1、1.求下列方程的通解。.解:方程可化为令,得 由一阶线性方程的求解公式,得所以原方程为: 2.求下列方程的通解。.解:设,则有, 从而,故方程的解为, 另外也是方程的解 .3.求方程通过的第三次近似解.解: 4.求解下列常系数线性方程。解:对应的特征方程为:,.解得 所以方程的通解为: 5.求解下列常系数线性方程。解:齐线性方程的特征方程为,解得, 故齐线性方程的基本解组为:, 因为是特征根,所以原方程有形如,代入原方程得,所以,所以原方程的通解为 6.试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性:解: 解得所以奇点为( 经变换,方程组化为因为 又所以,故奇
2、点为稳定焦点,所对应的零解为渐近稳定的。 7.设为方程(为常数矩阵)的标准基解矩阵(即,证明其中为某一值证明:为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵, 所以也是方程的基解矩阵,且也是方程的基解矩阵, .且都满足初始条件,所以 即命题得证。 8.求方程的通解解: 积分因子 两边同乘以后方程变为恰当方程: 两边积分得: 得: 因此方程的通解为: 9.求方程的通解解:令 则 得: 那么 . 因此方程的通解为:10.求初值问题 的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计解: , 解的存在区间为 即 令 又 误差估计为: 11.求方程的通解解: . 是方程的特征值, 设 得: 则 得:
3、. 因此方程的通解为:12.试求方程组的解 解: 得 取 得 取 则基解矩阵 因此方程的通解为: 13.试求线性方程组的奇点,并判断奇点的类型及稳定性解: (1,3)是奇点 令 ,那么由 可得: 因此(1,3)是稳定中心 14.证明题:如果是满足初始条件的解,那么证明:由定理8可知 又因为 所以 又因为矩阵 所以 即命题得证。 15.求下列方程的通解解:因为,所以此方程不是恰当方程,方程有积分因子, 两边同乘得所以解为 即另外y=0也是解 16.求下列方程的通解解:线性方程的特征方程故特征根 是特征单根,原方程有特解代入原方程A=- B=0 不是特征根,原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方
4、程的解为 17.若试求方程组的解并求expAt解:解得此时 k=1 由公式expAt= 得 18.求下列方程的通解解:方程可化为令则有(*)(*)两边对y求导:即由得即将y代入(*)即方程的 含参数形式的通解为: p为参数又由得代入(*)得:也是方程的解 19.求方程经过(0,0)的第三次近似解 解: 20.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性解:由解得奇点(3,-2)令X=x-3,Y=y+2则 因为=1+1 0故有唯一零解(0,0) 由得故(3,-2)为稳定焦点。 21.证明题: 阶齐线性方程一定存在个线性无关解证明:由解的存在唯一性定理知:n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解: 考虑 从
5、而是线性无关的。 22.求解方程:=解: (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 所以23.解方程: (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解:,令z=x+y则 所以 z+3ln|z+1|=x+, ln=x+z+ .即 24.讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解解: 设f(x,y)= ,则 故在的任何区域上存在且连续, 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件, 显然,是通过点(0,0)的一个解; 又由解得,|y|= 所以,通过点(0,0)的一切
6、解为及|y|= 25.求解常系数线性方程:解: (1) 齐次方程的通解为x= (2)不是特征根,故取代入方程比较系数得A=,B=-于是 通解为x=+ 26.试求方程组的一个基解矩阵,并计算解: det()= 所以, 设对应的特征向量为 由 取 所以,= 27.试讨论方程组 (1)的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac0。解: 因为方程组(1)是二阶线性驻定方程组,且满足条件 ,故奇点为原点(0,0) 又由det(A-E)=得 所以,方程组的奇点(0,0)可分为以下类型: a,c为实数 28.试证:如果满足初始条件的解,那么 证明: 设的形式为= (1) (C为待定的常向量) 则由初始条件得=
7、 又= 所以,C= 代入(1)得= 即命题得证。 29.求解方程 解:因为又因为所以方程有积分因子:u(x)= 方程两边同乘以得: 也即方程的解为 30.求解方程 解:令,则即 从而又 故原方程的通解为t为参数 31.求解方程 解:齐线性方程的特征方程为故齐线性方程的一个基本解组为, 因为不是特征方程的特征根所以原方有形如的特解将代入原方程,比较t的同次幂系数得:故有解之得:, 所以原方程的解为: 32.求方程经过(0,0)的第三次近似解.解: . 33.试求:的基解矩阵解:记A=,又得,均为单根 .设对应的特征向量为,则由得取,同理可得对应的特征向量为:则均为方程组的解 .令又所以即为所求。
