常微分方程试题库..doc

常微分方程一、填空题1微分方程的阶数是_ 答：12若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是 _ 答：3_ 称为齐次方程. 答：形如的方程4如果 _ ,则存在唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中 _ . 答：在上连续且关于满足利普希兹条件 5对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 _ ,则称在上关于满足利普希兹条件. 答： 6方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的存在区间是 _ 答：7若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程 _ 答：8若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_ 答：9若为毕卡逼近序列的极限，则有_答：10_称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换_，可化为伯努利方程答：形如的方程 11一个不可延展解的存在区间一定是 区间答：开12方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 答：，（或不含x 轴的上半平面）13方程的所有常数解是 答：14函数组在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零答：充分15二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16方程的基本解组是 答：17若在上连续，则方程的任一非零解 与轴相交 答：不能18在方程中，如果，在上连续，那么它的任一非零解在平面上 与轴相切答：不能19若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点答：没有20方程的常数解是 答：21向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式，答：必要22方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 答： 平面23方程所有常数解是 答：24方程的基本解组是 答：25一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线 答：2二、单项选择题1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个 （A） （B）-1 （C）+1 （D）+22如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（ D ） （A）必为 （B）必为 （C）必为 （D）将因解而定3方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y轴外的全平面4一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有（ B ）个解（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三6. 方程（ B ）奇解（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个7阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间（A）维 （B）维 （C）维 （D）维8方程过点（ A ） （A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解 （D）只有两个解9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件（A）充分 （B）充分必要 （C）必要 （D）必要非充分10二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ） （A）构成一个2维线性空间 （B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间11方程的奇解是（ D ）（A） （B） （C） （D）12若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ） （A） （B）（C） （D）13连续是方程初值解唯一的（ D ）条件（A）必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）充分14. 方程（ C ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 15方程过点(0, 0)有（ A ）(A) 无数个解(B) 只有一个解 (C) 只有两个解(D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1解：，则所以另外也是方程的解2求方程经过的第三次近似解解：3讨论方程，的解的存在区间解：两边积分所以方程的通解为故过的解为通过点的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在区间为4 求方程的奇解解: 利用判别曲线得 消去得 即 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解5解: =, = , = , 所以方程是恰当方程. 得 所以故原方程的解为 6 解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 ,令 , 则方程可化为 , 即 , 故 7解: 两边同除以得所以 , 另外 也是方程的解8解 当时，分离变量得 等式两端积分得 即通解为 9. 解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 10. 解 方程两端同乘以，得 令 ，则，代入上式，得 通解为 原方程通解为 11 解 因为，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 12 解：当，时，分离变量取不定积分，得 通积分为 13解 原方程可化为 于是 积分得通积分为 14解：令，则，代入原方程，得 分离变量，取不定积分，得 （） 通积分为： 15 解 令，则，代入原方程，得 ， 当时，分离变量，再积分，得 即通积分为： 16 解：齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 17. 解 积分因子为 原方程的通积分为 即 18解：原方程为恰当导数方程，可改写为 即 分离变量得 积分得通积分 19 解 令，则原方程的参数形式为 由基本关系式 ，有 积分得 得原方程参数形式通解为 20解 原方程可化为 于是 积分得通积分为 21 解：由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 四、计算题1求方程的通解解 对应的齐次方程的特征方程为： 特征根为： 故齐次方程的通解为： 因为是单特征根所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，有 ， 可解出 故原方程的通解为 2求下列方程组的通解 解 方程组的特征方程为 即 特征根为 ， 对应的解为 其中是对应的特征向量的分量，满足 可解得 同样可算出对应的特征向量分量为 所以，原方程组的通解为 3求方程的通解解：方程的特征根为， 齐次方程的通解为 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，比较系数得 确定出 ， 原方程的通解为 4求方程的通解解 对应齐次方程的特征方程为，特征根为， 齐次方程的通解为 因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，比较系数确定出 ， 原方程的通解为 五、证明题1在方程中，已知，在上连续，且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为 证明:由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件 显然 是方程的两个常数解 任取初值，其中,记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾故该解的存在区间必为2设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数证明:如果和是二阶线性齐次方程 的解，那么由刘维尔公式有 现在，故有 3在方程中，已知，在上连续求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切证明:由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是 显然，该方程有零解 假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 这与是非零解矛盾 4在方程中，在上连续，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数证明: 设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯基行列式在上有定义，且又由刘维尔公式 ， 由于，于是对一切，有 或 故 是上的严格单调函数 5试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解 证明: 设黎卡提方程的一个特解为 令 , 又 由假设 得 此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解6试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当 , 在上连续时,其解存在唯一证明: 令 : , , 在上连续, 则 显然在上连续 ,因为 为上的连续函数 ,故在上也连续且存在最大植 , 记为 即 , , =因此 一阶线性方程当 , 在上连续时,其解存在唯一16