模素数p下整数0的二次分拆的计数.pdf

第3 6卷第3期纺织高校基础科学学报V o l.3 6,N o.3 2 0 2 3年6月B A S I C S C I E N C E S J O U R N A L O F T E X T I L E U N I V E R S I T I E SJ u n.,2 0 2 3 引文格式:王啸,邵凡晖.模素数p下整数0的二次分拆的计数J.纺织高校基础科学学报,2 0 2 3,3 6(3):9 2-9 7.WAN G X i a o,S HAO F a n h u i.C o u n t i n g q u a d r a t i c p a r t i t i o n s o f i n t e g e r z e r o m o d u l o p r i m e n u m b e rpJ.B a s i c S c i-e n c e s J o u r n a l o f T e x t i l e U n i v e r s i t i e s,2 0 2 3,3 6(3):9 2-9 7.收稿日期:2 0 2 2-1 0-1 0 收稿日期:2 0 2 2-1 1-2 3基金项目:陕西省自然科学基础研究计划项目(2 0 2 2 J Q-0 5 8)通信作者:王啸(1 9 8 9),女,长安大学讲师,博士,研究方向为数论。E-m a i l:w a n g x i a o_0 6 0 6c h d.e d u.c n。模素数p下整数0的二次分拆的计数王 啸,邵凡晖(长安大学 理学院,陕西 西安 7 1 0 0 6 4)摘 要 利用解析的方法以及一类模素数p的特征和的性质,研究了当p5(m o d 6)时同余方程x21+x22+x23+x240(m o d p)解的个数,给出精确的计算公式。同时,研究了由4个元素所组成的模p下整数0的分拆,其中分拆中的元素均取自模p的二次剩余,将整数0的分拆共分为3类,并对每一类分拆的个数给出了精确的计算公式。关键词 D i r i c h l e t特征和;同余方程;整数分拆;计算公式开放科学(资源服务)标识码(O S I D)中图分类号:O 1 5 6.4 文献标志码:AD O I:1 0.1 3 3 3 8/j.i s s n.1 0 0 6-8 3 4 1.2 0 2 3.0 3.0 1 3C o u n t i n g q u a d r a t i c p a r t i t i o n s o f i n t e g e r z e r o m o d u l o p r i m e n u m b e rpWANG X i a o,SHA O F a n h u i(S c h o o l o f S c i e n c e,C h a n ga n U n i v e r s i t y,X ia n 7 1 0 0 6 4,C h i n a)A b s t r a c t T h e m a i n p u r p o s e o f t h i s r e s e a r c h i s u s i n g t h e a n a l y t i c m e t h o d a n d p r o p e r t i e s o f a k i n d o f D i r i c h l e t c h a r a c t e r s u m m o d u l o p w i t h p5(m o d 6)t o s t u d y t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s o f c o n-g r u e n c e e q u a t i o n x12+x22+x32+x420(m o d p).T h e a c c u r a t e c a l c u l a t i o n f o r m u l a s w e r e g i v e n.A l s o,i t i s p r o v e d t h a t t h e f o u r-p a r t p a r t i t i o n s o f 0 w i t h a l l f o u r p a r t s c h o s e n f r o m t h e s e t o f n o n-z e r o q u a d r a t i c r e s i d u e s m o d p.S u c h p a r t i t i o n s a r e d i v i d e d i n t o t h r e e t y p e s.T h e e x a c t c a l c u l a t i o n f o r m u l a f o r t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s o f e a c h t y p e i s g i v e n.K e y w o r d s D i r i c h l e t c h a r a c t e r s u m;c o n g r u e n c e e q u a t i o n;i n t e g e r p a r t i t i o n;c a l c u l a t i o n f o r m u l a s 1 引言与结论 特征和估计是数论研究的重要问题,许多专家学者都对其上界估计问题进行了深入研究。