问题：①　这两个公式有何相同点与不同点？
②　你能用自己的语言叙述这两个公式吗？
（学生交流，教师归纳总结：）
强化记忆：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加来差是减．
〖点拨方法〗首先应当自己总结归纳，发挥小组集体智慧．最后以小组为单位进行汇报交流．
〖设计说明〗采用小组合作探究的方式，这样既培养了学生的合作精神，又培养了学生发散思维和创新思维的能力．教材对这两个公式的语言叙述比较抽象，理解有一定难度，为此结合两个公式的特征，可用顺口溜强化记忆．
四、布置学生自学：
1．学生自主探究题：
练习：下列计算是否正确？如不正确如何改正？
① ② ③
〖设计说明〗对学生可能会出现的错误作及时的预防．
2．小组合作探究题：
1.运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2
（2）（y-）2
（3）（-a-b）2
（4）（b-a）2
〖设计说明〗基本的数学运算是数学知识最直接的应用，也是学生体会公式“优势”的最佳实例．上题能开阔学生的思维，学生对公式的理解也获得了升华．
2．运用完全平方公式计算：
（1）1022
（2）992
〖设计说明〗基本的数学运算是数学知识最直接的应用，也是学生体会公式“优势”的最佳实例．上题能开阔学生的思维，学生对公式的理解也获得了升华．
五、教师精讲点拨：
1．知识点辨析：
（1）．完全平方公式是两数和与两数差的平方公式的统称．
（2）．公式中的a、b可以是任意数或代数式．
（3）．公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方．
（4）．公式的结果是三项式，即这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍（当两数同号时取“+”号，两数异号时取“—”号）．
2．探究题评析：
（1）帮助学生克服思维定势，引导学生从条件和结论两方面来辨析公式特点．
（2）在讲解题目的过程中，让学生体会公式“优势”，熟练掌握两个公式的运用．
3．规律总结：完全平方公式的特点．
4．方法指导：数形结合的思想方法．
六、课堂反馈训练：
1．下列各式中，能够成立的等式是（ 　　）．
A．　　B． 　C．　　　　　D．
〖参考答案〗D．
〖讲评策略〗学生用两个公式来判断选项的对错．
2．如果 是一个完全平方公式，那么a的值是（　　 ）．
A．2 　　　　B．－2　　　　 C． 　　　　D．
〖参考答案〗C
〖讲评策略〗学生讲评．
3．下列多项式不是完全平方式的是（ 　 ）．
　A． B． C． D．
〖参考答案〗A．
〖讲评策略〗通过这题，强调公式的逆运用．
4．运用完全平方公式计算：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6） 101 2
〖讲评策略〗教师收集学生的不同答案进行投影，归纳小结．
〖设计说明〗当堂训练，当堂反馈的这一环节的实施不但使学生对所学的新知识得到及时巩固和提升，同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清，这就让学生在学习新知识的第一时间得到最清晰的认识，这正是高效的价值所在．
课后提升
一、课后练习题及答案：
1． （1）（-3x+4y）2=_________．
（2）（-2a-b）2=_________．
（3）x2-4xy+________=（x-2y）2．
（4）a2+b2=（a+b）2+_________．
（5）a2+______+9b2=（a+3b）2．
（6）（a-2b）2 +（a+2b）2=_________．
2．若 ，则M为（　　 ）．
A．2xy 　　　　B．±2xy　　　　C.4xy D．±4xy　　　　
〖参考答案〗D．
3．一个正方形的边长为acm，若边长增加 ，则新正方形的面积又增加了（ ）．
A． B． C． D．以上都不对
〖参考答案〗C．
〖设计说明〗在学生充分理解公式的基础上，熟练运用公式．