一元二次不等式(章杰).doc

一元二次不等式
2010.9．22 章杰
教学目标：
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，用图象法解一元二次不等式的方法；理解数形结合、分类讨论、从特殊到一般的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型，通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情感与价值：激发学生学习数学的热情，培养学生自主探究的精神，合作学习的精神。
教学重点：一元二次不等式的解法；
教学难点 ：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系。
活动过程
活动一：情境创设
一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间有如下的关系：

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

由题意得到不等式
变形为

问题1：试分析上述不等式的特征，你能简要叙述一元二次不等式的概念吗?

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式(整式)叫做一元二次不等式.

设计意图：由实例引入一元二次不等式可以激发学生的兴趣，由学生观察特征提炼出一元二次不等式的概念可以培养学生独立思考和善于观察的能力.

活动二：一元二次不等式的解法探究

对于这样一个不等式，我们应该如何求解呢？
请分小组讨论不等式的解法
（学生合作探究）
（学生演示）

x
y
O
50
60
通过观察的图象，可以看出一元二次不等式的解集就是二次函数的图像位于轴下方的点对应的值的集合。

用数形结合法解一元二次不等式，首先要作出函数的图象，而作函数的图象的关键是要确定对应方程的根的情况

问题1：解一元二次不等式的步骤是什么？

问题2：从上面的探究过程我们可以看出解一元二次不等式的求解离不开一元二次方程与二次函数，请问一元二次方程与对应的二次函数有什么联系？

问题3：一元二次不等式与对应的二次函数又有什么联系呢？

设计意图：完全放开让学生自己操作，增强学生分析问题和解决问题的能力，在讨论的过程中有可能会出现这样一种解法：先将上式因式分解得到，然后由等价不等式组或求得解集.这是利用不等式的性质解题，这种情形出现的话，我会肯定他的做法，然后提出问题：如何解不等式引导他采用数形结合的思想方法.

活动三：求解一元二次不等式
解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
（学生板演）
（学生点评）

问题1：上述四个不等式各有何特征？

问题2：决定一元二次不等式的解集的主要因素是什么？

问题3：我们知道利用二次函数图象能解一元二次不等式，那么一元二次不等式与相应二次函数、对应一元二次方程三者之间到底有何内在联系呢？ 同学们小组讨论一般的情况
（小组合作探究）

判别式
△=

△

△

 △

y =
(a>0)的图象

=0
(a>0)的根

>0
(a>0)的解集

<0
(a>0)的解集

问题4：如果二次项系数为负，你会采取什么措施来解决问题？
设计意图：从该活动中让学生体会函数与方程的数学思想，体会数形结合的数学思想，体会从特殊到一般的思想，让学生准确理解好“三个二次的关系”.

解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）

设计意图：由学生自主展示、纠错（如图象作错不注意开口、结果不写成集合或区间的形式等）引导学生发现这是由特殊到一般再到特殊的思想，培养学生发现问题、独立解决问题的能力，加强解题的规范性.

活动四：小结与提炼（学生活动）

问题:（1）一元二次不等式的解法
（完善一开始学生总结的步骤，如在第一步添上“化标准形式、正系数”）
（2）解不等式时有哪些注意点
（3）三个二次之间的关系
（4）本节课涉及了哪些思想方法
（数形结合、转化与化归、由特殊到一般）

设计意图：让学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标．通过学生自己总结，在总结归纳的过程中回顾知识的形成、应用，让学生对本堂课知识有个系统的认识，同时增强学生的数学概括能力和口头表达能力．

活动五：课堂检测
1.解下列不等式：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）

设计意图：通过检测看教学目标是否达成，了解学生的掌握情况，同时促进学生的学习动力.