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直线和圆的方程
点
中点坐标
两点间距离
圆
位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
方程形式
标准方程
一般方程
点到直线的距离
直
线
直线斜率与倾斜角
两条直线位置关系
平行
相交
垂直
方程形式
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
点与直线位置关系
直线与圆的方程
空间直角坐标系
【知识图解】

【方法点拨】
1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．
2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.
3．熟练运用待定系数法求圆的方程．
4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．
5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．
6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．

第1课　直线的方程
【考点导读】
理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．
高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.
【基础练习】
1. 直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是
2. 过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是
3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为
4.无论取任何实数，直线必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）
5.已知直线l过点P（-5,-4）,且与两坐标轴围成的三角形面积为5个平方单位，求直线l的方程

【范例导析】
例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.
解:（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在．
当m≠－1时，，
（2）当m=－1时，AB：x=－1，
当m≠1时，AB：.
（3）①当m=－1时，；
②当m≠－1时，
∵
∴
故综合①、②得，直线AB的倾斜角
点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.
例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.
分析： 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程.
解 （1）设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-,0),B(0,1-2k),且2->0, 1-2k>0,即k<0.
△AOB的面积S=(1-2k)(2-)=[(-4k)++4]≥4,当-4k=,即k=时, △AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.
(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).
分别令y=0和x=0,得A(2-,0),B(0,1-2k),
∴|PA|·|PB|=,当且仅当k2=1,即k=±1时, |PA|·|PB|取得最小值4.又k<0, ∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.
解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,),且|PA|·|PB|=
y
x
O
P
E
F
B
A
例2图
当且仅当θ=时, |PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1, 直线l的方程是x+y-3=0.

点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.
例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.
分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.
解：解法一 设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有
，解得
直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.
解法二 由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝，∵A,B两点分别l1和l2上，∴，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，
从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.
解法三 设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.
点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。

反馈练习：
1.已知下列四个命题①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示，其中正确的是①③④
2.设直线l的方程为,当直线l的斜率为-1时，k值为__5__,当直线l 在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为1或3

3.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足的关系式为
4.若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是
5.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为，则c的值为
6.过点P(1，1)作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为10，则直线l有4条
7.若三点共线，则的值等于.
8．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是
9.已知直线被两直线：4x+y+6=0与：3x一5y一6＝0截得的线段中点为坐标原点，那么直线的方程是 x+6y=0 ．
10.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答
解：∵P（2，3）在已知直线上，
∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－
∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
点拨：1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想，方法巧妙.

11.在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
分析：利用高线与∠A的平分线求得点A坐标,然后求出直线AC与BC的方程,从而求出C点坐标.
解 A点既在BC边的高线上,又在∠A的平分线上,
由得A(-1,0)，∴kAB=1,而x 轴是角A的平分线, ∴kAC= –1,
∴AC边所在直线方程为y=-(x+1) ①
又kBC= –2, ∴BC边所在直线方程为y–2=–2(x–1) ②
联立① ②得C的坐标为(5,–6)
点拨： 综合运用三角形和直线有关知识,寻找解题突破口,将问题转化为先求一些直线方程,再求直线的交点.这是解决这一类问题的常用办法.
12.一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，
从而方程为8x－15y+6=0
（2）设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，
此时＝，∴k＝－＝－
点拨：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值

第2课　两条直线的位置关系
【考点导读】
1. 掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交直线的交点，掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式.
2. 高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用，有时考察单一知识点,有时也和函数三角不等式等结合，题目难度中等偏易.
【基础练习】
1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为-8
2.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为2x+y－1=0
3.若三条直线和相交于一点，则k的值等于
4.已知点P(1，1)、P(5，4)到直线的距离都等于2．直线的方程
为 3x-4y+11=0或3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0或x-3=0.
5.已知A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求!ABC的面积.
简解：答案为

