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常微分方程期终考试试卷(1)
一、 填空题（30%）
1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）
1、 ２、

３、若试求方程组的解并求expAt

４、 ５、求方程经过（0，0）的第三次近 似解

6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.

三、证明题（１０％）
１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)

一、填空题 30%
1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。
2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n
3、 如果存在常数_____________对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里
5、 设的某一解，则它的任一解_____________-。
一、 计算题40%
1.求方程 2.求程的通解。

3.求方程的隐式解。

4.求方程

二、 证明题30%
1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.

常微分方程期终试卷(3)
一 . 解下列方程(10%*8=80%)
2. =6-x 3. =2

4. x=+y 6.    {y-x(+)}dx-xdy=0

8. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

二． 证明题(10%*2=20%)
9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。

常微分方程期终试卷（4）
一、填空题
1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。
２、当（　　　　　　　　）时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。
３、函数称为在矩形域Ｒ上关于满足利普希兹条件，如果（　　　　　　）。
４、对毕卡逼近序列，。
５、解线性方程的常用方法有（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）。
６、若为齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（　　　　　　　　　　　　　　　）。
７、方程组（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）。
８、若和都是的基解矩阵，则和具有关系：（　　　　　　）。
９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（　　　　）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（　　　　）。
１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（　　　　　　）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（　　　　　）。当（　　　　　）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（　　　　　　　　　　　）。
１１、若是的基解矩阵，则满足的解（　　　　　　　　　）。

二、计算题
求下列方程的通解。
１、。
２、。
３、求方程通过的第三次近似解。
求解下列常系数线性方程。
４、。
５、。
试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：
６、。
三、证明题。
１、 １、设为方程（Ａ为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值。

常微分方程期终考试试卷（5）
一． 填空题 （30分）
1．称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 _________ 。

2．函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 _______ 。
3． 若为毕卡逼近序列的极限，则有______ 。
4．方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。

5．函数组的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若是的基解矩阵，则向量函数= _______是的满足初始条件的解；向量函数= _____
是的满足初始条件的解。
8．若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= ______ 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点，称为驻定方程组。

二．   计算题 （60分）
10．求方程的通解。
11．求方程的通解。
12．求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
13．求方程的通解。
14．试求方程组的解

15．试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。

三．证明题 （10分）
16．如果是满足初始条件的解，那么

常微分方程期终考试试卷(6)

三． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1、 当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全

微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解 y=作为的函数在它的存在范围内是__________。
5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组的_________________称之为的一个基本解组。
7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________的点（），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定
的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程：=
2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解
4、求解常系数线性方程：
5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算
6、试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。
三、证明题（共一题，满分10分）。
试证：如果满足初始条件的解，那么

常微分方程期终试卷(7)
一、选择题
1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2
2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．
（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分
3. 方程过点共有（ ）个解．
　（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三
4．方程（ ）奇解．
（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个
5．方程的奇解是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
二、计算题
1.x=+y
2.tgydx-ctydy=0
3.
4.
5.
三、求下列方程的通解或通积分
1.
2.
3.
四．证明
1.设，是方程

的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C．
2．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．

常微分方程期终试卷(8)
一、 填空（每空3分）
1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

2、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果
。

3、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是 。

4、形如 的方程称为欧拉方程。

5、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系： 。

6、若向量函数在域上 ，则方程组的解存在且惟一。

7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。

二、      求下列方程的解
1、 （6分）
2、 （8分）
3、 （8分）
4、 （8分）
5、 （6分）
6、 （8分）
7、 （8分）
三、   求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）

常微分期中测试卷(2)
一 . 解下列方程(10%*8=80%)
1. 1.    x=+y
2. 2.    tgydx-ctydy=0
3. 3.    {y-x(+)}dx-xdy=0
4. 4.    2xylnydx+{+}dy=0
5. =6-x

6. =2

7. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。

二． 证明题(10%*2=20%)
1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。

2． 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。

常

常微分方程期终试卷(9)
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．方程的任一解的最大存在区间必定是　　 　　．
2．方程的基本解组是 ．
3．向量函数组在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式．
4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的　　 　　条件．
5．阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
6．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式，．
二、计算题（每小题8分，本题共40分）

求下列方程的通解
7.
8.
9．
10．求方程的通解．
11．求下列方程组的通解．

三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．
13．设在区间上连续．试证明方程

的所有解的存在区间必为．

常

常微分方程期终试卷(10)
一、 填空（30分）
1、称为齐次方程，称为黎卡提方程。
2、如果在上连续且关于满足利普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中，。
3、若1，2，……，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程。
4、对逼卡逼近序列，。
5、若和都是的基解矩阵，则和具有关系。
6、方程有只含的积分因子的充要条件是。有只含的积分因子的充要条件是。
7、方程经过点的解在存在区间是。
二、  计算（60分）
1、 求解方程。
解：所给微分方程可写成

