利用导数判断函数的单调性教案.doc

§1.3　导数的应用
1.3.1　利用导数判断函数的单调性
【学习要求】
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
【学法指导】
结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递_增__
f′(x)<0
单调递__减__
f′(x)＝0
常函数
探究点一　函数的单调性与导函数正负的关系
问题1　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？

答： (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y(x)是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y(x)是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y(x)是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y(x)是增函数；
(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y(x)是减函数．
小结　一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
问题2　若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
答：由问题1中(3)知f′(x)≥0恒成立．
问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．
(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
答：(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．问题1中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
例1　已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，
f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．
解：　当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x>4或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减；
当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．
小结　本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．
跟踪训练1　函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．

解　f′(x)图象的大致形状如下图：

注：图象形状不唯一．
例2　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－4x2＋x－1；
(2)f(x)＝2x(ex－1)－x2；
(3)f(x)＝3x2－2ln x.
解　(1)f′(x)＝3x2－8x＋1.
令3x2－8x＋1>0，解此不等式，得
x<或x>.
因此，区间和为f(x)的单调增区间．
令3x2－8x＋1<0，解此不等式，得
<x<.
因此，区间为f(x)的单调减区间．
(2)f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)
＝2(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
(3)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得－<x<0或x>.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得x<－或0<x<.
又∵x>0，∴0<x<.
∴f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
小结　求函数的单调区间的具体步骤是
(1)确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)求出f′(x)＝0的根(也可以直接解f′(x)>0和f′(x)<0)；(4)用f′(x)＝0的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干个区间内f′(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间．
跟踪训练2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－ln x；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，
由f′(x)>0得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0得x<，
又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0得x<3，
又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
(3)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)
＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．
因为0≤x<2π，所以cos x＋1≥0，
由f′(x)>0得0<x<或<x<2π；
由f′(x)<0得<x<，
故函数f(x)的单调递增区间为，，单调递减区间为.
探究点二　函数的变化快慢与导数的关系
问题　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？
答　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内的图象“平缓”．
例3　如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种 (　　)

解析　由于是匀速旋转，阴影部分面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快．
图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；
图B表示最后时段S增速快，也与实际不符，B也应否定；
图C表示开始时段增速和最后时段S增速比中间时段快，也应否定；
图D表示开始和结束阶段，S增速慢，中间时段增速快，符合实际，应选D.
答案　D
小结　通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．

跟踪训练3　(1)如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．

解　(1)→B　(2)→A　(3)→D　(4)→C
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是 (　　)

解析　从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．
1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是 (　　)
A．单调增函数 B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数 D．在上是增函数，在上是减函数
解析　∵f′(x)＝1＋>0， ∴函数在(0,6)上单调递增．
2. f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 (　　)

解析　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；
当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数；
当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．
观察选项易知D正确．
(2)函数y＝x3－x的增区间为_______________________，减区间为______________．
(2)y′＝3x2－1，令y′>0，得x>或x<－； 令y′<0，得－<x<，
所以y＝x3－x的增区间为和，减区间为(－，)．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.

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