资源描述
课 时
第二章第一节第1课时
课 题
花边有多宽（1）
课 型
新授课
时 间
节 次
第二节
授 课 人
教材
分析
教科书在学生已有的知识经验的基础上，提出了本课的具体学习任务：理解一元二次方程的概念及其二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式．一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且是后面学习二次函数的基础，起着承上启下的作用．
学情
分析
本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，学习了一元一次方程，掌握了一元一次方程的基本特征及其解法，对于整式的化简学生也已经是轻车熟路，具备了学习一元二次方程的基本技能，但对于一元二次方程没有深入的理解．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型．
教学
目标
１.要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分析的能力．
２.引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己归纳出一元二次方程的概念及一般形式．
３.通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会学习数学的快乐，培养用数学的意识．
重点
由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念及一般形式．
难点
１.把实际问题转化成数学方程．
２.对一元二次方程的理解
教法、学法指导
启发式教学法、类比式教学法、多媒体辅助教学法并且充分引导学生阅读课本
课前
准备
教、学具： 多媒体课件、彩色粉笔
知识储备：一元一次方程的有关定义
教学过程：
（一）创设情境 提出课题
（提出的问题需通过本章的学习才能解决，因此本节课只设问，不予解决．）
师：同学们，今天我们要来共同探讨的课题是：“花边有多宽”（板书课题：§2.1花边有多宽），我们将以类似“花边有多宽”这类现实问题为载体展开我们今天的学习．
（二）师生互动，探究新知
活动内容：通过一连串的四个具体的问题，引导学生得到四个方程，并以此利用类比的学习方法对一元二次方程进行认识．
师：今天这节课，一上课我们先来帮助小明解决几个问题．
（展示课件）小明家刚买了新房，今年暑假，小明一家都忙着装修，一天，小明的爸爸给小明出了几个问题．
爸爸问小明：“昨天我买了长、短水管共40根，长水管12元一根，短水管7元一根，一共付了370元，你知道我买的长水管有多少根吗？”这个问题怎么解决？
生：设长水管买了x根，则短水管买了（40-x）根，由题意可知“长水管12元一根，短水管7元一根，一共付了370元”可以列出方程：12x+7（40-x）=370，解出这个方程即可．
师：她说：“先设长水管买了x根”，我想问问你你是怎样想到理由列方程的方法解决这个问题的？
生：题目说“我买了长、短水管共40根”，但是不知道长短水管各买了多少根，这里面出现了未知数，所以我想到用方程解决．
师：我们用方程解决问题的时候最关键的是什么？
生：等量关系．
师：这道题目的等量关系是什么？
生：两种水管的根数乘它们各自的单价相加等于370元．
师：正如这两位同学说的，如果题目里出现了未知数并且存在等量关系，我们就可以利用方程来解决问题．现在我们再来回顾一下刚刚他们所说的过程．（出示课件：）
并且板书：12x+7（40-x）=370
那么第一个问题就解决了，我们来看看第二个问题：
这个问题怎么解决，考虑一下？首先用什么方法来解决？谁知道？
生（举手）：我觉得这道题目也可以用列方程的方法来解决，因为这道题目也有未知数，只要我们找到等量关系就可以列方程来解决．本题的等量关系是“中间浅色大理石地砖长乘宽等于的面积是20 m²”．
师：很好．（边描述边播放课件）她找到了未知数是花边的宽度，等量关系是“中间浅色大理石地砖长×宽=20 m²”．
师：那么我们现在可以来列出方程了吧？请同学说说看怎样设，怎样列．
生：设黄色大理石的宽为xm．根据题意，可得方程：
（６－２x）（４－２x）＝２０
师：（配合学生所说播放课件并板书）（６－２x）（４－２x）＝２０
师：这样第二个问题我们就解决了，下面我们看第三个问题：
师：这个问题我们还能用方程来解决吗？如果可以的话，请同学们动动笔，把解决过程写下来，下面请同学们拿出练习本来完成这道题目．
学生开始活动，时有讨论的声音，教师巡视．
师：好，那位同学写好了．
生（举手）：本题的未知数是厨房的边长，等量关系是“以上项目的总费用合计４０００元”，所以我设厨房的边长为ｘｍ，最后方程是１２００ｘ＋３００＋１００ｘ²＝４０００，１２００ｘ是地砖的费用，３００＋１００ｘ²是橱柜的费用．
是配合课件展示：
师：很好，请坐．这样第三个问题就解决了，我们来看第四个问题．
这个问题还能用方程来解决吗？想想看．请同学说说看未知数是什么？
生：解：设这根水管长x米．
师：好，那方程怎么列，请同学们写在练习本上．
学生独立思考并将答案写在练习本上，师巡视并安排学生板书自己的答案．
生（板书）：（x -1）²+（x -0.5）²=x²
师：下面同学好了吗？现在我们一起来看看这位同学列的对不对．请你来说一下，你为什么要这样列方程．
生：因为题目说“横着近比门框长1米” ，所以门框的宽是（x -1）米；“竖着进比门框长0.5米”，所以门框的宽师（x -0.5）米；沿着对角斜着刚好能拿进去，说明们的对角线的长度正好是水管的长度，所以由勾股定理可以列出方程．
师：那么刚才我们解决了四个问题，这四个问题我们都是用方程的方法解决的．这样可以看出生活中的很多问题都能够用方程解决，但是用方程来解决的问题必须有什么样的特征？
生们：必须有未知数和等量关系．
师：下面我们来看一下这四个方程．这些方程有什么共同特点？同学们可以小声议论一下．
学生咱开讨论．
生：它们都有一个未知数，而且这四个方程未知数的最高次数是2.
