常微分方程期末复习.doc

1.求下列方程的通解。
.
解：方程可化为
　　　　令，得
　　　　由一阶线性方程的求解公式，得
　　　　所以原方程为：＝

2.求下列方程的通解。
.
解：设，则有，
从而　，
故方程的解为，
另外也是方程的解 .

3.求方程通过的第三次近似解.
解：

4.求解下列常系数线性方程。

解：对应的特征方程为：，
.解得
　　　　所以方程的通解为：

5.求解下列常系数线性方程。

解：齐线性方程的特征方程为，解得，
故齐线性方程的基本解组为：，
因为是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，，所以，所以原方程的通解为

6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：

解： 解得　所以奇点为（
　经变换，
　　　　方程组化为　因为
又　所以，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

7.设为方程（Ａ为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值
证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，
所以也是方程的基解矩阵，且也是方程　的基解矩阵， .
且都满足初始条件，
所以
即命题得证。

8.求方程的通解
解：
积分因子
两边同乘以后方程变为恰当方程：
两边积分得：

得：
因此方程的通解为：

9.求方程的通解
解：令 则
得：
那么
.
因此方程的通解为：

10.求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计
解：
，，
解的存在区间为
即
令

又
误差估计为：

11.求方程的通解
解： .
是方程的特征值， 设
得：
则
得： .
因此方程的通解为：

12.试求方程组的解

解：

得 取
得 取
则基解矩阵

因此方程的通解为：

13.试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性
解：
（1，3）是奇点
令

，那么由
可得：
因此（1，3）是稳定中心

14.证明题：如果是满足初始条件的解，那么
证明：由定理8可知
又因为

所以
又因为矩阵
所以
即命题得证。

15.求下列方程的通解

解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，
两边同乘得
所以解为
即另外y=0也是解

16.求下列方程的通解

解：线性方程的特征方程故特征根
是特征单根，原方程有特解代入原方程A=- B=0
不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0
所以原方程的解为

17.若试求方程组的解并求expAt
解：解得此时 k=1

由公式expAt= 得

18.求下列方程的通解

解：方程可化为令则有（*）
（*）两边对y求导：
即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为： p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解

19.求方程经过（0，0）的第三次近似解

解：

20.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性
解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则
因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）
由得故（3，-2）为稳定焦点。

21.证明题： 阶齐线性方程一定存在个线性无关解
证明：由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：

考虑
从而是线性无关的。
22.求解方程：=
解： (x-y+1)dx-(x++3)dy=0
xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0
即d-d(xy)+dx--3dy=0
所以

23.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
解：，令z=x+y
则

所以 –z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+ .
即

24.讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解
解： 设f(x,y)= ,则
故在的任何区域上存在且连续，
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

显然，是通过点（0，0）的一个解；
又由解得，|y|=
所以，通过点（0，0）的一切解为及
|y|=

25.求解常系数线性方程：
解： (1)
齐次方程的通解为x=
(2)不是特征根，故取
代入方程比较系数得A=，B=-
于是
通解为x=+

26.试求方程组的一个基解矩阵，并计算
解： det()=
所以，
设对应的特征向量为
由
取
所以，=

27.试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。
解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件
，故奇点为原点（0，0）
又由det(A-E)=得

所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：

a，c为实数

28.试证：如果满足初始条件的解，那么

证明： 设的形式为= （1）
（C为待定的常向量）

则由初始条件得=
又=
所以，C==
代入（1）得=
即命题得证。

29.求解方程

解：因为
　　又因为
　　所以方程有积分因子：u(x)=
方程两边同乘以得：

［
也即方程的解为　．

30.求解方程
解：令，，则
　　即
　　从而
　　又
　　　　＝
　　故原方程的通解为
　　　　　t为参数

31.求解方程
解：齐线性方程的特征方程为
　　故齐线性方程的一个基本解组为，，
　　因为不是特征方程的特征根
　　所以原方有形如＝的特解
　　将＝代入原方程，比较t的同次幂系数得：

　　故有解之得：，
　　所以原方程的解为：

32.求方程经过（0，0）的第三次近似解.
解：
　　 .

