第讲等差数列等比数列.doc

个人收集整理 勿做商业用途第五讲等差数列、等比数列真题试做-1(2013高考课标全国卷)设首项为1,公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1BSn3an2CSn43an DSn32an2（2013高考重庆卷)已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2,a5成等比数列，则S8_3（2013高考江西卷)正项数列an满足：a（2n1)an2n0。（1)求数列an的通项公式an；（2）令bn，求数列bn的前n项和Tn。考情分析-等差数列与等比数列是最重要也是最基本的数列模型,因而也是高考中重点考查的内容客观题突出“小而巧”，主要考查等差(比)数列的性质，利用方程思想求a1、d、q、Sn、n、an等一些基本元素；主观题一般“大而全”,常与函数、不等式、解析几何等知识相结合，注重考查题目的综合性与新颖性，属于中档题，主要考查考生灵活运用两种数列分析问题、解决问题的能力考点一等差(比）数列的基本运算等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题，还有解答题，题目难度中等(2013高考重庆卷)设数列an满足：a11，an13an，nN。（1)求an的通项公式及前n项和Sn；（2）已知bn是等差数列，Tn为其前n项和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20.【思路点拨】根据等比、等差数列的通项公式及前n项和公式直接运算求解关于等差(等比）数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差（等比）数列的性质,不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差（等比)数列问题的认识强化训练1（2012高考重庆卷）已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；(2）记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值考点二等差(比)数列的判定与证明等差(比）数列的判定与证明，以及在此基础上延伸出来的一些新数列是历年高考数列问题的一大热点主要以解答题的形式进行考查，考查的目的是：考生对基本数列的理解和利用，对已知信息进行转化和变通的能力在解决此类问题时，要注意Sn与an关系的应用（2013高考陕西卷）设Sn表示数列an的前n项和 （1）若an是等差数列， 推导Sn的计算公式； （2）若a11，q0，且对所有正整数n，有Sn，判断an是否为等比数列，并证明你的结论. 【思路点拨】利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行 判定或证明an为等差数列或等比数列时也常用以下方法：(1)通项公式法：anpnq（p，q为常数，nN)an为等差数列；ancqn（c，q为非零常数，nN*)an为等比数列(2）前n项和公式法：Snan2bnc（a，b,c都是常数），c0an为等差数列；Snk（qn1），k为常数，且q0，1an为等比数列强化训练2（2013东北三校高三第一次联合模拟考试）已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n（nN）(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；(2）求证:数列an(1）n为等比数列，并求出an的通项公式考点三等差数列与等比数列的综合应用从近几年的考题看，对于等差与等比数列的综合考查也频频出现考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活就集中在“转化”的水平上（2013高考湖北卷）已知Sn是等比数列an的前n项和，S4,S2,S3成等差数列，且a2a3a418。（1）求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在,求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由【思路点拨】首先由S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418，求得a1和公比q,进而得通项公式；然后根据等比数列的前n项和公式列出关于n的不等式，通过解不等式进而做出判断对于等差数列与等比数列综合性的问题，要找准其结合点,弄清哪些是等差数列中的量,哪些是等比数列中的量，注意它们的区别,避免用错公式强化训练3已知等比数列an的前n项和为Sn，a12，S1、2S2、3S3成等差数列（1)求数列an的通项公式；（2)数列bnan是首项为6，公差为2的等差数列，求数列bn的前n项和结构创新型试题的解题技巧-函数与数列的珠联璧合数列是定义在正整数集上的一类特殊的函数，以函数为背景的数列问题通常有两种：一是数列由函数关系给出；二是利用函数的有关方法求解数列的有关问题数列与函数的这种关系也是数列解答题命题的重点之一(2012高考四川卷)设函数f（x）2xcos x，an是公差为的等差数列，f（a1)f（a2）f（a5)5，则f（a3）2a1a5（)A0B。