设q为满足q3的整数,为模q的D i r i c h l e t特征,包含多项式的特征和为N+Ma=N+1(f(a)式中:M和N为任意正整数;f(x)为多项式。当q=p是奇素数时,文献1 得到了重要的估计式,即N+Mx=N+1(f(x)p12l np式中:AB表示对某些常数c满足A5时,满足(a、b、c、d)Sp的四元数解共包含以下3种情况:(i)4个数a、b、c、d满足a=b,c=d,且ac;(i i)4个数a、b、c、d中有且仅有2个相同的数字;(i i i)4个数a、b、c、d都不相同。由p,p和p的定义可知,p、p、p以及Sp存在以下关系。引理2设素数p满足p5(m o d 6),则Sp=6p+1 2p+2 4p=11 6(p-1)p2-2p+3+6(-1)p-12 证明 由p、p和p的定义以及定理1的结论可知,第一类解的个数为6p,第二类解的个数为1 2p,第三类解的个数2 4p,故满足a、b、c、drp,a3+b3+c3+d30(m o d p)所有解的个数Sp=6p+1 2p+2 4p=11 6(p-1)p2-2p+3+6(-1)p-12。命题1 设素数p满足p5(m o d 6),则(i)当p1 1(m o d 1 2)时,则Sp中所有的解都为第二类解或第三类解,即p=0。(i i)当p5(m o d 1 2)时,则Sp中有3(p-1)/2个第一类解,相应地,p=(p-1)/4。证明(i)由反证法可知,假设p 1 1(m o d 1 2),则-1不是模p的二次剩余。假设(a,a,b,b)Sp,可得a,brp且a+a+b+b0(m o d p),由同余的性质可得:-ab(m o d p),可以推出-1rp,与假设矛盾。因此Sp中所有的解都为第二类解或第三类解。(i i)假设p5(m o d 1 2),则-1是模p的二次剩余。则Sp中有3(p-1)/2个第一类解,解的形式为(a,a,-a,-a),(-a,-a,a,a),(a,-a,a,-a),(a,-a,-a,a),(-a,a,a,-a),(-a,a,-a,a),其中arp。将rp里的元素由小到大排列,得到第n项元素与第(p+1)/2-n项元素的和恰好为p,(n=1,2,(p-1)/4)。第一类解仅在这种情形下产生,容易得到p=(p-1)/4。定理3 设素数p满足p5(m o d 6),则(i)第二类分拆个数p=p-58p-12,若p5(m o d 2 4)p-38p-12,若p1 1(m o d 2 4)p-98p-12,若p1 7(m o d 2 4)p+18p-12,若p2 3(m o d 2 4)(i i)第三类分拆个数p=p-13 8 4(p2-1 4p+4 5),若p5(m o d 2 4)p-13 8 4(p2-1 4p+3 3),若p1 1(m o d 2 4)p-13 8 4(p2-1 4p+9 3),若p1 7(m o d 2 4)p-13 8 4(p2-1 4p-1 5),若p2 3(m o d 2 4)证明(i)取1ip-14,ai+ai+b+c=k p,k=1,2。当p5(m o d 2 4)时,p=p-58p-14;当p1 7(m o d 2 4)时,p=p-98p-14。取(p+3)/4j(p-1)/2,aj+aj+b+c=k p,k=2,3。当p5(m o d 2 4)时,p=p-58p-14;当p1 7(m o d 2 4)时,p=p-98p-14。综上,当p5(m o d 2 4)时,第二类分拆个数59第3期 王啸,等:模素数p下整数0的二次分拆的计数p=p-58p-12;当p1 7(m o d 2 4)时,第二类分拆个数p=p-98p-12。当p1 1(m o d 1 2)时,由命题1(i)可得p=0。取1m(p-1)/2,am+am+b+c=k p,k的取值有5种可能:k=1;k=1,2;k=2;k=2,3或k=3。可得当p1 1(m o d 2 4)时,第二类解的个数p=p-38p-12;当p 2 3(m o d 2 4)时,第二类解的个数p=p+18p-12。(i i)由于N(1,4,p)=6p+1 2p+2 4p,由命题1(i i)、定理1以及第二类分拆个数可得,当p5(m o d 2 4)时,第三类分拆个数p=12 4N(1,4,p)-6p-1 2p =11 6(p-1)p2-2p+9 -6p-14-1 2p-12p-582 4=p-13 8 4(p2-1 4p+4 5),当p 1 7(m o d 2 4)时,第 三 类 分 拆 个 数p=p-13 8 4(p2-1 4p+9 3)。同理,由命题1(i)可知,当p1 1(m o d 1 2)时,N(1,4,p)=1 2p+2 4p。