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等差数列与等比数列
知识梳理
一、等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式，为首项，为公差.
⑵前项和公式或.
3.等差中项
如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.
即：是与的等差中项，，成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等差数列；
⑵中项法：()是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.
⑶；(,是常数)；(,是常数，)
⑷若，则；
⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；
⑹当项数为，则；
当项数为，则.
二、等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式：，为首项，为公比 .
⑵前项和公式：①当时，
②当时，.
3.等比中项
如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.
即：是与的等差中项，，成等差数列.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法：（，是常数）是等比数列；
⑵中项法：()且是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.
⑶
⑷若，则；
⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.（）

典型例题
题型1已知等差、等比数列的某些项，求某项
例1.（1）已知为等差数列，，则 ；24

（2）已知为等比数列，，则 ；13122
变式训练：（1）在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．
解：∵d＝a6－a5＝－5，
∴a4＋a5＋…＋a10＝
（2）已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝ ．
解：64或1
由
题型2已知前项和及其某项，求项数.
例2．⑴已知为等差数列的前项和，，求；
⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.
【解析】⑴设等差数列的首项为，公差为，则

⑵

例3.⑴已知为等比数列前项和，，，公比，则项数 .
⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.
【解析】⑴由，，公比，得.
⑵方法1：设这四个数分别为，则；
方法2：设前个数分别为，则第个数分别为，则
，解得或；
方法3：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则
或；
方法4：设第个数分别为，设第个数分别为；
方法5：设第个数分别为，则设第个数分别为，则
或
变式训练：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解：设这四个数为a－d，a，a＋d，
依题意有：
解得： 或
∴ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．

题型3 求等差、等比数列前项和
例4.已知为等差数列的前项和，.
⑴求；
⑵求；
⑶求.
【解析】4.，
当时，，
当时，，
当时，， .
由，得，当时，；当时，.
⑴；
⑵
；
⑶当时，，
当时，

例5.已知为等比数列前项和，，求
【解析】，

即
变式训练：1.已知为等差数列的前项和，
⑴当为何值时，取得最大值；
⑵求的值；
⑶求数列的前项和
【解析】⑴等差数列中，公差
，令
当时，；当时，.当时，取得最大值；
⑵数列是等差数列
；
⑶由⑴得，当时，；当时，.

2.已知为等比数列前项和，，求.
【解析】
，----------------①
-------------②
①—②得

题型4 证明数列是等差、等比数列
例6. 已知公比为3的等比数列与数列满足，且，
（1）判断是何种数列，并给出证明；
（2）若，求数列的前n项和
解：1），即 为等差数列。
（2）。

例7.已知数列和满足：，，，其中为实数，.
⑴ 对任意实数，证明数列不是等比数列；
⑵ 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.
【解析】⑴ 证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，
即矛盾.
所以不是等比数列.
⑵ 解：因为

又，所以
当，此时不是等比数列；

当时，由上可知，此时是等比数列.
变式训练：
1.已知数列满足
⑴证明：数列是等比数列；
⑵求数列的通项公式；
⑶若数列满足证明是等差数列.
【解析】⑴证明：
,,
是以为首项，2为公比的等比数列。
⑵解：由（I）得

⑶证明：
　①
　②
②－①，得 即，　　③
　④
④－③，得 即，
是等差数列.
题型5等差、等比数列的性质
例8．（1）设、分别是等差数列、的前项和，，则 .
【解析】 填.
（2）已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 .
【解析】 已知两式相减，得
（3）已知为等比数列前项和，，，则 .
【解析】是等比数列，为等比数列，
.
（4）已知等比数列中，，则 .
【解析】是等比数列，
.
（5）在等比数列中，已知，，则 .
【解析】．利用成等比数列，得
题型6 等差、等比数列与其它知识的综合
例9.设为数列的前项和，，，.
⑴ 设，求数列的通项公式；
⑵ 若，求的取值范围．
【解析】⑴依题意，，即，
由此得．因此，所求通项公式为
，． ①
⑵ 由①知 ，，于是，
当时，
，
，
当时，，又．
综上，所求的的取值范围是．

例10.已知为数列的前项和，；数列满足：，
，其前项和为
⑴求数列、的通项公式；
⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.
【解题思路】⑴利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；⑵求出后，判断的单调性.
【解析】⑴，
当时，；
当时，
当时，，；
，是等差数列，设其公差为.
则，
.
⑵

，是单调递增数列.
当时，
对都成立
所求最大正整数的值为.
变式训练：已知为数列的前项和，，.
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.
【解析】⑴当时，
，且，是以为公差的等差数列，其首项为.

当时，
当时，，；
⑵，得或，
当时，恒成立，所求最小的正整数