高等数学 期末复习之常微分方程部分.doc

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第11章 常微分方程习题课
一. 内容提要
1.基本概念
含有一元未知函数(即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间上成为恒等式的函数称为此微分方程在上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若阶微分方程的解中含有个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出在同一点处的值)时,称为初值问题.
2.一阶微分方程的解法
(1)对于可分离变量方程,
先分离变量(当时)得,
再两边积分即得通解 .
(2)对于齐次方程,
作变量代换,即,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得,再以代替便得到齐次方程的通解.
(3)形如的方程,
①若均为零,则是齐次方程;
②若不全为零,则不是齐次方程,但
当时,只要作变换,即可化为可分离变量的方程;
当时,只要作平移变换,即(其中是线性方程组的惟一解),便可化为齐次方程
.
(4)全微分方程
若方程之左端是某个二元函数的全微分,则称其为全微分方程,显然即为通解,而原函数可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.
通常用充要条件来判定是否为全微分方程.对于某些不是全微分方程的,可乘上一个函数使之成为全微分方程

(注意到当时与原方程同解),并称为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.
(5)一阶线性微分方程的通解公式
当不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当恒为零,时,即称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程,易知其通解为;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解
.
(6)对于Bernoulli方程 (),只需作变换,即可化为一阶线性方程.
3.高阶方程的降阶解法
以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:
(1)对于方程,令化为;在实际求解中,只要对方程连续积分次,即得其通解
.
(2)对于(不显含),作变换,则,于是
化一阶方程;显然对可作类似处理.
(3)对于(不显含),作变换,则,于是可化为一阶方程.
4.线性微分方程解的结构
(1)线性齐次微分方程解的性质
对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.
(2)线性齐次微分方程解的结构
若是阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为
.
(3)线性非齐次微分方程解的结构
线性非齐次微分方程的通解,等于其对应的齐次方程的通解与其自身的一个特解之和,即.
(4)线性非齐次微分方程的叠加原理
1设()是方程

的解,则是方程

的解.
2若实变量的复值函数是方程

的解,则此解的实部是方程

的解;虚部是方程

的解.
(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系
线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.
5.常系数线性微分方程的解法
(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”
1写出的特征方程
，
并求特征根；
2根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见下表)
特征根为
给出通解中的
单实根
1项:
重实根
项:
一对单复根

2项:
一对重复根

2项:

(2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解
对于,应设特解
,
其中等于为特征根的重数(),是待定系数.将代入原方程,可定出,从而求得.
对于 (),应设特解
,
其中等于为特征根的重数(),是待定的次多项式.将代原方程,即可定出,从而求得.
或因为

（其中是次的复系数多项式）.
对于方程

可设其特解 ，
（是次待定复系数多项式，等于为特征根的重数），将代入方程

中，可定出，于是，从而原方程的特解.
特例

求得
6.Euler方程的解法
(1) 形如

的线性变系数微分方程称为Euler方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程.
(2) 解法
只需作变换 ,即,即可将其化为常系数线性微分方程.
若引入微分算子,则
,,,
于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.
7. 应用常微分方程解决实际问题的一般步骤
(1) 在适当的坐标系下,设出未知函数,据已知条件写出相关的量;
(2) 根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程;
(3) 提出定解条件;
(4) 求定解问题的解;
(5) 分析解的性质，用实践检验解的正确性.

二.课堂练习(除补充题外,均选自复习题12)
1.填空题
(1)已知及是方程的解,则其通解为.
解:因,都是解,且线性无关,故是通解.
(2)设一质量为的物体,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为,则其下落的距离所满足的微分方程是,

初始条件是.
解:因为,而,,,故得方程
,化简得;
在如图所示的坐标系下,初始条件为.
(3)微分方程的特解的形式为.
解: 因为特征方程为,,而是二重特征根,故应设.
(4)若都是线性非齐次微分方程的解,则其通解为.
解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可知,, 都是对应的齐次方程的解,且线性无关,故对应的齐次方程的通解为;由非齐次方程解的结构得其通解.
(5)(补充)已知满足,则.
解:两边对求导得,整理得
,
分离变量后积分得,即,;
又当时,,即故,所以.
(6)(补充)设有连续导数,且.若曲线积分与路径无关,则.
解: 记.因为积分与路径无关,故有,即,亦即.它的通解为
.
由得,于是.
解：由题设知，