　　　　＝

33.试求：的基解矩阵
解：记A=,又
得，均为单根 .
设对应的特征向量为，则由得
　　　　　　取,
同理可得对应的特征向量为：

则均为方程组的解 .
令
又
所以即为所求。
34.试求 的奇点类型及稳定性.
解：令，则：.
　因为，又由得
解之得.
为两相异实根，且均为负
故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。

35.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
解：由物理知识得：
根据题意：
故：.
即：
(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有

.
又当t=0时，V=0，故c=
因此，此质点的速度与时间的关系为：

36.求解方程
解：　，
则　　所以　
另外　　也是方程的解　

37.求方程经过的第三次近似解
解：
.
.

38.讨论方程　，的解的存在区间
解：
两边积分　　
所以　方程的通解为　.
故　过的解为　
通过点　的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到　２，
所以解的存在区间为　.
39.求方程的奇解
解: 利用判别曲线得
消去得 即
所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解

40.求解方程
解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.
得 .
所以
故原方程的解为 .

41.求解方程
解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为
,令 ,
则方程可化为 , .
即 , 故 .

42.求解方程
解: 两边同除以得
.
.
所以 , 另外 也是方程的解 .

43.试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解
证明: 设黎卡提方程的一个特解为
令 , 又
.
由假设 得
此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解 .

44.试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当 , 在上连续时,其解存在唯一
证明: 令 : ,
, 在上连续, 则
显然在上连续 ,
因为 为上的连续函数 ,
故在上也连续且存在最大植 , 记为
即 , .
, =
因此 一阶线性方程当 , 在上连续时,其解存在唯一

45.求解方程
解：所给微分方程可写成

即有 .
上式两边同除以，得
由此可得方程的通解为

即 .

46.求解方程
解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有

（1） 当时，由所给微分方程得；
（2） 当时，得。
因此，所给微分方程的通解为
， （为参数）
而是奇解。

47.求解方程
解：特征方程，，
故有基本解组，，
对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，
将其代入，得，解之得，

对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，
将其代入，得，所以原方程的通解为

48.试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中

解：，，，均为单根，
设对应的特征向量为，则由，得,
取，同理可得对应的特征向量为，
则， ，均为方程组的解，
令，
又，
所以即为所求基解矩阵。

49.求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性
解：令，得，即奇点为（2，-3）
令，代入原方程组得，
因为，又由，
解得，为两个相异的实根，
所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。

50.求方程经过（0，0）的第二次近似解
解：，
，
。

假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组

有一解形如

其中，是常数向量。
51.证明: 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组

有一解形如

其中，是常数向量。
证：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。
事实上，将代入方程得，
因为，所以，
（1）
又不是矩阵的特征值， .
所以存在，于是由（1）得存在。
故方程有一解

52.求解方程
解： .
.
故方程的通解为 .

53求解方程
解：两边除以： .

变量分离： .
两边积分：
即： .

54.求解方程
解：令则
于是
得 .

即 ………………….4分.

两边积分 .
于是，通解为 .

55.求解方程
解：
.

.
积分：
故通解为： .

56.求解方程
解：齐线性方程的特征方程为，
，故通解为 .
不是特征根，所以方程有形如
把代回原方程
.
于是原方程通解为 .

57.求解方程
解：齐线性方程的特征方程为，解得 .
于是齐线性方程通解为
令为原方程的解，则

得， .
积分得；
故通解为 .

58.求解方程
解： 则 .
从而方程可化为 ，，
.
积分得 .

59.求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性

解：解方程组，解得
所以（1，3）为奇点。
令
则

而，
令，得
为虚根，且，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。

60.求解方程
解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，
两边同乘得
所以解为 .
即另外y=0也是解 .

61.求解方程
解：方程可化为令则有（*）
（*）两边对y求导： .
即由得即将y代入（*） .
即方程的 含参数形式的通解为： p为参数
又由得代入（*）得：也是方程的解

62.求解方程
解：线性方程的特征方程故特征根 .
是特征单根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 .
不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0
所以原方程的解为.

63求方程经过（0，0）的第三次近似解
解：

64.若试求方程组的解并求expAt
解：解得 .
此时 k=1

由公式expAt= 得

65.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
解：由解得奇点（3，-2） .
令X=x-3,Y=y+2则 .
因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）
由得故（3，-2）为稳定焦点。

设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与的积分因子.
证明：1 若该方程为线性方程则有（*）此方程有积分因子 只与x有关。
2 若该方程有只与x有关的积分因子则 为
恰当方程,从而 其中于是方程化为
即方程为一阶线性方程