即有
上式两边同除以，得
由此可得方程的通解为
即
2、 求解方程
解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有

（1） 当时，由所给微分方程得；
（2） 当时，得。
因此，所给微分方程的通解为
， （为参数）
而是奇解。
3、 求解方程
解：特征方程，，
故有基本解组，，
对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，
将其代入，得，解之得，
对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，
将其代入，得，所以原方程的通解为

4、 试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中

解：，，，均为单根，
设对应的特征向量为，则由，得,
取，同理可得对应的特征向量为，
则，，均为方程组的解，令，
又，
所以即为所求基解矩阵。
5、 求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。
解：令，得，即奇点为（2，-3）
令，代入原方程组得，
因为，又由，
解得，为两个相异的实根，
所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。
6、 求方程经过（0，0）的第二次近似解。
解：，
，
。
三、 证明（10分）
假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组

有一解形如

其中，是常数向量。
证：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。
事实上，将代入方程得，
因为，所以，
（1）
又不是矩阵的特征值，
所以存在，于是由（1）得存在。
故方程有一解

常微分方程期终试卷(11)

一． 填空
1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则经过变换 ，可化为伯努利方程。
3．若（x）为毕卡逼近序列的极限，则有（x）—
。
4．若（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。
5．若（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。
6．如果A(t)是n×n矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在 atb上满足
时，方程组xˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x（t）=的解在atb上存在唯一。
7．若（t）和（t）都是xˊ= A(t) x的 基解矩阵，则（t）与（t）具有关系：
。
8．若（t）是常系数线性方程组的 基解矩阵,则该方程满足初始条件的解=_____________________
9.满足 _________________________________________的点（），称为方程组的奇点。
10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _______________________ 。
二．计算题（60分）
1．
2．
3．求方程经过（0，0）的第三次近似解

4．

5．若试求方程组的解并求expAt

6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.

三.证明题(10分)
设及连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.

常微分方程期终测试卷(12)
一、填空题（30%）
1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．
2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
3．连续是保证方程初值唯一的 条件．
一条积分曲线.
4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于
个，其中，．
5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 ．
6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
7．方程的所有常数解是 ．
8．方程所有常数解是 ．
9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式．
10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．

二、计算题（40%）
求下列方程的通解或通积分：
1.
2．
3．
4．
5．

三、证明题（30%）
1．试证明：对任意及满足条件的，方程

的满足条件的解在上存在．
2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．
3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．

常微分方程期终试卷(13)
一、填空题（30分）
1、 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是（ ），有只含y的积分因子的充要条件是 （ ）。
2、 求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程（y=y+）。
3、 方程定义在矩形域R:-2上，则经过点（0，0）的即位存在区间是（）。
4、 若X(t)(I=1,2,,n)是齐线性方程的 n个解，W(t)为伏朗斯基行列式，则W(t)满足一阶线性方程（(t)+a(t)W(t)=0）。
5、 若X(t), X(t) ,X(t)为n阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是（W[X(t), X(t) ,X(t)]0）。
6、 在用皮卡逐步逼近法求方程组=A（t）X+f(x),X(t)=的近似解时，则）。
7、 当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部（为零）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（稳定中心）。
8、 满足（X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的点（x）, 称为方程组的奇点。
9、 若都是=A(t)X的基解矩阵，则 具有关系：（）。
10、 形如（x+ax+的方程称为欧拉方程。

二、计算题
求下列方程的通解（１－２）
１、（２xy+
解：因为
　　又因为
　　所以方程有积分因子：u(x)=
方程两边同乘以得：

［
也即方程的解为　．
２、
解：令，，则
　　即
　　从而
　　又
　　　　＝
　　故原方程的通解为
　　　　　t为参数
３、求方程经过（０，０）的第三次近似解
解：

　　　　＝
４、求的通解
解：齐线性方程的特征方程为
　　故齐线性方程的一个基本解组为，，
　　因为不是特征方程的特征根
　　所以原方有形如＝的特解
　　将＝代入原方程，比较t的同次幂系数得：

　　故有解之得：，
　　所以原方程的解为：

５、试求：的基解矩阵
解：记A=,又
得，均为单根
设对应的特征向量为，则由得
　　　　　　取
同理可得对应的特征向量为：

则均为方程组的解
令
又
所以即为所求。
６、试求的奇点类型及稳定性
解：令，则：
　因为，又由得
解之得为两相异实根，且均为负
故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。
7. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
解：由物理知识得：
根据题意：
故：
即：
(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有

又当t=0时，V=0，故c=
因此，此质点的速度与时间的关系为：