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不等关系及一元二次不等式

自主梳理
1.不等式的定义
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连结两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.
2.两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)；
(2)作商法 (a∈R，b>0).
3.不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c， a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc， a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a>b>0⇒> (n∈N，n≥2).
2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0

二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的图象

一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,2＝
(x1<x2)
有两相等实根
x1＝x2＝________
没有实根

一元二
次不等
式ax2
＋bx＋
c>0
的解集
a>0
(－∞，x1)∪(x2，＋∞)
(－∞，－)
∪(－，＋∞)

a<0
(x1，x2)

例题讲解
例1 比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.

例2 已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.

归纳：作差比较法的步骤是：
1、 作差；
2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；
3、判断符号；
4、作出结论．
练一练
1.设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c).
其中所有正确结论的序号是________.

2. 已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围．

3.若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－|b| 的取值范围是________________．

(一)　一元二次不等式的解法

例3 解下列不等式：

归纳：可利用求根公式得到方程ax2＋bx+c＝0的解，再求不等式的解集
练一练
1.解下列不等式：
(1)－x2＋2x－>0； (2)9x2－6x＋1≥0.

2. 解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3<0； (2)－3x2－2x＋8≤0； (3)8x－1≥16x2.

（二）解绝对值不等式
例4 （1）. （2）.

（3）

练一练
1.解下列不等式:
（1）. （2）.

（3）. （4）.

（5）|4x-3|>2x+1. （6）

（三）解分式不等式
例5 解关于x的不等式＞1(a＞0)

练一练
1.解下列不等式:
（1）. (2)
(3) （4）

(四) 解指数不等式：

（五）解对数不等式

(六）解无理不等式的解法
（1）

（2）
（3）
（4） 例6 ：解不等式⑴ ⑵

例7 ：解不等式

练习：解不等式
例8 ：解不等式

练习：
1. 不等式的解集为_________
2.

（七）　含参数的一元二次不等式的解法

例9　已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.

归纳：解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步 骤进行：
1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.
2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.
3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．
练一练
(1)ax2－(a＋1)x＋1<0. (2) 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

(3)不等式≤0的解集为________.

（八）　一元二次不等式恒成立问题
例10　已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

例11 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.

练一练
(1).当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是__________.
(2)关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

例12 (1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式
cx2＋bx＋a<0的解集．
(2)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围________.

练一练
(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－<x<，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集是________.

(2)若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．

归纳：不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式
ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0 (a≠0)恒成立的条件是
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