由定理1可得,当p1 1(m o d 2 4)时,第三类分拆个数p=12 4N(1,4,p)-1 2p =11 6(p-1)(p2-2p-3)-1 2p-12p-382 4=p-13 8 4(p2-1 4p+3 3),当p 2 3(m o d 2 4)时,第 三 类 分 拆 个 数p=p-13 8 4(p2-1 4p-1 5)。定理3得证。令(a,b,c,d)表示由Sp产生的0的分拆,Up表示由Sp产生的0的第一类分拆的集合,Vp表示由Sp产生的0的第二类分拆的集合,Wp表示由Sp产生的0的第三类分拆的集合,则有例2当p=1 7时,r1 7=1,2,4,8,9,1 3,1 5,1 6,S1 7中1 7-14=4个 第 一 类 分 拆,U1 7=(1,1,1 6,1 6),(2,2,1 5,1 5),(4,4,1 3,1 3),(8,8,9,9),则有4 6=2 4个第一类解;S1 7产生1 7-981 7-12=8个第二类分拆,V1 7=(1,1,2,1 3),(2,2,4,9),(4,4,1,8),(8,8,2,1 6)(4,1 5,1 6,1 6),(8,1 3,1 5,1 5),(9,1 6,1 3,1 3),(1,1 5,9,9)则有81 2=9 6个第二类解;S1 7产生1 72-1 41 7+9 3 1 7-13 8 4=6个第 三 类 分 拆,W1 7=(1,2,1 5,1 6),(1,4,1 3,1 6),(1,8,9,1 6),(2,8,9,1 5),(2,4,1 3,1 5),(4,8,9,1 3)则有62 4=1 4 4种第三类解。因此,S1 7=2 4+9 6+1 4 4=2 6 4个解。同定理1结果一致。例3当p=2 3时,r2 3=1,2,3,4,6,8,9,1 2,1 3,1 6,1 8,可知S2 3产生第一类分拆个数p=0;S2 3产生2 3-122 3+18=3 3个第二类分拆,V2 3=(1,1,3,1 8),(1,1,8,1 3),(1,1,9,1 2),(2,2,1,1 8),(2,2,3,1 6),(2,2,6,1 3),(3,3,1,1 6),(3,3,4,1 3),(3,3,8,9),(4,4,2,1 3),(4,4,3,1 2),(4,4,6,9),(6,6,2,9),(6,6,3,8),(6,6,1 6,1 8),(8,8,1,6),(8,8,3,4),(8,8,1 2,1 8),(9,9,1,4),(9,9,2,3),(9,9,1 2,1 6),(1 2,1 2,9,1 3),(1 2,1 2,6,1 6),(1 2,1 2,4,1 8),(1 3,1 3,2,1 8),(1 3,1 3,4,1 6),(1 3,1 3,8,1 2),(1 6,1 6,6,8),(1 6,1 6,1,1 3),(1 6,1 6,2,1 2),(1 8,1 8,1,9),(1 8,1 8,2,8),(1 8,1 8,4,6)则有3 31 2=3 9 6个第二类解;S2 3产生(2 32-1 42 3-1 5)2 3-13 8 4=1 1个第三类分拆Wp=(1,2,4,1 6),(2,4,8,9),(2,3,6,1 2),(4,8,1 6,1 8),(3,9,1 6,1 8),(1,4,6,1 2),(1,3,6,1 3),(3,1 2,1 3,1 8),(1,2,8,1 2),(8,9,1 3,1 6),(6,9,1 3,1 8)则有1 12 4=2 6 4个第三类解。则S2 3=3 9 6+2 6 4=6 6 0,同定理1结果一致。推论2设素数p满足p5(m o d 6),则p=0p=5或p=1 1。证明由定理3可知,当p2-1 4p+4 5=0,p2-1 4p+9 3=0,p2-1 4p-1 5=0或p2-1 4p+3 3=0时有p=0,这4个方程的整数解为p=5,1 1,-1或3。因为p是满足p5(m o d 6)的素数,解得仅有p=5和p=1 1满足条件。69 纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 第3 6卷推论2得证。参考文献(R e f e r e n c e s)1 WE I L A.O n s o m e e x p o n e n t i a l s u m sJ.P r o c e e d i n g s o f t h e N a t i o n a l A c a d e m y o f S c i e n c e s o f t h e U n i t e d S t a t e s o f Am e r i c a,1 9 4 8,3 4(5):2 0 4-2 0 7.2 A P O S T O L T M.I n t r o d u c t i o n t o A n a l y t i c N u m b e r T h e o r yM.N e w Y o r k,NY:S p r i n g e r N e w Y o r k,1 9 7 6.3 CHOWL A S,C OWL E S