特殊四边形教案(学生卷).doc

特殊的平行四边形
知识点一：矩形的定义
要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

知识点二：矩形的性质
要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。此外，它还具有如下特殊性质：
　 1.矩形的四个角都是直角；
　　2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
　　3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。

知识点三：矩形的判定方法
要点诠释：1. 用矩形的定义： 一个角是直角的平行四边形是矩形；
　　　　 2.有三个角是直角的四边形是矩形；
　　　　　3.对角线相等的平行四边形是矩形；
　　　　　4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

知识点四：菱形的定义
要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

知识点五：菱形的性质
要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
　　1.菱形的四条边相等。
　　2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
　　3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。

知识点六：菱形的判定办法
要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
　　　　　2.四条边都相等的四边形是菱形；
　　　　　3.对角线垂直的平行四边形是菱形；
　　　　　4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

知识点七：正方形的定义
要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

知识点八：正方形的性质
要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
　　　　　2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
　　　　　3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。

知识点九：正方形的判定方法
要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
　　　　　2.有一组邻边相等的矩形是正方形；
　　　　　3.有一个角是直角的菱形是正方形.

归纳整理，形成认知体系
1． 复习概念，理清关系
　　　　2．集合表示，突出关系

3．性质判定，列表归纳

平行四边形
矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角
对角相等
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
·两组对边分别平行；
·两组对边分别相等；
·一组对边平行且相等;
·两组对角分别相等；
·两条对角线互相平分.
·有三个角是直
　角;
·是平行四边形
　且有一个角
　是直角;
·是平行四边形
　且两条对角
　线相等.
·四边相等的四
　边形；
·是平行四边形
　且有一组邻边
　相等；
·是平行四边形
　且两条对角线
　互相垂直。
·是矩形，且有一组邻
　边相等；
·是菱形，且有一个角
　是直角。
对称性
只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
S= ah
S=ab
S=
注：d1,d2为菱形两条对角线的长度。
S= a2

类型一：矩形
　1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6 cm，∠BOC=120°．
　　　　　　求：（1）∠ACB的度数；（2）求AB、BC的长度．

总结升华：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决．

　　举一反三：
　　【变式1】已知□ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积。

　　思路点拨：（1）先判定□ABCD为矩形。（2）求出Rt△ABC的直角边BC的长度。（3）计算矩形ABCD的面积为AB·BC

【变式2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，则：
　　（1）图中与∠BAE相等的角有__________；
　　（2）若∠AOB=60°，则AB：BD＝_________。图中△DOC是___________三角形（按边分）．
　类型二：菱形
　　2．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线，DE//BC交AB于E，DF//AB交BC于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由.

　　总结升华：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角。在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质。

　　举一反三：
　　【变式1】已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。试判断四边形AFCE的形状并说明理由.

　　【变式2】(贵州贵阳)如图，在平行四边形ABCD中，分别为边的中点，连接．
　　（1）求证：．
　　（2）若，则四边形是什么特殊四边形？
　　　　 请证明你的结论．

　【变式3】已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE，求证：AM=BE。

类型三：正方形
　　3.（黄冈中考）已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点。求证：．

　　思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中DE, DF分别在△DAE与△DCF中，结合正方形的性质，我们可以证明△DAE与△DCF全等，利用全等三角形的对应边相等来说明。
　　　举一反三：
　　【变式1】（青岛市中考）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．
　　（1）求证：△BCG≌△DCE；
　　（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。

【变式2】如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE.
　　（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.
　　（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不
　　　　 存在，请说明理由.

　　【变式3】如图2，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD。将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点处，折痕DE交BC于点E，连接。

　　（1）求证：四边形是菱形
　　（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明。

【变式4】如图3所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O。若不添加辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________。

类型四：添加辅助线构造特殊图形
　　4．证明：（1）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高。
　　　　　　　　（2）等腰三角形底边延长线上任一点到两腰的距离差等于腰上的高。
　　思路点拨: 本题是一道文字题，要先画图，并由图形写出已知、求证、要证一条线段是另两条线段的和或差经常使用的是“截长补短”的方法。

　　举一反三：
　　【变式1】如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）.
　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

　　【变式2】正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？

基础达标：
一、 填空题
　1．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是____________．

　　2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm．

　　3．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是____________cm2．

　　4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形．

　　5．若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件____________(写一个即可)，使四边形ABCD是菱形．

6．如图2，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB＝6，那么对角
　 　　线AC＋BD＝ ___________．

　　7．以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数为____________．

　　8．如图3，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE＝AC，则∠E＝ ___________°．

　　9．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2那么AP的长为____.

　　10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限
　　　　内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是____________．

二、选择题
　　11．如图4在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连结EF，则∠E＋∠F＝( )
　　A．110°　　　 B．30° 　　　C．50° 　　　D．70°

　　12．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )
　　A．对角相等 　　　B．四边相等　　　 C．对角线互相平分　　　 D．四角相等

　　13．如图5，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为 ( )
　　A．3 cm 　　　B．6 cm 　　　C．9 cm 　　　D．12 cm

　　14．已知：如图6，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )
　　A．8 　　　B．6 　　　C．4　　　 D．3

15．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( )
　　A．①③⑤　　　 B．②③⑤　　　 C．①②③　　　 D．①③④⑤16．如图7是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周
　　　　长是 ( )

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图7
　　A．88 mm 　　　B．96 mm 　　　C．80 mm 　　　D．84 mm

17．四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（ ）
　　　　AB∥CD； BC∥AD； AB=CD； BC=AD。
　　A．2组 　　　B．3组 　　　C．4组 　　　D．6组
18．下列说法错误的是（ ）
　　A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。
　　B．每组邻边都相等的四边形是菱形。
　　C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形。
　　D．四个角都相等的四边形是矩形。
三、阅读理解题
　　19．如图8，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，
　　⑴连结AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH是____________。
　　⑵对角线AC、BD满足条件____________时，四边形 EFGH是矩形。
　　⑶对角线AC、BD满足条件____________时，四边形 EFGH是菱形。
　　⑷对角线AC、BD满足条件____________时，四边形 EFGH是正方形。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图8

四、解答题
　　20．如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm , BD＝6cm, DH⊥AB于H，求：DH的长

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图9
21．已知：如图10，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，求AC和BD的长。

五、证明题
　　22．如图11，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，求证：EF＝AP

23．如图12，在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
　　⑴试说明:DE=DF
　　⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无
　　　需证明

24．如图□ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？请说明
　　　　理由。

　　25．以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题：
　　（1）四边形ADEF是什么四边形？并说明理由
　　（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
　　（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．