8、 34.试求 的奇点类型及稳定性.解:令,则:.因为,又由得解之得.为两相异实根,且均为负故奇点为稳定结点,对应的零解是渐近稳定的。 35.一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为k1)的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。解:由物理知识得:根据题意:故:.即:(*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有.又当t=0时,V=0,故c=因此,此质点的速度与时间的关系为: 36.求解方程 解:, 则所以 另外也是方程的解 37.求方程经过的第三次近似解解:.38.讨论方程,的解的存在区间
9、解:两边积分所以方程的通解为.故过的解为通过点的解向左可以延拓到,但向右只能延拓到,所以解的存在区间为.39.求方程的奇解解: 利用判别曲线得 消去得 即 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解 40.求解方程 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程. 得 . 所以故原方程的解为 .41.求解方程 解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 ,令 , 则方程可化为 , .即 , 故 .42.求解方程 解: 两边同除以得 .所以 , 另外 也是方程的解 .43.试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解证明: 设黎卡提方程的一个特解为 令 , 又 .由假设 得 此方程是
10、一个的伯努利方程,可用初等积分法求解 .44.试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当 , 在上连续时,其解存在唯一证明: 令 : , , 在上连续, 则 显然在上连续 , 因为 为上的连续函数 ,故在上也连续且存在最大植 , 记为 即 , ., =因此 一阶线性方程当 , 在上连续时,其解存在唯一 45.求解方程解:所给微分方程可写成 即有 .上式两边同除以,得 由此可得方程的通解为 即 .46.求解方程解:所给方程是关于可解的,两边对求导,有(1) 当时,由所给微分方程得; (2) 当时,得。因此,所给微分方程的通解为 , (为参数) 而是奇解。 47.求解方程解:特征
11、方程,故有基本解组, 对于方程,因为不是特征根,故有形如的特解,将其代入,得,解之得, 对于方程,因为不是特征根,故有形如的特解,将其代入,得,所以原方程的通解为 48.试求方程组的一个基解矩阵,并计算,其中解:,均为单根,设对应的特征向量为,则由,得,取,同理可得对应的特征向量为,则, ,均为方程组的解, 令,又,所以即为所求基解矩阵。 49.求解方程组的奇点,并判断奇点的类型及稳定性解:令,得,即奇点为(2,-3)令,代入原方程组得, 因为,又由, 解得,为两个相异的实根,所以奇点为不稳定鞍点,零解不稳定。 50.求方程经过(0,0)的第二次近似解解:, , 。 假设不是矩阵的特征值,试证
12、非齐线性方程组 有一解形如 其中,是常数向量。51.证明: 假设不是矩阵的特征值,试证非齐线性方程组 有一解形如 其中,是常数向量。证:设方程有形如的解,则是可以确定出来的。事实上,将代入方程得, 因为,所以, (1)又不是矩阵的特征值, .所以存在,于是由(1)得存在。故方程有一解 52.求解方程 解: . .故方程的通解为 . 53求解方程 解:两边除以: . 变量分离: .两边积分:即: .54.求解方程 解:令则于是 得 . 即 .4分. 两边积分 .于是,通解为 .55.求解方程 解: . .积分:故通解为: .56.求解方程 解:齐线性方程的特征方程为,故通解为 .不是特征根,所以
13、方程有形如把代回原方程 .于是原方程通解为 .57.求解方程 解:齐线性方程的特征方程为,解得 .于是齐线性方程通解为令为原方程的解,则得, .积分得; 故通解为 .58.求解方程 解: 则 .从而方程可化为 , .积分得 .59.求方程组的奇点,并判断奇点的类型和稳定性 解:解方程组,解得所以(1,3)为奇点。 令则 而, 令,得 为虚根,且,故奇点为稳定中心,零解是稳定的。60.求解方程解:因为,所以此方程不是恰当方程,方程有积分因子, 两边同乘得所以解为 .即另外y=0也是解 .61.求解方程解:方程可化为令则有(*)(*)两边对y求导: .即由得即将y代入(*) .即方程的 含参数形式
14、的通解为: p为参数又由得代入(*)得:也是方程的解 62.求解方程解:线性方程的特征方程故特征根 . 是特征单根,原方程有特解代入原方程A=- B=0 . 不是特征根,原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方程的解为.63求方程经过(0,0)的第三次近似解解: 64.若试求方程组的解并求expAt解:解得 .此时 k=1 由公式expAt= 得 65.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.解:由解得奇点(3,-2) .令X=x-3,Y=y+2则 .因为=1+1 0故有唯一零解(0,0)由得故(3,-2)为稳定焦点。 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与的积分因子.证明:1 若该方程为线性方程则有(*)此方程有积分因子 只与x有关。 2 若该方程有只与x有关的积分因子则 为恰当方程,从而 其中于是方程化为即方程为一阶线性方程