J,C OWL E S M.O n t h e n u m-b e r o f z e r o s o f d i a g o n a l c u b i c f o r m sJ.J o u r n a l o f N u m b e r T h e o r y,1 9 7 7,9(4):5 0 2-5 0 6.4 X I AO W,L I A H.C o u n t i n g c e r t a i n q u a d r a t i c p a r t i t i o n s o f z e r o m o d u l o a p r i m e n u m b e rJ.O p e n M a t h e m a t-i c s,2 0 2 1,1 9(1):1 9 8-2 1 1.5 YAN G Q H,T ANG M.O n t h e a d d i t i o n o f s q u a r e s o f u n i t s a n d n o n u n i t s m o d u l o nJ.J o u r n a l o f N u m b e r T h e o r y,2 0 1 5,1 5 5:1-1 2.6 C OHE N S D,Z HAN G W P.S u m s o f t w o e x a c t P o w-e r sJ.F i n i t e F i e l d s a n d t h e i r A p p l i c a t i o n s,2 0 0 2,8(4):4 7 1-4 7 7.7 S HE N S M,Z HAN G W P.O n t h e q u a r t i c G a u s s s u m s a n d t h e i r r e c u r r e n c e p r o p e r t yJ.A d v a n c e s i n D i f f e r-e n c e E q u a t i o n s,2 0 1 7,2 0 1 7(1):1-9.8 Z HAN G H,Z HANG W P.T h e f o u r t h p o w e r m e a n o f t w o-t e r m e x p o n e n t i a l s u m s a n d i t s a p p l i c a t i o nJ.M a t h e m a t i c a l R e p o r t s,2 0 1 7,1 9:7 5-8 1.9 张文鹏.关于模p的一类同余方程解的个数J.西北大学学报(自然科学版),2 0 1 6,4 6(3):3 1 3-3 1 6.Z HAN G W P.O n t h e n u m b e r o f t h e s o l u t i o n s o f o n e k i n d c o n g r u e n c e e q u a t i o n m o d pJ.J o u r n a l o f N o r t h-w e s t U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 1 6,4 6(3):3 1 3-3 1 6.(i n C h i n e s e)1 0 B UR G E S S D A.O n c h a r a c t e r s u m s a n d p r i m i t i v e r o o t sJ.P r o c e e d i n g s o f t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,1 9 6 2,(1):1 7 9-1 9 2.1 1 B UR G E S S D A.O n d i r i c h l e t c h a r a c t e r s o f p o l y n o m i-a l sJ.P r o c e e d i n g s o f t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i-e t y,1 9 6 3,(1):5 3 7-5 4 8.1 2 Z HAN G W P,WAN G T T.A n o t e o n t h e D i r i c h l e t c h a r a c t e r s o f p o l y n o m i a l sJ.M a t h e m a t i c a S l o v a c a,2 0 1 4,6 4(2):3 0 1-3 1 0.1 3 任刚练.不完全区间上类特征和的混合均值J.纺织高校基础科学学报,2 0 1 4,2 7(1):5-9.R E N G L.O n t h e h y b r i d m e a n v a l u e o f a s u m a n a l o-g o u s t o c h a r a c t e r s u m o v e r q u a r t e r i n t e r v a lJ.B a s i c S c i e n c e s J o u r n a l o f T e x t i l e U n i v e r s i t i e s,2 0 1 4,2 7(1):5-9.