特殊的平行四边形复习讲义.doc

特殊的平行四边形复习讲义
沃根金榜一对一学科教师辅导讲义
学生姓名： 年级： 老师:
上课日期： 上课时间： 上课次数：
______年级 第______单元 课题______
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[ 课前准备 ]
课前检查：
作业完成情况： 优（ ) 良( ) 中（ ） 差（ )
复习预习情况： 优( ） 良（ ） 中（ ） 差( )
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[ 学习内容 ］
特殊的平行四边形讲义
考试考点综述：
特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一,主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标
掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定,通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：
1.矩形、菱形性质及判定的应用
2。 相关知识的综合应用
教学过程
知识点归纳

矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
判定
·有三个角是直角;
·是平行四边形且有一个角是直角；
·是平行四边形且两条对角线相等。
·四边相等的四边形；
·是平行四边形且有一组邻边相等;
·是平行四边形且两条对角线互相垂直.
·是矩形,且有一组邻边相等；
·是菱形，且有一个角是直角。
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形
矩形,菱形和正方形之间的联系如下表所示：
一．矩形
矩形定义:有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
【强调】　矩形（1）是平行四边形；(2）一一个角是直角．
矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角;
性质2 矩形的对角线相等,具有平行四边形的所以性质。
矩形的判定
矩形判定方法1：对角线相等的平行四边形是矩形．
注意此方法包括两个条件:（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等
矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．
矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例1：若矩形的对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为
例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）
A． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C。对角相等; D.邻角互补
例3: 已知：如图, □ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G,H，
求证：四边形EFGH是矩形．

二．菱形
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】　菱形（1)是平行四边形；（2）一组邻边相等．
菱形的性质
性质1 菱形的四条边都相等;
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角;
菱形的判定
菱形判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2)两条对角线互相垂直．
菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．
例1  已知:如图，四边形ABCD是菱形,F是AB上一点，DF交AC于E． 求证:∠AFD=∠CBE．

例2已知:如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．

例3、如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F,求证：四边形AFCE是菱形。

例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M,若AB=AE,∠EAD=2∠BAE.求证：AM=BE。

例6、如图,菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2。
(1）求证:△BDE≌△BCF；
(2）判断△BEF的形状,并说明理由；
(3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

三．正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思:
①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形)
②有一个角是直角的平行四边形 （矩形)
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称
正方形的判定方法：
• (1)有一个角是直角的菱形是正方形;
• (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
• 注意:1、正方形概念的三个要点：
• （1)是平行四边形；
• (2）有一个角是直角；
• （3）有一组邻边相等．
2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件，确定是正方形.
例1 已知:如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．

例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ; ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值。

实战演练:
1。对角线互相垂直平分的四边形是（ )
A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形
2。顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )
A。等腰梯形 B。正方形 C.平行四边形 D.矩形
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( ）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
Ａ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ

D
C
B
A
C．当∠ABC=900时，它是矩形 D．当AC=BD时,它是正方形

4.如图,在中，点分别在边,，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形
C．如果平分，那么四边形是菱形
D．如果且，那么四边形是菱形
5.如图，四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处,折痕为．若,则等于（　　）
Ａ
Ｄ
A． B． C． D．

Ｅ

Ｃ
Ｆ
Ｂ

6。如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线,分别交于点,连结,则的周长为( ）
A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm
7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点）,
A
若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为
A
B
C
D

D
B

C

8。如图，在矩形中,对角线交于点，已知，则的长为 ．
9。边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 .
10.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可)．

B
C
D
A
P
A
D
C
B
O

11.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ．
12。如图,矩形中,是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于．
（1）求证:;
F
D
O
C
B
E
A
第12题图
(2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

应用探究：
1。如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处,交于，若，则在不添加任何辅助线的情况下,图中的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

D
A
C
B
M

2。如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3。已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是( ）
B
A
1
D
C
2
1
1
2
B
A
D
C
B
A
C
1
2
D
1
2
B
A
D
C

A． B． C． D．

B F C
A H D
E G
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志。将宽为的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图),则重叠四边形的面积为_______

5.如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.
6。如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是　　　　　　　　．
A
B
C
P
D

E

本次课作业： 家长签字:
1、 预习：
2、 写： 教学主管签字：
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