7.3-7.3.1-离散型随机变量的均值.docx

! 73.1离散型随机变量的均值E3课园新日法(教师独具内容)课程标准：通过具体实例，理解离散型随机变量的均值.教学重点：1 .求离散型随机变量的均值.2.求两点分布的均值. 教学难点：用离散型随机变量的均值解决相关的实际问题.国0掌握HE XIN GAI NIAN ZHANG WO魅回导学知识点一离散型随机变量的均值1. 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，XXIX2XnPpP2则称E(X) = R)Txi7?l +X2P2 +XnPn =匝珂力为随机变量X的均值或数学= I期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的而平均水平.2. 均值的结论一般地，下面的结论成立：E(aX+b) = aE(X) + b,知识点二两点分布的均值般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)二回课后课时课后课时精练KE HOU KE SHI JING LIAN A级：“四基”巩固训练、选择题15-2- 旦3 +8-6+5-21.已知X的分布列如图所示，若V=3X+2,则E（n = （）X123P12t3A.号B. |c. |D. 5答案A解析丫的分布列为Y5811P12t132.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有 卖出的鲜花以每束1.6元进行处理，根据前四年的销售情况预测，节日期间这种 鲜花的需求量X（单位：束）的分布列如下表所示.若进这种鲜花500束，则利润 的均值是（）A. 706 元B. 690 元X = k200300400500P(X=k)0.200.350.300.15C. 754 元D. 720 元答案A解析 由分布列可以得到需求量的均值是E(X) = 200X0.20+ 300X0.35 +400X0.30 + 500X0.15 = 340.故利润的均值是(340X5 + 160X 1.6) - 500X2.5 =706(元).3. 甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程 相同的门数为X,则EWM )3A. 1B. 25C. 2D. $答案B1解析 随机变量x的可能取值为0,123,则P(X = 0) = = 20, P(X=1)二oci ii qcIcF = 20, P(X=2) = C1cT = 20, P(X=3) = cIcI = 20,则 F(X) = 0X20+ 1X20913+ 2X+ 3X =-故选 B.4. 在某次射击训练中，每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第M =1,2,3)次击中目标得(4-Z)分，3次均未击中目标得0分.已知甲每次击中目标的概率为0.9,各次射击结果互不影响，若他的得分记为X,则随机变量X的数学期 望为()A. 2.889B. 2.988C. 2D. 2.96答案A解析 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X = 0) = 0.13 = 0.001, P(X = 1) = 0.12 X 0.9= 0.009, P(X= 2) = 0.1X0.9 = 0.09, P(X=3) = 0.9,故 X 的分布列为X0123P0.0010.0090.090.9故 E(X) = 0X0.001 + IX0.009 + 2X0.09 + 3X0.9 = 2.889.故选 A.5. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方 体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X,则X的均值 芯(X)等于()A168J 125答案B解析125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27 个没有涂漆，.从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值顼x)= #xo +若XI3686+ i25X2+1251.75,则p的取值范围为.答案()，3解析 由已知条件可得P(X=l)=p,P(X=2) = (l-p)p,P(X=3) = (l-p)2p + (l-p)3 = (l-p)2,贝IJ E(X) = P(X= 1) + 2P(X=2) + 3P(X=3) = + 2(1 -p)p + 3(l -)2 = p2-3p +31.75,解得 P| 或 pv,又由 p(0J),得 p(0, ).三、解答题8. 由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况如下表：X|(甲得分)012P(X1 =Xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2=Xi)0.30.20.5现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？解 E(Xi) = 0X0.2+ 1X0.5+ 2X0.3= 1.1,E(X = ()X0.3+ 1X0.2+ 2X0.5= 1.2,/.E(Xi) P(. = g，P(F) = $,且事件E与F, E与F, E与F, E与7都相互独立.(1) 记=至少有一种新产品研发成功，则H=EF,199于是 P(/?) = P(E)P(F) = 35=f5-213故 P(/7)=l-P(月)=1-话=氏.(2) 设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.1 22因为 P(X = 0) = P(E p)= -x- =,-1 3 1P(X= 1OO) = P(EF) = 3X5 = 5,_224P(X= 20) = P(EF) = X- = i2 3?P(X=220) = P(ED = X = s，故所求的分布列为2142X0100120220P2151541525均值为 E(X) = 0X+ 100X-+ 120X +220X-= 140.B级：“四能”提升训练I. 某小组共1。人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的 概率；(2) 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布 列和数学期望.CC + C? 1解(1)由已知，得P(A)=& =亍所以事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.C? + C? + C4 4 P(X = 0) =茹一下，CiCi + CC 7 P(X= 1)= Cfe =l5,所以随机变量X的分布列为X012P415715415474从而随机变量X的数学期望E(X) = ()X危+1X育+ 2X危=1.2 .