(i n C h i n e s e)1 4 王啸.关于特征和与指数和混合均值的一个注记J.山东大学学报(理学版),2 0 1 9,5 4(1 2):9 7-1 0 1.WAN G X.A n o t e o n t h e h y b r i d p o w e r m e a n o f t h e c h a r a c t e r s u m s a n d e x p o n e n t i a l s u m sJ.J o u r n a l o f S h a n d o n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e),2 0 1 9,5 4(1 2):9 7-1 0 1.(i n C h i n e s e)1 5 马元魁,张天平.广义二次K l o o s t e r m a n和的加权均值()J.纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报,2 0 1 4,2 7(1):2 0-2 3.MA Y K,Z HANG T P.W e i g h t e d m e a n v a l u e o n t h e g e n e r a l q u a d r a t i c K l o o s t e r m a n s u m()J.B a s i c S c i e n c e s J o u r n a l o f T e x t i l e U n i v e r s i t i e s,2 0 1 4,2 7(1):2 0-2 3.(i n C h i n e s e)1 6 Z HANG W P,Y I Y.O n d i r i c h l e t c h a r a c t e r s o f p o l y-n o m i a lJ.B u l l e t i n o f t h e L o n d o n M a t h e m a t i c a l S o c i-e t y,2 0 0 2,3 4(4):4 6 9-4 7 3.1 7 韩迪.一些特殊整数的分拆问题J.数学进展,2 0 1 4,4 3(2):2 6 3-2 6 6.HAN D.O n t h e p a r t i t i o n p r o b l e m s o f s o m e s p e c i a l i n t e g e r sJ.A d v a n c e s i n M a t h e m a t i c s,2 0 1 4,4 3(2):2 6 3-2 6 6.(i n C h i n e s e)1 8 K I M B.O n t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s o f n i n t o k d i f-f e r e n t p a r t sJ.J o u r n a l o f N u m b e r T h e o r y,2 0 1 2,1 3 2(6):1 3 0 6-1 3 1 3.1 9 ME L E NK J M,B A B U KA I.T h e p a r t i t i o n o f u n i t y f i n i t e e l e m e n t m e t h o d:B a s i c t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n sJ.C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g,1 9 9 6,1 3 9(1/2/3/4):2 8 9-3 1 4.2 0T T H L.C o u n t i n g s o l u t i o n s o f q u a d r a t i c c o n g r u e n c e s i n s e v e r a l v a r i a b l e s r e v i s i t e dJ.J o u r n a l o f I n t e g e r S e q u e n c e s,2 0 1 4,1 7(1 1):1-1 3.2 1 Z HAN G W P,WANG X.O n a k i n d o f c h a r a c t e r s u m s a n d t h e i r r e c u r r e n c e p r o p e r t i e sJ.A c t a A r i t h m e t i c a,2 0 1 8,1 8 5(4):3 4 7-3 5 5.责任编辑:武 晖79第3期 王啸,等:模素数p下整数0的二次分拆的计数