四边形综合-学生版.doc

同步课程四边形综合四边形综合知识回顾四边形（1）平行四边形：利用平行四边形的性质去转移边和角；利用平行去进行等面积转化（2）特殊平行四边形：矩形：常利用对角线相等、直角三角形斜边中线等于斜边一半菱形：四条边相等、对角线垂直、对角线平分对角正方形：矩形和菱形综合体，常见于旋转题型中（3）梯形：梯形的性质、等腰梯形、梯形的常用辅助线；知识讲解一、梯形的常用辅助线延长两腰、作高、平移腰、平移对角线、中位线（1）作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.（2）过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.（3） 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.（4） 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.（5）连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形. 常见的辅助线添加方式如下： 梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线二、四边形综合 利用四边形基本概念和性质去进行综合证明和求解长度/角度问题三、四边形与几何变换初步同步练习模块一：梯形常用辅助线虽然中考中必考一道与梯形有关的证明和计算题，因此熟练掌握梯形有关辅助线的作法就显的尤为重要。因为北京中考出题的方式还是比较灵活，因此不排除会考察矩形、菱形、正方形等有关的证明，这也是我们要求学生熟练掌握特殊平行四边形的性质和判定的原因。必须掌握的辅助线有作高、平移腰、平移对角线，出现腰上中点时构造全等三角形或中位线【习题1】 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BDCD，C=60，AD=，BC=，求AB的长 【习题2】 如图，梯形中，求的度数【习题3】 如图，在梯形中，是上一点，且，若、，求的长【习题4】 已知：如图，在梯形中，对角线，求该梯形的高模块二：四边形综合【习题5】 （2012朝阳一模）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，求ED的长【变式练习】（2012房山一模）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AD=DC，联结AC，过点D作DEAC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，若AE=AC(1)求EAC的度数 (2)若AD=2，求AB的长【习题6】 （2012西城一模）如图，梯形ABCD中，ADBC，BC=2，(1) 求BDC的度数； (2) 求AB的长【习题7】 （2012门头沟二模）已知：如图，在四边形中，,，求的长【变式练习】（2012大兴一模）已知：如图，四边形ABCD中，ABC=135，BCD=120，AB=，BC=，CD=6，求AD的长.【习题8】 （2013海淀一模）如图，在四边形中，对角线,相交于点,=,=,=,.求的长和的面积 【变式练习】（2013顺义一模）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，求AC和BD的长.【习题9】 （2012朝阳二模）如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点F处，连接DF，CF与AD相交于点E，求DE的长和ACE的面积.模块三：四边形与平移【习题10】 已知正方形：如图，是上一点，过上一点作的垂线，交于点，交于点，求证：如图，过正方形内任意一点，作两条互相垂直的直线，分别交、于点、，交、于点、，与相等吗？请你写出你的结论当点在正方形的边上或外部时，过点作两条垂直的直线，被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗？其中一种情况如图，过正方形外一点作互相垂直的两条直线、，其中与、的延长线分别交于点、，与、的延长线分别交于点、，试就该图形对你的结论加以证明。【习题11】 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图，在梯形中，对角线、相交于点。若梯形的面积为，试求以、的长度为三边长的三角形的面积。小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点作的平行线交的延长线于点，得到的即是以、的长度为三边长的三角形如图，请你回答图中的面积等于_参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图，的三条中线分别为、 图中利用图形变换画出并指明以、的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)若的面积为，则以、的长度为三边长的三角形的面积等于_【习题12】 如图所示，在六边形中，又知对角线，厘米，厘米请你回答：六边形的面积是多少平方厘米？ 【习题13】 如图，梯形中，以两腰，为一边分别向两边作正方形和，连接的垂直平分线交线段于点求证：点为的中点模块四：四边形与折叠方程思想【习题14】 已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，求的长【习题15】 如图，正方形纸片的边长为，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使落在上，落点记为，折痕交于点,若、分别是、边的中点，则; 若、分别是、边的上距最近的等分点（,且为整数），则（用含有的式子表示）【习题16】 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N求BN的长；求四边形ABNM的面积. 模块五：四边形与旋转【习题17】 如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_【习题18】 把边长分别为和的矩形如图放在平面直角坐标系中，将它绕点顺时针旋转角，旋转后的矩形记为矩形在旋转过程中，（1） 如图，当点在射线上时，点坐标为_；（2）当是等边三角形时，旋转角的度数是_(为锐角时)；（3）如图，设与交于点，当时，求点的坐标；【习题19】 四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积【习题20】 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于。已知、的长分别为、，求三角形的面积【变式练习】直角三角形中；为的中点，绕着点逆时针旋转到，求重叠部分的面积课后练习【练习1】 等腰梯形的下底等于对角线，而上底等于高，则上底与下底的比值为 .【练习2】 已知：如图，在梯形中，于点，求的长【练习3】 （2012丰台一模）如图，在ABCD中，过点B作BEAC，在BG上取点E，联结DE交AC的延长线于点F（1）求证：DF=EF；（2）如果AD=2，ADC=60，ACDC于点C ，AC=2CF，求BE的长【练习4】 （2012门头沟一模）已知：如图，在ABC中，ACB=90，点E为AB的中点，过点E作EDBC于D，F在DE的延长线上，且AF=CE，若AB=6，AC=2，求四边形ACEF的面积. 【练习5】 （2012房山二模）如图1，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形 证：四边形是菱形； 如图2，若，AC=6求DE的长 图1 图2【练习6】 （2012西城二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点.(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若A=60，AB=2AD=4，求BD的长. 【练习7】 （2013昌平二模）如图所示，等腰梯形ABCD中，ABCD，AB15，AD20，C30点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、DA上向点B、点A运动 (1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离； (2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断AMN的形状 14 / 14