师：是吗？
生：这四个方程未知数的最高次数不都是2．
师：这位同学找到一个，它们都有一个未知数，还有没有其他的共同特征？
生：他们都是整式方程．
师：那同学们还记不记的什么是整式方程？
生们：在方程的左右两边都是正式的方程就是整式方程．
师：很好！（边总结边课件演示：）
师：那下面我们来找找这四个方程有什么不同的地方．先提个要求，同学们在化简的时候等式的右边都是0.现在大家开始动笔．
生在练习本上进行化简，师巡视并分别安排四名学生到黑板前进行板书．
板书结果：
12x+7（40—x）=370 →x—18=0
（６—２x）（４－２x）＝２０ →1-5x+ x²=0
１２００x＋３００＋１００ｘ²＝４０００ →100 x²+1200 x—3700=0
（x —1）²+（x —0.5）²=x² →x²—3 x+1.25=0
师：（边播放课件边引导学生进行对照）发现第三个不一样，因为第三位同学没有化简完，等式的两边还可以同时除以100.那现在我们来观察一下这些方程有什么不同．有什么发现？
生：除了第一个方程，其他的三个方程都可以化简为ax²+bx+c=0的形式．
师：第一个方程是什么方程？
生们齐答：一元一次方程．
师：我们都知道第一个方程是一元一次方程，那后面这三个方程呢．
有生说：一元二次方程；有生说：二元一次方程．
师：有同学把它们的名字说出来了，是一元二次方程．我们把这三个方程单拿出来看，这三个方程有什么共同特点？换句话说，刚刚你们说了它们叫做一元二次方程，那你们能给一元二次方程下个定义吗？
能不能有自己的语言来说一说．可以讨论一下．
生：一元二次方程就是只含有一个未知数且未知数的最高指数为2的整式方程．
师：很好！他类比一元一次方程的定义给一元二次方程下了定义．同学们能不能从它们的共同特点入手给它们下个定义？
生：这些方程都可以化为ax²+bx+c=0的形式．
师板书：12x+7（40—x）=370 →x—18=0
（６—２x）（４－２x）＝２０ →1-5x+ x²=0
１２００x＋３００＋１００ｘ²＝４０００ →100 x²+1200 x—3700=0 ax²+bx+c=0
（x —1）²+（x —0.5）²=x² →x²—3 x+1.25=0
师：有没有讲完，还有没有同学要作出补充．
生：a、b、c为常数且a不等于0.
师板书：ax²+bx+c=0（a、b、c为常数且a不等于0.）
师：a为什么不能等于0.
生：如果a等于0，那它就变成一元一次方程了．
师：好，我们来总结一下．
注意：对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的要点，给出一元二次方程的要点和定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
（1）强调三个特征：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2且其系数不为0．
（2）几种不同的表示形式：①ax2+bx+c=0 (a≠0,b≠0,c≠0)
②ax2+bx=0 (a≠0,b≠0,c=0)
③ax2+c=0 (a≠0,b=0,c≠0)
④ax2=0 (a≠0,b=0,c=0)
(3)相关概念：一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)
一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c
二次项系数为：a 一次项系数为：b
（三）巩固应用，形成技能
师：在我们知道什么是一元二次方程后我们来做一些判断题：
生：（1）（4）（5）是．
师：为什么呢？
生：因为（1）（4）（5）都可以化为ax²+bx+c=0（a、b、c为常数且a不等于0.）的形式，而（2）是一个分式方程，（3）是二元的．
师：下面我们再来做一做地题：
请同学们写写看，我请同学口答．
学生开始做题，大约3分钟后，师组织回答并课件演示答案．
（四）拓展延伸，层层攀高
活动目的：继续巩固一元二次方程的定义．通过部分问题的分组讨论，培养学生主动参与、合作交流的意识；让学生经历独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，提高学习数学的自信心．
师：同学们注意在写二次项、一次项和常数项时一定要带着它们前边的符号．下面我们再来看这道题目，
如图，是一幅名为《难题》的俄罗斯名画，画的是一个真实的故事：拉金斯基是一位自然科学教授，他自愿来到农村当一名普通教师，精心培育孩子们．你看黑板上就是他编的一道题：，我想同学们在看到这道题目的时候第一反应是拿出计算器．小明在解决这道题的时候他发现我们来看一下，
那如果有这个结论这道题目就简单了，答案是几？
生们：2.
