[专题]直线与圆的方程.doc

总结
(一)直线的方程
1.点斜式：；2. 截距式：；
3.两点式：；4. 截距式：；
5.一般式：，其中A、B不同时为0.
(二)两条直线的位置关系
两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.
设直线：=+，直线：=+，则
∥的充要条件是=，且=；⊥的充要条件是=-1.
(三)线性规划问题
1．线性规划问题涉及如下概念：
⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.
⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.
⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
⑷满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.
⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.
⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.
2．线性规划问题有以下基本定理：
⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形.
⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.
⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.
3.线性规划问题一般用图解法.
(四)圆的有关问题
1.圆的标准方程
（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.
特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.
2.圆的一般方程
（＞0）称为圆的一般方程，
其圆心坐标为（，），半径为.
当=0时，方程表示一个点（，）；
当＜0时，方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：
（θ为参数）
（θ为参数）

直线与圆的方程
1. 直线对称的直线方程为 。
（A） （B） （C） （D）
2. 已知 。
（A） （B） （C） （D）
3. 在轴和轴上的截距分别为-2、3的直线方程是 。
A. 　B.　C. D.
4. 圆截轴所得的弦与截轴所得的弦的长度之比为 。
A. B. C. D.
5. 曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 。

6.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A.x－y=0 B.x+y=0 C.|x|－y=0 D.|x|－|y|=0
7.圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R,θ≠＋kπ，k∈Z）的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 　C.相离 D.不确定的
8.若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（ ）
A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－1
9.圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线y=x的距离是（ ）
A. B. C.1 D.
10.在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是（ ）
A. B. C. D.1
11.设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y+1=0，则直线PB的方程是（ ）
A.x+y－5=0 B.2x－y－1=0 　C.2y－x－4=0 D.2x+y－7=0
12.直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（ ）
A.相交不垂直 B.垂直 　C.平行 D.重合
13.直线y=x绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x－2）2+y2=3的位置关系是（ ）
A.直线过圆心 B.直线与圆相交，但不过圆心　C.直线与圆相切 D.直线与圆没有公共点
14.两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是（ ）
A.A1A2＋B1B2＝0 B.A1A2－B1B2＝0　C. D.=1
15.（1997全国文，9）如果直线l将圆x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（ ）
A.［0，2］ 　B.［0，1］ 　　C.［0，］ 　 D.［0，）
16.直线y=1与直线y=x+3的夹角为_____.
17.若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x－1）2+（y－a）2=1相切，则a=_____.
18.圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
19.以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是 .
20.已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为
求该圆的方程.

答案：1.C　2　3.C　4　5.D　6.D　7.C　解析：圆2x2＋2y2＝1的圆心为原点（0，0）半径r为，圆心到直线xsinθ＋y－1＝0的距离为：
∵θ∈R，θ≠＋kπ，k∈Z　　∴0≤sin2θ＜1 ∴d＞ ∴d＞r
∴圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R，θ≠＋kπ，k∈Z）的位置关系是相离．
8.D　9.A　10.D　　11.A　解析：由已知得点A（－1，0）、P（2，3）、B（5，0），可得直线PB的方程是x+y－5=0.　12.B
13.答案：C解析：直线y=x绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y=x.已知圆的圆心（2，0）到y=x的距离d=，又因圆的半径r=，故直线y=x与已知圆相切.
图1
24.答案：A解法一：当两直线的斜率都存在时，－·（）＝－1，A1A2＋B1B2＝0.
当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，，
同样适合A1A2＋B1B2＝0，故选A.
15.答案：A解析：圆的标准方程为：（x－1）2+（y－2）2=5.圆过坐标原点.直线l将圆平分，也就是直线l过圆心C（1，2），从图1看到：当直线过圆心与x轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.
当直线l过圆心与x轴平行时，k=0，当直线l过圆心与原点时，k=2.　　∴当k∈［0，2］时，满足题意.
16.答案：60°解析：因为直线y=x+3的倾斜角为60°，而y=1与x轴平行，所以y=1与y=x+3的夹角为60°.
17.答案：a=4±解析：因过A（－1，0）、B（0，2）的直线方程为：2x－y+2=0.圆的圆心坐标为C（1，a），半径r=1.又圆和直线相切，因此，有：d==1，解得a=4±.
18.答案：2解析：圆心到直线的距离d＝＝3
∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2

19.答案：（x+2）2+（y－3）2=4
解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x+2）2+（y－3）2=4.

20.解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.　令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0.
|y1－y2|==2，得r2=a2+1 ①
令y=0，得x2－2ax+a2+b2－r2=0，
|x1－x2|=，得r2=2b2 ②
由①、②，得2b2－a2=1
又因为P（a，b）到直线x－2y=0的距离为，
得d=，即a－2b=±1.
综上可得或解得或
于是r2=2b2=2.
所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.
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