四边形综合-学生版.doc

同步课程˙四边形综合

四边形综合

知识回顾

四边形
（1）平行四边形：利用平行四边形的性质去转移边和角；利用平行去进行等面积转化
（2）特殊平行四边形：矩形：常利用对角线相等、直角三角形斜边中线等于斜边一半
菱形：四条边相等、对角线垂直、对角线平分对角
正方形：矩形和菱形综合体，常见于旋转题型中
（3）梯形：梯形的性质、等腰梯形、梯形的常用辅助线；
知识讲解

一、梯形的常用辅助线
延长两腰、作高、平移腰、平移对角线、中位线
（1）作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.
（2）过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.
（3） 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.
（4） 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.
（5）连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.
常见的辅助线添加方式如下：

梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线．

二、四边形综合
利用四边形基本概念和性质去进行综合证明和求解长度/角度问题
三、四边形与几何变换初步
同步练习

模块一：梯形常用辅助线
虽然中考中必考一道与梯形有关的证明和计算题，因此熟练掌握梯形有关辅助线的作法就显的尤为重要。因为北京中考出题的方式还是比较灵活，因此不排除会考察矩形、菱形、正方形等有关的证明，这也是我们要求学生熟练掌握特殊平行四边形的性质和判定的原因。必须掌握的辅助线有作高、平移腰、平移对角线，出现腰上中点时构造全等三角形或中位线
【习题1】 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD⊥CD，∠C=60°，AD=，BC=，求AB的长．

【习题2】 如图，梯形中，，，，求的度数．

【习题3】 如图，在梯形中，，，，是上一点，且，若、，求的长．

【习题4】 已知：如图，在梯形中，对角线，，
，求该梯形的高．

模块二：四边形综合
【习题5】 （2012朝阳一模）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，求ED的长．

【变式练习】（2012房山一模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=DC，联结AC，过点D作DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，若AE=AC．
(1)求∠EAC的度数． (2)若AD=2，求AB的长．

【习题6】 （2012西城一模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，BC=2，，．
(1) 求∠BDC的度数； (2) 求AB的长．

【习题7】 （2012门头沟二模）已知：如图，在四边形中，，,，．求的长．

【变式练习】（2012大兴一模）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=，CD=6，求AD的长.

【习题8】 （2013海淀一模）如图，在四边形中，对角线,相交于点,==,=,∠=,.求的长和△的面积．

【变式练习】（2013顺义一模）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，，，，，求AC和BD的长.

【习题9】 （2012朝阳二模）如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点F处，连接DF，CF与AD相交于点E，求DE的长和△ACE的面积.

模块三：四边形与平移
【习题10】 已知正方形：⑴如图①，是上一点，过上一点作的垂线，交于点，交于点，
求证：

⑵如图②，过正方形内任意一点，作两条互相垂直的直线，分别交、于点、，交、于点、，与相等吗？请你写出你的结论

⑶当点在正方形的边上或外部时，过点作两条垂直的直线，被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗？其中一种情况如图③，过正方形外一点作互相垂直的两条直线、，其中与、的延长线分别交于点、，与、的延长线分别交于点、，试就该图形对你的结论加以证明。

【习题11】 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图，在梯形中，，对角线、相交于点。若梯形的面积为，试求以、、的长度为三边长的三角形的面积。

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点作的平行线交的延长线于点，得到的即是以、、的长度为三边长的三角形如图，请你回答图中的面积等于__________
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图，的三条中线分别为、、

⑵ 图中利用图形变换画出并指明以、、的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)
⑵若的面积为，则以、、的长度为三边长的三角形的面积等于___________

【习题12】 如图所示，在六边形中，，，，，，．又知对角线，厘米，厘米．请你回答：六边形的面积是多少平方厘米？

【习题13】 如图，梯形中，，以两腰，为一边分别向两边作正方形和，连接的垂直平分线交线段于点．求证：点为的中点．

模块四：四边形与折叠——方程思想
【习题14】 已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，，求的长．

【习题15】 如图，正方形纸片的边长为，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使落在上，落点记为，折痕交于点,若、分别是、边的中点，则; 若、分别是、边的上距最近的等分点（,且为整数），则（用含有的式子表示）

【习题16】 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．
⑴求BN的长；
⑵求四边形ABNM的面积.

模块五：四边形与旋转
【习题17】 如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_________．

【习题18】 把边长分别为和的矩形如图放在平面直角坐标系中，将它绕点顺时针旋转角，旋转后的矩形记为矩形．在旋转过程中，
（1） 如图①，当点在射线上时，点坐标为___________；
（2）当是等边三角形时，旋转角的度数是____________(为锐角时)；
（3）如图②，设与交于点，当时，求点的坐标；

【习题19】 四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积．

【习题20】 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于。已知、的长分别为、，求三角形的面积．

【变式练习】直角三角形中；为的中点，绕着点逆时针旋转到，求重叠部分的面积．

课后练习

【练习1】 等腰梯形的下底等于对角线，而上底等于高，则上底与下底的比值为 .

【练习2】 已知：如图，在梯形中，，，，于点，，．求的长．

【练习3】 （2012丰台一模）如图，在ABCD中，过点B作BE∥AC，在BG上取点E，联结DE交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF=EF；
（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C ，AC=2CF，求BE的长．

【练习4】 （2012门头沟一模）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，过点E作ED⊥BC于D，F在DE的延长线上，且AF=CE，若AB=6，AC=2，求四边形ACEF的面积.

【练习5】 （2012房山二模）如图1，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
⑴ 证：四边形是菱形；
⑵ 如图2，若，AC=6．求DE的长．

图1 图2

【练习6】 （2012西城二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点.
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)若∠A=60°，AB=2AD=4，求BD的长.

【练习7】 （2013昌平二模）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝15，AD＝20，∠C＝30°．点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、DA上向点B、点A运动．
(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离；
(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

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