【范例导析】
【例1】已知两条直线:x+m2y+6=0, :(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时, 与
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？
分析：利用垂直、平行的充要条件解决.
解:当ｍ＝0时，：x＋６＝０，：x＝０，∴∥，
当ｍ＝2时，：x＋４y＋６＝０，：３y＋２＝０
∴与相交；
当m≠０且m≠２时，由得m＝－１或m＝３，由得m＝3
故（１）当m≠－１且m≠３且m≠０时与相交。
（２）m＝－１或m＝０时∥，
（３）当m＝３时与重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.
例2.已知直线经过点P（3，1），且被两平行直线：x+y+1=0和：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线的方程。
分析：可以求出直线与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率
解法一：:若直线的斜率不存在，则直线的方程为x=3，此时与、的交点分别是A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。若直线的斜率存在，则设的方程为y=k（x-3）+1，
解方程组得A（－）
解方程组 得B（，－）
由|AB|=5得
+=25，
解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。
综上可知，所求的方程为x=3或y=1。
解法二.设直线与、分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
联立① ②，可得或
由上可知，直线的倾斜角为0°或90°，又由直线过点P（3，1），故所求的方程为x=3或y=1。
点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论.
【例3】设已知三条直线
，它们围成!ABC,（1）求证：不论m为何值，!ABC有一个顶点为定点.（2）当m为何值时，!ABC面积有最大值和最小值，并求此最大值与最小值.
分析:本题问题（2）考察直线过定点的问题,问题（3）可以建立面积的表达式,转化为求函数最值问题.
解：（1）证明：因为直线恒过定点（-1，0），直线也恒过定点（-1，0），所以直线与的交点为定点（-1，0），即!ABC有一个顶点为定点，不妨设为C（-1，0）.
（2） 因为所以，即AB⊥AC,又与的交点为B（0，m+1），由点到直线距离公式得B到直线AC的距离，点C到AB的距离.所以!ABC的面积S==.当m＞0时，，等号在时成立，S有最大值.当时，，等号在时成立，S有最小值.
点拨:解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题.

反馈练习：
1.已知直线在轴上的截距为1，且垂直于直线，则的方程是
2.若直线与互相垂直，则 -3或1
3.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是___-1___.
4.已知，且点到直线的距离等于，则等于
5.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx－sinB·y+sinC=0的位置关系是垂直
6.已知点、，分别是直线上和直线外一点，若直线的方程是，则方程表示的图形是
7.点关于直线的对称点的坐标是 （-2， -1）
8. 经过直线与的交点，且平行于直线的直线方程是3x+6y-2=0
9.两条直线和互相垂直，则垂足的坐标为
10.线过点，过点，∥，且与之间的距离等于5，求与的方程。
解：与的方程分别为：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0或x=5,x=0

11.条直线和共有三个不同的交点，求a的范围。
解:且且
12.已知!ABC的三边方程分别为AB:，BC:，CA:.
求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC的内角平分线所在直线的方程.
解：（1）AB边上的高斜率为且过点C，解方程组得点C（，2）所以AB边上的高方程为.
（2）设P为∠BAC的内角平分线上任意一点，则解得或，由图形知即为所求.

第3课　圆的方程
【考点导读】
1. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
2. 本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主.
【基础练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y－1)2 = 25
2.过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（x－1）2＋（y－1）2＝4
3.已知圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为
4.圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c值为_-11__
5.如果方程所表示的曲线关于直线对称，那么必有__D=E__
【范例导析】
【例1】 设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解
解：配方得： 该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m+3所求的轨迹方程是，
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中
变式1：方程表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
解：原方程可化为
当a时，原方程表示圆。
又
当，所以半径最小的圆方程为
例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆．
圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或．
又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．
若两圆相切，则或．
(1)当时，，或(无解)，故可得．
∴所求圆方程为，或．
(2)当时，，或(无解)，故．
∴所求圆的方程为，或．
说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线相切且半径为4，则圆心坐标为，且方程形如．又圆，即，其圆心为，半径为3．若两圆相切，则．故，解之得．所以欲求圆的方程为，或．
上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.

