分门别类搞定导数：导数专题之函数的单调性问题.doc

知识储备：
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系
(1)若，则f(x)在这个区间上是增加的．(2)若，则f(x)在这个区间上是减少的．
(3)若，则f(x)在这个区间内是常数．
2． 在某个区间(a，b)上，若f，则f(x)在这个区间上单调递增；若，则f(x)在这个区
间上单调递减；若恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若的符号不确定，则f(x)
不是单调函数．
3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．
4．使的离散的点不影响函数的单调性．
5．是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件．例如，f(x)＝x3，，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但不存在．
基本题型：
类型一：判断或证明函数的单调性
例1,、函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．讨论f(x)的单调性．

小结：导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求；(2)确认在(a，b)内的符号；（3）作出结论>0时为增函数；<0时为减函数．
类型二、求函数的单调区间
例2、已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．
小结：求函数的单调区间的“两个”方法
方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
类型三、已知函数的单调性求参数的范围
角度一　已知函数在某区间上的单调递增(减)，求参数的取值范围
例3．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞)　　B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
解析：＝－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
又x(x＋2)＝(x＋1)2－1>－1，∴b≤－1，故选C.
角度二　已知函数f(x)存在单调递增(减)区间，求参数的取值范围
例4．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解析：(1)＝x2－ax＋b，由题意得即
(2)由(1)，得＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，
当x∈(－∞，0)时，>0；当x∈(0，a)时，<0；当x∈(a，＋∞)时，>0.
所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，[a，＋∞)，单调递减区间为[0，a]．
(3)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式＝x2－ax＋2<0成立．
当x∈(－2，－1)时，a<x＋≤－2，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)．
角度三　已知函数f(x)在某区间上单调，求参数的取值范围
例5．已知函数f(x)＝－－ax(a∈R)．(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，求实数a的取值范围．

小结：已知函数单调性，求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
（提示：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解）．
【针对性练习】
1．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．
2．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]　　 B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：依题意得f　′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，∵x>1，∴0<<1.
∴k≥1，故选D.
4．已知f(x)＝sin x＋2x，x∈R，且f(1－a)＋f(2a)<0，则a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝sin x＋2x，x∈R，得f　′(x)＝cos x＋2>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增且是奇函数，由f(1－a)＋f(2a)<0，即f(2a)<f(a－1)，∴2a<a－1，∴a<－1.
5．已知函数f(x)＝x2(x－a)，若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________．
6．函数f(x)＝的单调递增区间是________________________________________．
解析：由导函数f′(x)＝＝＞0，得cos x＞－，所以2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
7．已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)．
(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
8、已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围．
(3)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．
(4)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．(5)若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝3x2－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±；
当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0.
因此f(x)在上为增函数，在上为减函数．
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；
当a＞0时，f(x)在为增函数，在上为减函数．
(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，
所以a≤0，即a的取值范围为.
(3)解析：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．
因为－1＜x＜1， 所以3x2＜3，所以a≥3.
即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数．
(4)解析：由例题可知，f(x)的单调递减区间为，∴＝1，即a＝3.
(5)解析：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)．
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0,3)．

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