数学系常微分方程期末试卷A及答案.doc

数计学院 系 级 班 姓名 _ 学号 _ 任课教师 审题人 密封线 （A） 试卷份数 考试 本科 考试科目 常微分方程 题 号一二三四五六七总 分分 数阅卷人试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷； 2、考试所用时间：120分钟。 3、考试班级：数计学院数11级一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程所有常数解是 2方程的基本解组是 3方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 4线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式 5一个不可延展解的存在在区间一定是 区间二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y轴外的全平面 7. 方程（ ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 8阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2 第 1 页（共 5页）密封线 年 月 日 9、 微分方程的通解 （ ） A、 B、 C、 D、10阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （A）构成一个线性空间 （B）构成一个维线性空间 （C）构成一个维线性空间 （D）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分）11. 解方程12. 解方程第2页（共 5 页）密封线 年 月 日13. 解方程 14. 解方程15试求的奇点类型及稳定性第 3 页（共 5 页） 年 月 日密封线四、计算题（每小题10分，本题共20分）16求方程的通解17求下列方程组的通解 第4页（共 5 页）密封线 年 月 日五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18在方程中，在上连续，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数19在方程中，已知，在上连续求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切 12-13-2学期期末考试常微分方程A参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院） 制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 23平面4充分必要 5开二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6D 7C 8A 9D 10D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11解 分离变量得 （3分）等式两端积分得通积分 （6分）12解 方程化为 (2分) 令，则，代入上式，得 (4分) 分量变量，积分，通解为 (5分) 原方程通解为 (6分)13解 对应齐次方程的通解为 （2分） 令非齐次方程的特解为 （3分）代入原方程，确定出 （4分）再求初等积分得 （5分） 因此原方程的通解为 + （6分）14解： 由于，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通积分为 （4分） 即 （6分）15解： 令，则： 2分因为，又由得解之得为两相异实根，且均为负 4分故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。 6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16解：对应的齐次方程的特征方程为： （1分）特征根为： （2分）故齐次方程的通解为： （4分） 因为是单特征根所以，设非齐次方程的特解为 （6分）代入原方程，有 ， （7分）可解出 （8分）故原方程的通解为 （10分）17解： 特征方程为 即 特征根为 ， （2分） 对应特征向量应满足 可确定出 （5分） 同样可算出对应的特征向量为 （8分）所以，原方程组的通解为 （10分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18证明 设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯基行列式在上有定义，且又由刘维尔公式 ， （5分） 由于，于是对一切，有 或 故 是上的严格单调函数 （10分）19证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是 （2分） 显然，该方程有零解 （5分）假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知， (8分)这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 这与是非零解矛盾 （10分）