【例2】 设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题.
解法一:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.
由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴的弦长为，故r2=2b2
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.
又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
所以5d2=│a-2b│2=a2+4b2-4ab
≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.
由此有
解此方程组得
由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是:
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
解法二:同解法一得

将a2=2b2-1代入上式,整理得
②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即
△=8(5d2-1)≥0, 得 5d2≥1.
所以5d2有最小值1，从而d有最小值
将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.
将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.
综上 a=±1,b=±1,r2=2.
由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.
点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程,二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程.
【例4】在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析:问题（2）可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2
即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 + =1
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=，y=
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。
点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.

反馈练习：
1.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF＞0
2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)
3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部，则k的范围是
4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是
6.方程表示的曲线是_两个半圆
7.圆关于直线的对称圆的方程是
8.如果实数x、y满足等式，那么的最大值是
9.已知点和圆，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为___8___
10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
解：设圆心P(x0,y0),则有,
解得 x0=4, y0=5,
∴半径r=,
∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
11. 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，
故设圆方程为
又因为直线y=x截圆得弦长为2，
则有+=9b2，
解得b=±1故所求圆方程为
或
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F.

12.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得
，
即 ．

由于点在圆内，故
由此得．
所以的取值范围为．
第4课　直线与圆的位置关系
【考点导读】
能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.

【基础练习】
1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜4
2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于
3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 .
4..设集合,,若M∪N=M，则实数a的取值范围是-2≤a≤2
5.M（2,-3,8）关于坐标平面xOy对称点的坐标为（2，-3，-8）
【范例导析】
例1.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
由得
即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，
∴l的方程为2x－y－5=0.
点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.
例2.已知圆O: ，圆C: ，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.
(1)求实数a、b间满足的等量关系；
(2)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.
分析: 问题（1）可直接根据题目条件求得,在解决问题（2）时,要注意问题（1）结论的运用.
例2
(1)连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1
∴|PO|2=|PC|2，从而
化简得实数a、b间满足的等量关系为: .
(2)∵圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有 且 于是有: 即
从而得 两边平方，整理得
将代入上式得：
故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.
点拨: 注意圆与圆的位置关系的判断.
例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.
（1）求圆C的方程.（2）若直线与圆C相切，求证：
分析:本题要充分利用圆的几何性质以得到简单的解法.
解：（1）设圆C半径为，由已知得：
∴，或
∴圆C方程为.
（2）直线，
∵
∴ ∴
左边展开，整理得，∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴
点拨:有关直线和圆的位置关系,一般可以考虑圆心到直线的距离,当然也以联立方程组用代数手段解决.

例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y=x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
x
y
O
A
B
l2
l1
l
(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．

例4

解：（1）直线设.
的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为
. 即.
已知圆C与,
圆心C在过点D且与垂直的直线上， ,又圆心C在过点A且与垂直的直线上，,，圆C的半径r=3，
故所求圆C的方程为.
（2）设点关于的对称点，则，得,固定点Q可发现，当共线时，最小，
故的最小值为.此时由,得.

