常微分方程期末试题(A)答案.doc

二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共15分）
1、求解方程；
解 令，则，代入原方程，得
，
显然，为方程的一个解，从而为原方程的一个解。
当时，分离变量，再积分，得
，
即通积分为：
2、求解方程；
解 当时，分离变量得

等式两端积分得

方程的通积分为

3、求解方程
解 齐次方程的通解为
令非齐次方程的特解为

代入原方程，确定出

原方程的通解为
+
4、解方程
解 ，

因此，原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

或
即
5、求解方程
解 令，则，原方程的参数形式为

由，有

整理得
由，解得，代入参数形式的第三式，得原方程的一个特解为

由 ，解得，代入参数形式的第三式，得原方程通解为

三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。
1、求方程组的通解；
解 特征方程为

即
特征根为 ，
对应特征向量应满足

可确定出
同样可算出对应的特征向量为

所以，原方程组的通解为

2、（8分）求方程组的通解，
解 系数矩阵是
特征方程为
有三重特征根
于是可设其解为
解得 可分别取，相应的为，为
于是可得原方程组三个线性无关解

由此可得方程的通解为
四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。
1、求方程的通解，
解 特征方程为：，即
，
由此得特征根为 ，，
因此，基本解组为 ，，
所以通解为 。
2、求方程的通解，
解 特征方程为：，即
，
由此得特征根为 ，，。
因此，基本解组为 ，，，
所以通解为 。
3、求方程的通解，
解 对应齐次方程的特征方程为
，即。
特征根为，，因此齐次方程的通解为

由于是单特征根，故已知非齐次方程有形如

的特解。将它代入已知方程，并比较的同次幂系数，得
，，，故。于是，可得通解为

五、应用题（共10分）。
用拉普拉斯变换求解初值问题：
；，。
解 设 是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，可分别得到

故有
而
故所求的初值解为
六、证明题（共10分）。
考察系统的零解的稳定性与渐
解 在上，初值为的解为
其中
对任一，取，则当时，有

故该系统的零解是稳定。又因为
可见该系统的零解是渐近稳定的。
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