2C.2 D.2(1）给出以等差数列前5项为自变量的函数值之和(2)根据等差数列性质和三角函数性质把f(a1)f（a2)f（a3)f（a4)f(a5）的结构用a3表达（3)构造函数，通过函数的单调性确定a3的值(4)将求解结果用a3表示、化简 【解析】f（a1）f(a2)f(a3）f（a4)f（a5)2（a1a2a3a4a5)（cos a1cos a2cos a3cos a4cos a5）10a3cos(a3)cos(a3）cos a3cos(a3）cos(a3)10a3(2cos 2cos 1）cos a3.构造函数g（x)10x（2cos 2cos 1)cos x5，g（x）10(2cos 2cos 1）sin x0，函数g(x）在(，）内单调递增，由g()0，所以方程10x（2cos 2cos 1）cos x50有唯一解x，所以a3.所以f(a3)2a1a5f(a3)2（a3)(a3）f(a3）2a2(）2。【答案】D跟踪训练(2013成都市高中毕业班第二次诊断性检测)已知数列an满足an2an1an1an,nN*，且a5。若函数f(x）sin 2x2cos2 ,记ynf（an），则数列yn的前9项和为(）A0 B9C9 D1_体验真题把脉考向_1【解析】选D。法一:在等比数列an中，Sn32an.法二：在等比数列an中，a11，q，an1()n1(）n1.Sn31(）n31()n132an。2【解析】a1，a2，a5成等比数列，aa1a5，(1d）21（4d1），d22d0.d0，d2.S881264.【答案】643【解】(1)由a(2n1）an2n0，得(an2n）(an1)0。由于an是正项数列，所以an2n.（2)由an2n,bn，则bn，Tn。_典例展示解密高考_【例1】【解】（1)由题设知an是首项为1,公比为3的等比数列，所以an3n1，Sn（3n1）（2）b1a23，b313913,b3b1102d，所以公差d5，故T2020351 010。强化训练1【解】(1）设数列an的公差为d，由题意知解得所以ana1（n1）d22(n1）2n。（2)由(1）可得Snn（n1）因为a1，ak，Sk2成等比数列，所以aa1Sk2.从而（2k)22（k2)(k3),即k25k60,解得k6或k1（舍去)因此k6。【例2】【解】（1）法一:设an的公差为d，则Sna1a2ana1(a1d）a1(n1）d又Snan（and）an(n1)d，2Snn（a1an)，Sn.法二:设an的公差为d，则Sna1a2ana1(a1d）a1(n1)d又Snanan1a1a1(n1）da1（n2)da1，2Sn2a1(n1)d2a1（n1)d2a1(n1）d2na1n（n1)d，Snna1d。（2)an是等比数列证明如下:Sn,an1Sn1Snqn.a11,q0，当n1时，有q.因此，an是首项为1且公比为q（q0)的等比数列强化训练2【解】(1）在Sn2an（1）n(nN)中分别令n1，2，3得：，解得.（2)证明:由Sn2an(1)n(nN)得：Sn12an1（1）n1（n2）,两式相减得：an2an12(1)n（n2）,an2an1(1)n（1）n2an1（1）n1(1)n(n2），an（1)n2an1(1)n1(n2)故数列an(1）n是以a1为首项，公比为2的等比数列an（1）n2n1，an2n1（1）n(1)n。【例3】【解】(1)设等比数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.（2)由(1)有Sn1（2）n.假设存在n，使得Sn2 013，则1(2）n2 013，即（2）n2 012。当n为偶数时，（2）n0，上式不成立;当n为奇数时，（2)n2n2 012，即2n2 012，即n11。综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN,k5强化训练3【解】（1）由已知4S2S13S3，4（a1a1q)a13a1(1qq2），3q2q0,q0（舍)，或q，an2。(2)由题意得：bnan2n8，bnan2n822n8.设数列bn的前n项和为Tn，Tn3n（n7）n27n3。_名师讲坛精彩推荐_跟踪训练【解析】选C。由数列an满足an2an1an1an，nN*可知该数列是等差数列，根据题意可知只要该数列中a5，数列yn的前9项和就能计算得到一个定值,又因为f(x)sin 2x1cos x，则可令数列an的公差为0，则数列yn的前9项和为S9(sin 2a1sin 2a2sin 2a9)（cos a1cos a2cos a9)99sin 2a59cos a599sin(2)9cos99。