利用导数判断函数的单调性教案.doc

§1.3　导数的应用
1.3.1　利用导数判断函数的单调性
【学习要求】
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
【学法指导】
结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递_增__
f′(x)<0
单调递__减__
f′(x)＝0
常函数
探究点一　函数的单调性与导函数正负的关系
问题1　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？

答： (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y(x)是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y(x)是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y(x)是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y(x)是增函数；
(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y(x)是减函数．
小结　一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
问题2　若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
答：由问题1中(3)知f′(x)≥0恒成立．
问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．
(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
答：(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．问题1中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
例1　已知导函数f′(x)的下列信息：当10；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，
f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．
解：　当10，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x>4或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减；
当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．
小结　本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．
跟踪训练1　函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．

解　f′(x)图象的大致形状如下图：

注：图象形状不唯一．
例2　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－4x2＋x－1；
(2)f(x)＝2x(ex－1)－x2；
(3)f(x)＝3x2－2ln x.
解　(1)f′(x)＝3x2－8x＋1.
令3x2－8x＋1>0，解此不等式，得
x<或x>.
因此，区间和为f(x)的单调增区间．
令3x2－8x＋1<0，解此不等式，得
－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
(3)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得－.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得x<－或00，∴03)求出f′(x)＝0的根(也可以直接解f′(x)>0和f′(x)<0)；(4)用f′(x)＝0的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干个区间内f′(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间．
跟踪训练2　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－ln x；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，
由f′(x)>0得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0得x<，
又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0得x<3，
又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
(3)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)
＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．
因为0≤x<2π，所以cos x＋1≥0，
由f′(x)>0得0定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种 (　　)

解析　由于是匀速旋转，阴影部分面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快．
图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；
图B表示最后时段S增速快，也与实际不符，B也应否定；
图C表示开始时段增速和最后时段S增速比中间时段快，也应否定；
图D表示开始和结束阶段，S增速慢，中间时段增速快，符合实际，应选D.
答案　D
小结　通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．

跟踪训练3　(1)如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．

解　(1)→B　(2)→A　(3)→D　(4)→C
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是 (　　)

解析　从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．
1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是 (　　)
A．单调增函数 B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数 D．在上是增函数，在上是减函数
解析　∵f′(x)＝1＋>0， ∴函数在(0,6)上单调递增．
2. f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 (　　)

解析　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；
当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．
观察选项易知D正确．
(2)函数y＝x3－x的增区间为_______________________，减区间为______________．
(2)y′＝3x2－1，令y′>0，得x>或x<－； 令y′<0，得－0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.

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