常微分方程期末试卷(16).doc

常微分方程期末试卷(16)得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）1方程的任一解的最大存在区间必定是 2方程的基本解组是 3向量函数组在区间I上线性相关的_条件是在区间I上它们的朗斯基行列式4李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件5阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间6向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式，得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. 8. 9 10求方程的通解11求下列方程组的通解 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数13设在区间上连续试证明方程 的所有解的存在区间必为常微分方程期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1 23必要4充分5n6必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 8解 由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 。 9解 令，则原方程的参数形式为 由基本关系式 积分有 得原方程参数形式通解 。10解 方程的特征根为， 齐次方程的通解为 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，比较系数得 确定出 ， 。原方程的通解为 。 11解 特征方程为 即 。 特征根为 ， 。 对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出对应的特征向量为 所以，原方程组的通解为 。 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件 显然 是方程的两个常数解 任取初值，其中,记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾故该解的存在区间必为 13证明 如果和是二阶线性齐次方程 的解，那么由刘维尔公式有 现在，故有