反馈练习：
1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为
2.直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为
解析：如图7—7所示，
由
消y得：x2－3x+2=0
∴x1=2，x2=1
∴A（2，0），B（1，）
∴|AB|==2
又|OB|＝|OA|=2
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C.
评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120°.则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义.
3.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是
4.设m>0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为相切或相离
解析：圆心到直线的距离为d=,圆半径为.
∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,
∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
5.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为3
6.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为
7.若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为
8.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是x+y-3=0 ，过点P的最长弦所在直线方程是 x-y-3=0
9.设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 1 .
10. 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线L交x轴、 y轴于A、B两点, O为原点, 且|OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2)
（1）求证曲线C与直线L相切的条件是(a-2)(b-2)=2
(2)求ΔAOB面积的最小值.
解 依题意得，直线L的方程为 +=1即bx+ay-ab=0，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1
（1） ∵直线与圆相切, ∴=1,化简: (a-2)(b-2)=2 ①
（2） 由(a-2)(b-2)=2, 得ab=2a+2b-2 ∴SΔAOB=|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2+3=2+3, 当且仅当a=b=2+时，面积有最小值：2+3.
11.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内
部所覆盖．
(1)试求圆的方程.
(2)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.
解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是.
(2)设直线的方程是:.
因为,
所以圆心到直线的距离是,
即
解得:.所以直线的方程是:.
12、（本题满分16分）已知⊙：和定点，由⊙外一点向⊙引切线，切点为，且满足．
(1) 求实数间满足的等量关系；
(2) 求线段长的最小值；
(3) 若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点，试求半径取最小值时的⊙方程．
解：（1）连为切点，，由勾股定理有
又由已知，故.即：.
化简得实数a、b间满足的等量关系为：. （3分）
（2）由，得.
=.
故当时，即线段PQ长的最小值为 （7分）
（3）设P 的半径为，P与O有公共点，O的半径为1，
即且.
而，
故当时，此时, ，.
得半径取最小值时P的方程为． （12分）
P0
l
解法2
解法2： P与O有公共点，P半径最小时为与O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点P0.
r = －1 = －1.
又 l’：x－2y = 0,
解方程组，得.即P0( ,).
∴所求圆方程为.

本章自主检测
一填空:
1．点P (a, b ), Q (b+1 , a－1) 关于直线L对称，则L的方程是x－y－1=0
2．过点P（2，1）且被圆x2+y2－2x+4y=0，截得的弦长最大的直线的方程是3x－y－5=0
3．如果点（4，a）到直线的距离不大于3，那么a的取值范围是[0，10]
4．直线当k变动时，所有直线都过定点（3，1）
5．直线和直线平行的充要条件是
6.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆方程，则t的取值范围是
7.点A是圆C: 上任意一点,A关于直线的对称点也在圆C上,则实数a的值为-10
8.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5
9．M(为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为相离（填相切、相交、相离）
10.设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则0
11.已知圆C过点A（4,-1）,且与圆相切于点B（1,2）,则圆C
的方程为
12. 25
13.过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率=
14.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是
二解答题
15.已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点D的坐标,使四边形ABCD为等腰梯形.
解:设，若，则，易得D（）
若，则由，可解得
故点D的坐标为
16.已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．
解:设，由AB中点在上，
可得：，y1 = 5，所以．
设A点关于的对称点为，
则有.故

17.已知圆：和圆，直线与圆相切于点；圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．
(Ⅰ)求直线的方程；
(Ⅱ)求圆的方程．
解：(Ⅰ)（法一）∵点在圆上，
∴直线的方程为，即．
（法二）当直线垂直轴时，不符合题意．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．
则圆心到直线的距离，即：，解得，
∴直线的方程为．
（Ⅱ）设圆：，∵圆过原点，∴．
∴圆的方程为．
∵圆被直线截得的弦长为，∴圆心到直线：的距离：
．
整理得：，解得或．
∵，∴．
∴圆：．
18.已知过A（0，1）和且与x轴相切的圆只有一个，求的值及圆的方程．
解:设所求圆的方程为．因为点A、B在此圆上，
所以，① ，
②,
又知该圆与x轴（直线）相切，所以由，③
由①、②、③消去E、F可得：，④
由题意方程④有唯一解，当时，；当时由可解得，
这时．
综上可知，所求的值为0或1，当时圆的方程为；当时，圆的方程为．

19.已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
x
y
O
P
F
Q
A
B
第19题
(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；
(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.
解：(Ⅰ)因为,所以c=1
则b=1,即椭圆的标准方程为
(Ⅱ)因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x(7分)
又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4)
所以,又,所以,即,
故直线与圆相切
(Ⅲ)当点在圆上运动时,直线与圆保持相切
证明:设(),则,所以,,
所以直线OQ的方程为
所以点Q(－2,)
所以,又,
所以,即,故直线始终与圆相切