2.选择题
(1)函数(为任意常数)是微分方程的
(A) 通解. (B)特解.
(C)不是解. (D)解,但不是通解,也不是特解.
答( D )
解:因为,经检验是解,但含有任意常数,故不是特解,又因为只含一个独立的任意常数,故也不是通解.
(2)微分方程,其特解形式为
(A). (B).
(C). (D).
答( C)
解:,特解为.
因为,,而是特征方程的单根,故应设;而不是特征方程根,故应设,因此.
(3)微分方程是
(A)一阶线性齐次方程. (B)一阶线性非齐次方程.
(C)齐次方程. (D)可分离变量方程.
答( C )
解:原方程可化为.
(4)(补充)具有特解,, 的三阶常系数线性齐次微分方程是
(A). (B).
(C). (D).
答( B )
解: 由方程的特解可知,其特征根为,于是特征方程为即,故方程为
.
(5)(补充)方程通过点且在该点处与直线相切的积分曲线为
(A). (B).
(C). (D).
答( D)
解:因为,,故通解为.由初始条件得,所以所求积分曲线为 .
(6)(补充) 方程的特解应设为
(A). (B).
(C). (D).
答(D)
解:对应的齐次方程的特征方程为,特征根为
.
令.对于,因是
单特征根,故设;对于,因是单特征
根,故设
；从而.
(7)(06考研)函数满足的一个微分方程是
(A). (B) .
(C) . (D) .
答(D)
解:因为，即特征方程为，故排除（A）、
（B）.由是特征方程的单根，知，故排除（C）.
3.求下列方程的通解
(2) ;
解:方程化为,是一阶线性方程.

.
(5);
解:原方程可化为,故通解为
.
(10) .
解:设,即,则.代入原方程得
.此为齐次方程,再设,则,故方程化为.分离变量为 ，两边积分得
.
代回原变量并整理得 .
4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解
(1),;
解:原方程化为,即.
令,得.
,即
,故通解为.
由,得,所以特解为 .
(3),,;
解:令,则,原方程化为 ,即
.积分得 .由,,得,故.解之得.由,.故特解为 .

5(补充).设是微分方程的一个解,求此微分方程满足条件的特解.
解:将代入微分方程得,解之得,于是此微分方程为,即.
其对应的齐次方程的通解为,于是此微分方程的通解为.由得,故特解为.
6(补充).设是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点处的曲率为,且此曲线上点处的切线方程为,求该曲线的方程.
解:因为曲线向上凸,故,于是有,化简得二阶方程.令,则,故方程化为.分离变量后积分得.由题设有,于是可定出,所以,再积分得.由得,因此该曲线.
7(补充).某湖泊的水量为,每年排入湖泊内含污染物的污水量为,流入湖泊内不含的水量为,流出湖泊的水量为.已知1999年底湖中的含量为,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含污水的浓度不超过.问至少需经过多少年,湖泊中污物的含量降至以内?(注:设湖水中的浓度是均匀的.)
解:设2000年初(记此时)开始,第年湖泊中污物的总量为,浓度为,则在时间间隔内,排入湖泊中污染物的量为,流出湖泊的水中的量为,因而在此间隔内湖泊中污染物的改变量为,.分离变量解得,由得,故.
令,解得 ,即至少需经过年湖泊中污物的含量降至以内.
8.求下列Euler方程的通解
(2).
解:设,方程化为 .………………….（*）
,. .
设,代入方程（*），得 .由此定出 ,故.从而原方程的通解为 .
9.设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面, 都有
，
其中在内具有连续的一阶导数,且,求.
解:由曲面积分与曲面无关的条件,有
,即.
所以
.
由,即,可求出,故
.
10(补充).设函数二阶可导且.过曲线上任意一点,作该曲线的切线及轴的垂线,上述二直线与轴所围成的三角形的面积记为,区间上以为曲边的曲边梯形面积记为,并设恒为,求此曲线的方程.
解:曲线上点处的切线方程为.切线与轴的交点为.由,知,于是
;而 ();故由条件得,由此还可得.
将两边对求导并整理得.令,则,于是方程化为,解之得,由和得,于是,从而.再由得,故所求曲线方程为.
11(06考研).设函数在内具有二阶导数，且
满足等式.
（1） 验证；
（2） 若，求函数的表达式.
解: （1）由，得
，
.
因为，所以有，即
.
（2）由（1）得，由知，即；
于是得，由，得，所以.
12(07考研).解初值问题
解：令
于是
由
解得
12（07考研）. 设幂级数在内收敛，其和函数
（I）证明
（II）求的表达式.
解：（I）对

代入

于是
从而有
（II）因为故

所以

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