1、二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共15分）1、求解方程；解 令，则，代入原方程，得 ， 显然，为方程的一个解，从而为原方程的一个解。 当时，分离变量，再积分，得 ，即通积分为： 2、求解方程；解 当时，分离变量得 等式两端积分得 方程的通积分为 3、求解方程解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 4、解方程解 ，因此，原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 或 即 5、求解方程解 令，则，原方程的参数形式为 由，有 整理得 由，解得，代入参数形式的第三式，得原方程的一个特解为由 ，解得，代入参数形式的第三式，得原方程通解为 三、解下列方程组（每
2、小题8分，共16分）。1、求方程组的通解；解 特征方程为 即 特征根为 ， 对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出对应的特征向量为 所以，原方程组的通解为 2、（8分）求方程组的通解，解 系数矩阵是特征方程为 有三重特征根 于是可设其解为 解得 可分别取，相应的为，为于是可得原方程组三个线性无关解由此可得方程的通解为四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。1、求方程的通解，解 特征方程为：，即，由此得特征根为 ，因此，基本解组为 ，所以通解为 。2、求方程的通解，解 特征方程为：，即，由此得特征根为 ，。 因此，基本解组为 ， 所以通解为 。3、求方程的通解，解 对应齐次方程的特征方程为 ，即。特征根为，因此齐次方程的通解为由于是单特征根，故已知非齐次方程有形如的特解。将它代入已知方程，并比较的同次幂系数，得，故。于是，可得通解为五、应用题（共10分）。用拉普拉斯变换求解初值问题： ；，。解 设 是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，可分别得到 故有 而 故所求的初值解为 六、证明题（共10分）。考察系统的零解的稳定性与渐解 在上，初值为的解为其中 对任一，取，则当时，有故该系统的零解是稳定。又因为可见该系统的零解是渐近稳定的。- 6 -
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