常微分方程期末试卷(16).doc

《常微分方程》期末试卷(16)

得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）

1．方程的任一解的最大存在区间必定是　　 　　．
2．方程的基本解组是 ．
3．向量函数组在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式．
4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的　　 　　条件．
5．阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
6．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式，．

得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）

求下列方程的通解
7.
8.
9．
10．求方程的通解．
11．求下列方程组的通解．

得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．

13．设在区间上连续．试证明方程

的所有解的存在区间必为．

《常微分方程》期末试卷参考答案

一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．
2．
3．必要
4．充分
5．n
6．必要
二、计算题（每小题8分，本题共40分）
7．解 齐次方程的通解为
令非齐次方程的特解为

代入原方程，确定出
原方程的通解为
+
8．解 由于，所以原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为
即 。
9．解 令，则原方程的参数形式为
由基本关系式

积分有
得原方程参数形式通解
。
10．解 方程的特征根为，
齐次方程的通解为 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
代入原方程，比较系数得

确定出 ， 。
原方程的通解为 。
11．解 特征方程为

即 。 特征根为 ， 。 对应特征向量应满足

可确定出
同样可算出对应的特征向量为
所以，原方程组的通解为
。
三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然 是方程的两个常数解． 任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．
13．证明 如果和是二阶线性齐次方程

的解，那么由刘维尔公式有

现在，故有