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第22课 等差数列与等比数列
●考试目标 主词填空
1.数列的定义用自然语言可叙述为依一定次序排列的一列数叫做数列，{an}与an是不同的概念，前者表示数列，后者表示数列的第n项.
2.数列的通项公式一般形式为：an=f(n)(n∈N*)，数列通项公式的形式有时并不惟一.
3.数列的表示有三种方法.即：解析法，列表法和图像法.
4.数列的分类，①按项数分类可分为有穷数列与无穷数列；②按前后项之间的大小关系可分为递增数列，递减数列，摆动数列以及常数列；
③按数列中任何一项的绝对值是否都小于某一正数，可分为有界数列与无界数列.
5.等差数列与等比数列
(1)其通项公式分别是an=a1+(n-1)d及an=a1qn-1；
(2)其中项公式分别是；
(3)其前n项和分别为
●题型示例 点津归纳
【例1】 写出下列各数列的一个通项公式.
(1)1，9，1，9，1，9，…
(2)a，b，a，b，a，b，…
(3)1，0，，0，，0，，0，…
【解前点津】 (1)相邻两项之间的“中间数”为5，每一项可表为5±4型.
(3)该数列可重排为：，，，，…其分子的规律是1，0，-1，0，1，0，-1，0周期出现，故可考虑三角函数的周期性.
【规范解答】 (1)an=5+4·(-1) n；
(2)an=+(-1)n·；
(3)an=.
【解后归纳】 写数列的通项公式，要善于从各种不同的角度去观察数列的规律，如，分别观察数列各项的“符号”规律，每项与n的运算规律，分子的规律，分母的规律等等.
【例2】 设{an}是等差数列，{bn}是等比数列.(1)若a21=103，a29=-53，求a2004；(2)若bn>0且b6b8+2b6b10+b8b10=36，求b7+b9之值.
【解前点津】 确定等差数列就是要确定首项与公差，确定等比数列就是要确定首项与公比，可通过列方程组和解方程组求解.
【规范解答】 (1)设公差为d，由条件得：
a2004=a1+2003d=493-19.5×2003=-38565.5.
(2)设公比为q，则(b1·q5)·(b1q7)+2(b1q5)·(b1q9)+(b1q7)·(b1q9)=36bq12·(1+2q2+q4)=36b1q6(1+q2)=6b7+b9=b1q6+b1q8=b1q6(1+q2)=6.
【解后归纳】 确定等差数列，等比数列的通项公式，关键是确定“基本量”，首项与公差是等差数列的基本量，而首项与公比是等比数列的两个基本量.
【例3】 记等差数列{an}的前n项之和为Sn且S4=-62，S6=-75.
(1)求通项an及前n项和Sn；
(2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|的值.
【解前点津】 (1)列方程组，求首项与公差；(2)讨论ak的正负，从而去掉绝对值求和.
【规范解答】 (1)设公差为d，则
解得： 故an=3n-23，Sn=n2-n.
(2)由≤k≤k=7故前7项为负，∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|=-(a0+a2+a3+…+a7)+(a8+a9+…+a14)=S14-2S7=147.
【解后归纳】 确定等差数列各项的正负，是去掉绝对值符号的常规方法.
【例4】 在某厂的三年生产计划中，每年比上年增长的电脑台数相同，而实际生产时第三年比原计划多生产了1000台，且使每年生产的台数恰好成等比数列，第三年生产的台数是原计划三年生产台数总和的2倍，如果按照这样的增产幅度生产，并使生产的台数超过36万台，问至少需要多少年?
【解前点津】 先确定原计划第一年生产的台数以及每年增产的台数，最后列不等式求解.
【规范解答】 设原计划第一年生产a1台，每年增加d台，则由条件知
a1=40，d=200由此可得公比为6，经n年后生产台数总和为：Sn=8(6n+1)令8(6n-1)>3600006n>45000n≥6，即至少需要6年.
【解后归纳】 解形如6n>45000的不等式，常将45000写成与6m接近的数即6m≤45000<6m+1从而确定n值.
