等差数列与等比数列.doc

等差数列与等比数列知识梳理一、等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式通项公式，为首项，为公差.前项和公式或.3.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4.等差数列的判定方法定义法：（，是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列.5.等差数列的常用性质数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.；(,是常数)；(,是常数，)若，则；若等差数列的前项和，则是等差数列；当项数为，则； 当项数为，则.二、等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.2.通项公式与前项和公式通项公式：，为首项，为公比 .前项和公式：当时，当时，.3.等比中项如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等差中项，成等差数列.4.等比数列的判定方法定义法：（，是常数）是等比数列；中项法：()且是等比数列.5.等比数列的常用性质数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.若，则；若等比数列的前项和，则、是等比数列.（）典型例题题型1已知等差、等比数列的某些项，求某项例1.（1）已知为等差数列，则 ；24（2）已知为等比数列，则 ；13122变式训练：（1）在等差数列an中，a53，a62，则a4a5a10 解：da6a55，a4a5a10（2）已知等比数列an中，a1a964，a3a720，则a11 解：64或1 由题型2已知前项和及其某项，求项数.例2已知为等差数列的前项和，求；若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.【解析】设等差数列的首项为，公差为，则例3.已知为等比数列前项和，公比，则项数 .已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.【解析】由，公比，得.方法1：设这四个数分别为，则；方法2：设前个数分别为，则第个数分别为，则，解得或；方法3：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则或；方法4：设第个数分别为，设第个数分别为；方法5：设第个数分别为，则设第个数分别为，则或变式训练：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解：设这四个数为ad，a，ad， 依题意有： 解得： 或 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1题型3 求等差、等比数列前项和例4.已知为等差数列的前项和，.求； 求；求.【解析】4.，当时，当时，当时， .由，得，当时，；当时，.； ；当时， 当时， 例5.已知为等比数列前项和，求 【解析】，即变式训练：1.已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；求的值；求数列的前项和【解析】等差数列中，公差，令当时，；当时，.当时，取得最大值；数列是等差数列；由得，当时，；当时，. 2.已知为等比数列前项和，求. 【解析】，- -，得 题型4 证明数列是等差、等比数列例6. 已知公比为3的等比数列与数列满足，且，（1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若，求数列的前n项和解：1），即 为等差数列。（2）。例7.已知数列和满足：，其中为实数，. 对任意实数，证明数列不是等比数列； 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.【解析】 证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即矛盾.所以不是等比数列. 解：因为 又，所以当，此时不是等比数列；当时，由上可知，此时是等比数列.变式训练：1.已知数列满足证明：数列是等比数列；求数列的通项公式；若数列满足证明是等差数列.【解析】证明：,是以为首项，2为公比的等比数列。解：由（I）得证明：，得 即，得 即， 是等差数列.题型5等差、等比数列的性质例8（1）设、分别是等差数列、的前项和，则 . 【解析】 填.（2）已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 . 【解析】 已知两式相减，得 （3）已知为等比数列前项和，则 .【解析】是等比数列，为等比数列，.（4）已知等比数列中，则 .【解析】是等比数列，.（5）在等比数列中，已知，则 . 【解析】利用成等比数列，得 题型6 等差、等比数列与其它知识的综合例9.设为数列的前项和，. 设，求数列的通项公式； 若，求的取值范围【解析】依题意，即，由此得因此，所求通项公式为， 由知 ，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是例10.已知为数列的前项和，；数列满足：，其前项和为 求数列、的通项公式； 设为数列的前项和，求使不等式对都成立的最大正整数的值.【解题思路】利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；求出后，判断的单调性.【解析】，当时，； 当时， 当时，；，是等差数列，设其公差为.则，. ，是单调递增数列.当时，对都成立所求最大正整数的值为.变式训练：已知为数列的前项和，.求数列的通项公式；数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.【解析】当时，且，是以为公差的等差数列，其首项为.当时，当时，；，得或，当时，恒成立，所求最小的正整数