利用导数判断函数的单调性问题的学案.doc

利用导数判断函数的单调性问题的学案
目标：
1. 更全面了解和掌握导数在研究函数单调性的价值，掌握比较函数大小的一种方法就是通过构造新的函数，利用导数解决新函数在给定区间大于0或小于0来实现函数大小的比较。
2. 培养学生分类讨论的能力、知识迁移的能力、计算能力和抽象运算能力，加强对数学方法和思想全面的了解和认识，加强思维的逻辑性。
3. 重点解决关于含参函数单调区间的研究，发现不同类型下的不同对策问题，利用函数在区间上的单调性求参数的范围问题。
4. 解决分类讨论时如何确定讨论点、如何展开分类讨论问题；掌握利用分离参数法来解决参数的范围问题。
过程：
1．复习回忆：利用导数判断单调性的充分条件——

2． 利用导数解决函数的单调区间的步骤：
（1） 先求y=f（x）的导函数
（2）
（3） 限时（5分钟）求下列函数的单调区间：

小结提问：具体求函数的单调性时我们应该注意什么问题
（1） 函数的定义域问题
（2） 利用导数取得单调区间应该分开写，最好用和
（3） 注意利用导函数的图像来解决单调区间
提出一个问题：将（4）中k>0这个条件去掉，那么函数的单调性又如何研究呢？
一． 含参函数的单调性问题的研究
问题1：讨论函数的单调性
分析：找出导函数对应的两个零点，对两个零点的大小关系进行讨论，从而决定函数的单调区间
例1：试讨论函数的单调性
分析：先注意最高次前面的系数问题，确定大的分类讨论点，求导以后注意观察导函数，看能否利用十字相乘法找出导函数的零点，然后再着手讨论。

试一试自己完成：
参考答案：当a=0时，单调区间（—∞，1）；单调减区间（1，∞）
当a≠0，当a＞0时，单调递增区间和（1，+∞）；单调减区间为（）；当a＜0时，
当

例2：试讨论函数的单调性
分析：注意求导的准确性，研究导函数局部的性质，（即）这函数在区间上的正负符号问题，从而决定函数在区间上的单调性，分析这个函数没有特征，不能在有理式范围内实现十字相乘分解，故我们要用△来研究其导函数的符号问题，
试一试自己完成：

有这样一个命题：若一个函数y=f（x）在区间（a，b）上单调递增，则一定满足其导函数在区间（a，b）上恒成立。
提问：这个命题是否正确，若不正确，请给出例子说明。
得出结论：导数判断函数单调性的必要条件——若函数y=f（x）在区间（a，b）上单调递增，则其导函数在区间（a，b）上恒成立；
若函数y=f（x）在区间（a,b）上单调递减，则其导函数在区间上恒成立。

二．利用函数在区间上的单调性解决参数的范围问题（导数判断单调性的必要条件）
问题探究：若
变式一：若
变式二
点评：同一函数在三个不同区间的单调性引出三种不同求参数范围的方法（图像法，最值法，分离系数法），具体问题具体分析，每种方法都有它的适用范围，所以根据式子的特征选择最有效的解法在解题中很重要。
参考答案：（1）-2≤a≤6 （2）-2≤a≤7 （3）-2≤a

练习：（1）函数
（2）函数

参考答案：（1） （2）a≤0

例3：已知函数
（1） 讨论函数的单调性
（2） 若函数在区间【2，+∞）上是单调递增的函数，求实数a的取值范围

本题综合利用导数研究函数单调性的充分条件和必要条件，涉及到分类讨论
的思想和利用分离参数法求参数的取值范围，可感受导数在解决函数单调性问题中的重要作用。