●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.已知等差数列{an}，a1=-5，d=7，an≤695，则这个等差数列至多有 ( )
A.98项 B.99项 C.100项 D.101项
2.已知lga，lgb，lgc成等差数列，且公差d<0，a，b，c分别是Rt△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，则：的值是 ( )
A. B.  C.不存在 D.
3.已知{an}为等差数列，且有a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7等于 ( )
A.12 B.16 C.20 D.24
4.等差数列{an}中，d=-2，a1+a4+a7+…+a31=50，那么a2+a6+a10+…+a42的值等于 ( )
A.60 B.-82 C.182 D.-96
5.已知数列{an}的通项公式是an=lg1536-(n-1)lg2，则使得an<0的最小正整数n的值为 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
6.等差数列{an}中，a1>0，S20=S30，则Sn取得最大值时n的值为 ( )
A.23 B.24 C.25 D.26
7.设M= (n∈N),则 ( )
A.M为无理数 B.M=  C.M= D.M=
8.小王从1983年起，每年9月3日在银行新存入a元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2000年9月3日将所有存款及利息取回，她可取回的钱数(元)为 ( )
A.a(1+r)17 B.a(1+r)18
C.[(1+r)17-(1+r)]  D. ［(1+r)18-(1+r)］
9.某超市去年的销售额为a万元，计划在后10年内每年比上一年增加10%，从今年起10年内这家超市总销售额为 ( )
A.(1.1)9a B.(1.1)5a C.[(1.1)10-1]a D.11·[(1.1)10-1]a
10.已知线段PQ=a，A1是线段PQ的中点，A2是QA1的中点，A3是A1A2的中点，A4是A3A2的中点，…，An是An-2An-1的中点，则PAn长为 ( )
A.a· B.
C.a· D.
二、思维激活
11.已知一个等差数列共有1999项，那么它的偶数项之和与奇数项之和的比值是 .
12.有浓度为P的酒精一满瓶A升，每次倒出B升后，再用水加满，一共倒了n次，加了n次后瓶内酒精浓度为 .
13.在10到2000之间，形如2n(n∈N*)的数之和为 .
14.a≠1时1+2a+3a2+…+nan-1= .
三、能力提高
15.已知等差数列{an}，an=21-2n，又知bn=|an|，求数列{bn}的前30项之和.
16.一个首项为正数的等差数列{an}，如果它的前3项之和与前11项之和相等，那么此数列前多少项之和最大?
17.在直线y=2x上分别取横坐标为a1的点A1，以A1的纵坐标为横坐标取点A2，以A2的纵坐标为横坐标取点A3，这样一直下去.分别由A1，A2，A3，…，An引x轴的垂线，垂足分别为B1，B2，B3，…，Bn.
(1)求A1，A2，A3，…，An的纵坐标所成数列的通项公式；
(2)若点A6的纵坐标为192，求△OAnBn的面积所成数列前5项的和.
18.某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年年度都要扣除消费基金x万元，余下的基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元?
第1课 等差数列与等比数列习题解答
1.D 由an≤695得(-5)+7(n-1)≤695解之即得.
2.A 由2lgc＝lga+lgb得：c2=ab，因d<0故a2=b2+c2a2=b2+ab()2＋－1=0解之==.
3.D 注意到a6+a7=a2+a11=a3+a10.
4.B 令t=a2+a6+a10+…+a42又50=a1+a4+a7+…+a31两式相减：t-50=d+2d+…+11d=66d又d=-2，∴t=-82.
5.B 可验证n=11，n=12.
6.C 用n表示Sn.
7.D M=
==(10n-1)=.
8.A 存入的时间为17年，最后求本息和.
9.D 首项为1.1a，公比为1.1的等比数列前10项和S10==11·（1.110-1)a.
10.B PQ-QA1+A1A2-A2A3+…+(-1)nPn-1Pn=a-+-+…+(-1)n=a［1+］.
11.0.998 求和公式.
12.设第n次浓度为an，a1=P=(1-)·P，a2=a1=(1-)2·P，依次类推：an=(1-)n·P.
13. 2032 n=4，5，……10时，2n在10到2000之间，其和为S==2032.
14. .
15.若21-2n>0即n<.
当1≤n≤10时，an>0由bn=|an|得bn=2-2n；
当11≤n≤30时，an<0由bn=|an|得bn=-an=2n-21.
又∵b10=a10=1，b11=-a11=1，b30=-a30=39，∴S30=S10+S′20=+=500.
16.∵S3=S11，∴d=-a1，∴Sn=-a1n2+a1n=-a1(n-7)2+a1，故当n=7时，Sn最大，即此数列前7项和最大.
17.(1)yn=2na1.
(2)由y6=26a1得26a1=192，a1=3，S=×2n-1a1×2na1=9×4n-1，故S所成的数列首项为9，公比为4S5==3069.
18.第一年余下的基金为：1000(1+50%)-x=1000×-x=a1.
第二年余下的基金为：(1000×-x)(1+50%)-x=1000()2-(1+)x=a2，依次类推：a3=1000×()3-［1++()2］x
a4=1000×()4-［1++()2+()3］x
a5=1000×()5-［1++()2+()3+()4］x=2000·x=1000×()5-2000，
∴x≈424(万元).