四边形综合复习讲义.doc

第四章 四边形综合
知识点：
一、 平行四边形
1、 平行四边形
（1）平行四边形定义：
（2）平行四边形的性质：①
② ③
④对称性
（3）平行四边形的判定：①
② ③
④
2、菱形
（1）菱形定义：
（2）菱形的性质：①
② ③
④对称性
菱形的面积=
（3）菱形的判定：①
② ③
3、矩形
（1）矩形定义：
（2）矩形的性质：①
② ③
④对称性
（3）矩形的判定：①
② ③
4、正方形
（1）正方形定义：
（2）正方形的性质：①
② ③
④对称性
（3）正方形的判定：①
② ③
④
二、梯形
梯形的分类：
（1）等腰梯形定义：
（2）等腰梯形性质：①
② ③
④对称性
（3）等腰梯形的判定：①

陈老师数学工作室
陈老师，毕业于华中师范大学，获得应用数学和物理双学位。从事数学教学工作10年时间，带过5届初三毕业班，在全国专业数学刊物上发表过40余篇数学论文，武汉市青山区优秀青年教师。现在深圳专注于针对中学数学个性化教学的研究与推广。旨在为更多的学生提供具有专业性、针对性的数学辅导。帮助提高学生学习数学的兴趣，从而提高学习成绩，破解数学学习瓶颈。本资料以及博客

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实验中学 宋浩× 从初三跟陈老师学，成绩从40多分提高到中考成绩B+
实验中学 刘博× 从初三跟陈老师学，中考成绩A
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深圳中学 万× 数学联赛全国一等奖
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红岭中学 李泰× 从初三跟陈老师学，中考成绩A
红岭中学 秦孝× 从初三跟陈老师学，中考成绩A
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② ③
例题解析：
例1、．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（ ）
（A）①②.（B）①②③.（C）②③④ （D）①②③④。
例2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

例3、如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．
（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
四边形ABCD
菱形
矩形
等腰梯形
平行四边形EFGH

（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？

例4、如图所示, ABCD中,AE,AF是高,∠BAE=30º,BE=2,CF=1,DE交AF于G.
(1)求 ABCD的面积;(2)求△ECD的面积;(3)求证:△AEG为等边三角形.

例5、矩形ABCD中，AB=2，AD=．
（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；
（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．
①求证：点B平分线段AF；
②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．

A
B
C
P
D

E

例6、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式

例7、如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．
(1)求证：CD∥AB；(2)求证：△BDE≌△ACE；(3)若O为AB中点，求证：OF=BE．

A
B
C
D
F
G
E
M
图1

例8、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形
ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。
（1）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③
中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
① DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；
② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。
（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、
MF的关系，并加以证明。
F
M
E
C
G
A
D
B
图3 3

课后练习：
一、 选择题
1、下列命题中，正确的是（ ）
A一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；
B一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
C对角线互相平分且相等的四边形一定是正方形；
D两条对角线相等的四边形是矩形．
2、如果顺次连接四边形各边中点所围成的四边形是矩形，那么原来的四边形一定是（ ）
A平行四边形； B梯形； C对角线相等的四边形； D对角线垂直的四边形．
3、若等腰梯形的对角线互相垂直，且中位线长是10，则它的面积为（ ）
A、50 B、100 C、150 D、200
4、下列图形中，面积最大的是（ ）
A、边长为正方形 B、边长为2，高为1的平行四边形
C、对角线长分别为4和1的菱形 D、中位线长为2，高为2的梯形。
5、七边形的对角线的条数是（ ）
A 10 B 12 C 14 D 16
6、下列图形中,既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A 平行四边形 B 等边三角形 C 矩形 D 等腰梯形
7、如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm.作DE∥AC，交BC的延长线于E，则下列结论:
(1) 四边形ACED是平行四边形. （2）∠BDE=∠BOC=900;
(2) BC+AD=BE=5cm; (4)梯形ABCD的高 DH==2.4cm,面积为 6cm2；
（５）S梯形ABCD=SΔBDE.。其中正确的有（ ）
A 5个 B 4个 C 3个 D 2个
8、如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了31m，则长方形花坛ABCD的周长是（ ）
A．36m B．48m C．96cm D．60m
9、把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（ ）
3cm
3cm

A．cm B．cm C．22cm D．18cm
10、在梯形ABCD中，AB∥CD,AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1、一个多边形内角和为，则它的边数为______，共有对角线______条，外角和为______。
2、一个多边形除去一个内角外,其余内角的和为25700,则这个多边形的边数是____.
3、如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm，则∠1=_____
4．如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD垂足为E。若OE：OD=1：2，AE=cm,则DE= cm.
E
B
C
D
A
F
1
A
B
C
D
E
F

5、如图，正方形ABCD的边长为1，EF分别在BC、CD上，∠EAF=45º，若ΔCEF的面积为，则ΔEAF的面积为

A
B
D
C

6、如图，正方形ABCD，以AB为边分别在正方形内、外作等边△ABE、△ABF，则∠CFB=_______，若AB=4，则 =_________.

7、 如图，梯形中，，，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是 ．
A
D
C
E
F
G
B

1
B33

A
C2
B2
C3
D3
B1
D2
C1
8、如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；依此类推，这样做的第个菱形的边的长是 ．
9、如图，矩形中，cm，cm，点为边上的任意一点，四边形也是矩形，且，则 ．
B
A
E
C
D
F
G
10、如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米。则△CDE的面积等于 平方厘米

三、解答题
1、如图,已知:在四边形ABFC中，=90的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE
(1) 试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;
(2) 当的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.

2、如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于．
（1）求证：；
F
D
O
C
B
E
A

（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

3、梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD的中点，证明
①如果AB+CD=BC，则有∠DEC=90°和CE是∠DCB的平分线
②如果∠BEC=90°，则有AB+CD=BC
③若△DEC的面积是12，求梯形ADCB的面积

A
B
C
D
O
F
E

4、如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．
（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．

5、如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．
（1）求四边形ABCD四个内角的度数；
（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出示意图．

A
B
C
D

6、如图，在与中，，相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点相交于点．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明四边形是菱形；
（3）若使四边形是正方形，还需在的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）

Ｄ
Ｇ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｈ
Ｆ
Ａ

7、如图，在等腰梯形中，，，，．动点从点出发沿以每秒1个单位的速度向终点运动，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．两点同时出发，当点到达点时，点随之停止运动．
A
C
Q
D
P
B

（1）梯形的面积等于 ；
（2）当时，点离开点的时间等于 秒；
（3）当三点构成直角三角形时，点离开点多少时间？

8、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
⑴求证：CE＝CF；
⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．
B C
A G D F
E
B C
A D
E

图2
图1

9、四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D同时出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A移动。
①运动中的四边形PQEF是正方形吗？请说明理由；
②PE在运动中是否总过某一点？请说明理由是；
③ 边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？

10、在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（

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