师：接着小明又想了：能否找到其他的五个连续的整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，从而就可以和拉金斯基一样，出一个类似的题目呢？你们能不能帮他解决，在练习本上做做看．
师巡视，并要求把自己列出来的方程化成一边形式．
生：我设五个连续的整数的第一个数为x，根据题意得：x²+（x+1）²+（x+2）²=（x+3）²+（ x+4）²
化简为：x²—8 x—20=0．
师：有没有同学和他设的不一样的？
生：我设五个连续的整数的第三个数为x，根据题意得：（x—2）²+（x—1）²+x²=（x+1）²+（ x+2）²．
师：很好，只要我们设出未知数并解出方程，就可以设计一个和拉金斯基一样的题目．下面我们来看一看例四：
请同学们在练习本上解决一下．
同学开始独立做题，师巡视并安排不同的学生板书自己的答案．
可能有这样的答案：（35—x）（26—x）=850
26×35—（35 x +26 x—x²）=850
师：下面的同学都列好了．下面我们来对比一下这两个方程．这两个方程是不是都正确？
生：第一个对、第二个对、都不对、都对都有说的．
师：我们先请这两位同学说一下自己的思路．
生1：我是想这样的一块巨型地面上去掉道路剩下的还能拼成一个矩形，这个矩形的长是（35—x）m，宽是（26—x）m，那么它的面积就是（35—x）（26—x）=850．
生2：我列的式子中26×35是这块巨型地面的总面积，35 x +26 x—x²是两条矩形行道路的面积，之所以要剪掉x²，是因为两条矩形道路有重叠的部分，多算了一个小正方形的面积，所以要减掉．而用巨型地面的总面积减去两条矩形行道路的面积就是850m²．
（五）感悟与收获
活动内容：师生相互交流，本节课学了哪些知识？有什么体会？在本节课中，对自己及其他同学们的学习表现满意吗？
活动目的：教师鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想，教师适当地给予鼓励，培养学生的语言表达能力、概括能力及善于归纳总结良好的学习习惯．
师：好了，现在我们来看一下我们这节课主要学习了那些内容．
师引导学生就以下方面进行回顾：
（六）随堂检测(看时间能做多少做多少)
一、判断题（下列方程中，是一无二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）
1.5x2+1=0 2.3x2++1=0
3.4x2=ax(其中a为常数) 4.2x2+3x=0
5. =2x 6. =2x
7.｜x2+2x｜=4
二、填空题
1.一元二次方程的一般形式是__________.
2.方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.
3.若ab≠0，则x2+x=0的常数项是__________.
4.关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.
三、选择题
关于x2=－2的说法，正确的是( )
A.由于x2≥0，故x2不可能等于－2，因此这不是一个方程
B.x2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程
C.x2=－2是一个一元二次方程
D.x2=－2是一个一元二次方程，但不能解
四、解答题
现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来．
（七）布置作业（学有余力的同学全做，其余学生不做C类题．）
A：习题2.1第1、2题．
B：最后我们来布置两道题目回去后好好反思一下．我们这节课知道了什么是一元二次方程，但如何来寻找一元二次方程的解？如果不知道没有关系，我们看第2个问题，你能否利用方程x²+12 x—37=0估算出小明家厨房的边长吗？
C：已知关于x的一元二次方程(m-3)x│m+1│+3x-m2+9=0，求m．
师：这节课我们就上到这里，下课！
（八）板书设计
§2.1花边有多宽
一、引例
x—18=0
1-5x+ x²=0
100 x²+1200 x—3700=0 ax²+bx+c=0
x²—3 x+1.25=0 （a、b、c为常数，a≠0）
二、定义
只含有一个未知数X的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
把ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
三、例题
（具体内容安排看学生板书自己的答案）
（九）教学反思
这节课从作业反馈来看效果不错，我想有以下几个原因：
1.本课的课堂设计体现变“教教材”为“用教材教”的课改理念
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．本节课设计了一连串的问题，比课本单一的呈现三个引例更连贯和富有趣味性，能一步一步的抓住学生的注意力，使他们探究下去，设计的题量可加大一些，可让学生充分发挥自己的水平，多交流．
2.给学生提供自我展示的平台
本节设计中一元二次方程定义的概括过程及小组合作交流的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，让学生畅所欲言，更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及就近原则合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度及主动参与、合作交流的意识．
3、本课利用多媒体辅助教学，大大增加了课堂的容量，也是课堂有条不紊的一步一步发展下去．
不足：
因为本课设计的容量很大，所以在安排学生讨论和独立做题的时候给学生留的时间相对紧张，可能有一部分学生会有些吃力．
建议：
课后，应根据学生的作业情况进行个别学生的跟踪辅导．
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