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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ ）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、 、若试求方程组的解并求expAt、 、求方程经过（0，0）的第三次近 似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如_的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、 形如_的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、 如果存在常数_对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、 形如_-的方程，称为欧拉方程，这里5、 设的某一解，则它的任一解_-。一、 计算题40%1.求方程 2.求程的通解。3.求方程的隐式解。 4.求方程二、 证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值. 常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)2. =6-x 3. =24. x=+y 6. y-x(+)dx-xdy=08. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。 二 证明题(10%*2=20%)9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。、当（）时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果（）。、对毕卡逼近序列，。、解线性方程的常用方法有（）。、若为齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。、方程组（）。、若和都是的基解矩阵，则和具有关系：（）。、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。、若是的基解矩阵，则满足的解（）。二、计算题求下列方程的通解。、。、。、求方程通过的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。、。、。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：、。三、证明题。、 、设为方程（为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值。常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题 （30分）1称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 _ 。2函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 _ 。3 若为毕卡逼近序列的极限，则有_ 。4方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _ 。5函数组的伏朗斯基行列式为 _ 。6若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。7若是的基解矩阵，则向量函数= _是的满足初始条件的解；向量函数= _ 是的满足初始条件的解。8若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= _ 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。9满足 _ 的点，称为驻定方程组。二 计算题 （60分）10求方程的通解。11求方程的通解。12求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程的通解。14试求方程组的解 15试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。 三证明题 （10分） 16如果是满足初始条件的解，那么 常微分方程期终考试试卷(6)三 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1、 当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。2、_称为齐次方程。3、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程_的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解 y=作为的函数在它的存在范围内是_。5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组的_称之为的一个基本解组。7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_。8、满足_的点（），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：=2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算6、试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果满足初始条件的解，那么 常微分方程期终试卷(7)一、选择题1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个（A） （B）-1 （C）+1 （D）+22李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分3. 方程过点共有（ ）个解（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三4方程（ ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个5方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D）二、计算题1.x=+y2.tgydx-ctydy=03. 4. 5.三、求下列方程的通解或通积分1.2. 3. 四证明1.设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C2在方程中，已知，在上连续求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切常微分方程期终试卷(8)一、 填空（每空3分）1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。2、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果 。3、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是 。4、形如 的方程称为欧拉方程。5、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系： 。6、若向量函数在域上 ，则方程组的解存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。二、 求下列方程的解1、 （6分）2、 （8分）3、 （8分）4、 （8分）5、 （6分）6、 （8分）7、 （8分）三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)1. 1. x=+y2. 2. tgydx-ctydy=03. 3. y-x(+)dx-xdy=04. 4. 2xylnydx+dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。8一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。 二 证明题(10%*2=20%)1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。常常微分方程期终试卷(9)一、填空题（每小题5分，本题共30分）1方程的任一解的最大存在区间必定是 2方程的基本解组是 3向量函数组在区间I上线性相关的_条件是在区间I上它们的朗斯基行列式4李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件5阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间6向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式，二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. 8. 910求方程的通解11求下列方程组的通解 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数13设在区间上连续试证明方程 的所有解的存在区间必为 常 常微分方程期终试卷(10)一、 填空（30分）1、称为齐次方程，称为黎卡提方程。2、如果在上连续且关于满足利普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中，。3、若1，2，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程。4、对逼卡逼近序列，。5、若和都是的基解矩阵，则和具有关系。6、方程有只含的积分因子的充要条件是。有只含的积分因子的充要条件是。7、方程经过点的解在存在区间是。二、 计算（60分）1、 求解方程。解：所给微分方程可写成 即有 上式两边同除以，得 由此可得方程的通解为 即 2、 求解方程解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有（1） 当时，由所给微分方程得；（2） 当时，得。因此，所给微分方程的通解为 ， （为参数）而是奇解。3、 求解方程解：特征方程，故有基本解组，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，解之得，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，所以原方程的通解为4、 试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中解：，均为单根，设对应的特征向量为，则由，得,取，同理可得对应的特征向量为，则，均为方程组的解，令，又，所以即为所求基解矩阵。5、 求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。解：令，得，即奇点为（2，-3）令，代入原方程组得，因为，又由，解得，为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。6、 求方程经过（0，0）的第二次近似解。解：，。三、 证明（10分）假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组 有一解形如 其中，是常数向量。证：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。事实上，将代入方程得，因为，所以， （1）又不是矩阵的特征值，所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解常微分方程期终试卷(11)一 填空1 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。2 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则经过变换 ，可化为伯努利方程。3若（x）为毕卡逼近序列的极限，则有（x） 。4若（i=1,2,n）是齐线形方程的n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。5若（i=1,2,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。6如果A(t)是nn矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在 atb上满足 时，方程组x= A(t) x+ f(t)满足初始条件x（t）=的解在atb上存在唯一。7若（t）和（t）都是x= A(t) x的 基解矩阵，则（t）与（t）具有关系：。8若（t）是常系数线性方程组的 基解矩阵,则该方程满足初始条件的解=_9.满足 _的点（），称为方程组的奇点。10当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _ 。二计算题（60分）123求方程经过（0，0）的第三次近似解45若试求方程组的解并求expAt6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三.证明题(10分)设及连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.常微分方程期终测试卷(12) 一、填空题（30%） 1若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3连续是保证方程初值唯一的 条件一条积分曲线. 4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于 个，其中， 5二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 6方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7方程的所有常数解是 8方程所有常数解是 9线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式 10阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个二、计算题（40%） 求下列方程的通解或通积分： 1. 2 3 4 5 三、证明题（30%）1试证明：对任意及满足条件的，方程 的满足条件的解在上存在 2设在上连续，且，求证：方程的任意解均有3设方程中，在上连续可微，且，求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在 常微分方程期终试卷(13) 一、填空题（30分）1、 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是（ ），有只含y的积分因子的充要条件是 （ ）。2、 求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程（y=y+）。3、 方程定义在矩形域R:-2上，则经过点（0，0）的即位存在区间是（）。4、 若X(t)(I=1,2,n)是齐线性方程的 n个解，W(t)为伏朗斯基行列式，则W(t)满足一阶线性方程（(t)+a(t)W(t)=0）。5、 若X(t), X(t) ,X(t)为n阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是（WX(t), X(t) ,X(t)0）。6、 在用皮卡逐步逼近法求方程组=A（t）X+f(x),X(t)=的近似解时，则）。7、 当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部（为零）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（稳定中心）。8、 满足（X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的点（x）, 称为方程组的奇点。9、 若都是=A(t)X的基解矩阵，则 具有关系：（）。10、 形如（x+ax+的方程称为欧拉方程。 二、计算题求下列方程的通解（）、（xy+解：因为又因为所以方程有积分因子：u(x)= 方程两边同乘以得：也即方程的解为、解：令，则即从而又故原方程的通解为t为参数、求方程经过（，）的第三次近似解解：、求的通解解：齐线性方程的特征方程为故齐线性方程的一个基本解组为，因为不是特征方程的特征根所以原方有形如的特解将代入原方程，比较t的同次幂系数得：故有解之得：，所以原方程的解为：、试求：的基解矩阵解：记A=,又得，均为单根设对应的特征向量为，则由得取同理可得对应的特征向量为：则均为方程组的解令又所以即为所求。、试求的奇点类型及稳定性解：令，则：因为，又由得解之得为两相异实根，且均为负故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。7. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。解：由物理知识得：根据题意：故：即：(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有又当t=0时，V=0，故c=因此，此质点的速度与时间的关系为：