小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为: 以。为起点，再从Al, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8(如图)这8个点中任取两点 分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X = ()就参加学校合唱 团，否则就参加学校排球队.求小波参加学校合唱团的概率;(2)求X的分布列和数学期望.解 从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C = 28种,X = 0时，Q 两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=O) 二赤_2=7(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2, -1,O,1.X= -2时，有2种情形；X=1时，有8种情形；X = 0时，有8种情形；X=-l时，有10种情形. 所以X的分布列为X-2_ 101pJ_5_2214147715223从而 E(X) = (-2)X+ (- l)X + 0X-+ 1 X-=1. 求离散型随机变量均值的步骤(1) 确定离散型随机变量X的取值；(2) 写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3) 根据公式写出均值.2. 离散型随机变量均值的几个常用结论(1) 顼。二C(C为常数)；(2) 顼 oXi + bXi) = aE(X) + bE(Xi);(3) 如果 Xi, X2相互独立,则 E(XiX2)= E(Xi)E(X2).如评价自测1. 判一判(正确的打“ 丁 ”，错误的打“ X ”)(1) 随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化.()(2) 随机变量的均值与样本的平均值相同.()(3) 若随机变量X的数学期望顼X) = 3,则E(4X-5) = 7.()答案(1)X (2)X (3) J2. 做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若随机变量Y的分布列为Y0P0.2Y0P0.2120.3m则V的数学期望F(n =(2)设随机变量X服从两点分布，且E(X) = 4,则二若 E(X)=|,则 E(2X+3) 二答案(1)1.3 (2)4 (3)y形成HE XIN SU YANG XING CHENG -题型一求离散型随机变量的均值例1根据以往的经验，某工程施工期间的降水量x(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300WXV700700WXV900XN900工期延误夭数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求工期延误天数V的均值.解1由已知条件和概率的加法公式得P(X300) = 0.3,P(300 WXv700) = P(Xv700) - P(X300) = 0.7 - 0.3 = 0.4,P(700 WXv900) = P(Xv900) - P(Xv700) = 0.9 - 0.7 = 0.2,P(XN900) = 1 - P(Xv900) = 1 一 0.9 = 0.1,所以Y的分布列为所以芯(y)= ()X0.3 + 2X0.4 + 6X0.2+ 10X0.1 =3,Y02610P0.30.40.20.1故工期延误天数丫的均值为3.；求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1) 确定X的可能取值；(2) 计算出 p(x=ky,(3) 写出分布列；(4) 利用项X)的计算公式计算E(X).跟踪训练U盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在 无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及 均值.解X的所有可能取值为1,2,3,32 3 3则 P(X=1) 二 , P(X = 2)=X- = ,P(X=3)=-x|xi =-.3-2抽取次数X的分布列为331X123P353101To所以 E(X)= lX- + 2Xj + 3Xj =题型二均值结论的应用例2已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X) = 6.3.X4a9P().5().1b求如求。；若 K=2X-3,求 E(V).解(1)由随机变量的分布列的性质，得0.5 + 0.1+/;=!,解得b = 0.4.(2) E(X) = 4 X 0.5 +。X 0.1 + 9 X 0.4 = 6.3,解得a = 7.(3) 由公式 E0X + /?) = aE(X) + b,得 E(y)= E(2X-3) = 2E(X)-3 = 2X63-3 = 9.6.囹网菸o求均值的关键是求出随机变量的分布列，只要求出随机变量的分布列，就可 以套用求均值的公式求解.对于求aXb型随机变量的均值，可以利用均值的性 质求解，当然也可以先求出随机变量心+b的分布列，再用定义求解.跟踪训练2已知随机变量X和K,其中12X+7,且E(V) = 34,若X的分布列如下表：X1234P4mn112则m的值为.答案I91解析 由 r=12X + 7,则 E(D=12E(X) + 7 = 34,从而 E(X) = , .-.F(X)=1X+ 2m + 3/z + 4 X+ 2m + 3/z + 4 X1 91112 = 4-又? + +正 + 广题型三离散型随机变量均值的实际应用例3某柑橘基地因冰雪灾害导致果林严重受损，为此有关专家提出两种拯 救果林的方案，每种方案都需分两年实施.若实施方案一，预计当年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8 倍的概率分别是0.3,0.3,04；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍、1.0 倍的概率分别是0.5,0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍 的概率分别是().2,().3,().5;第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍、1.()倍 的概率分别是0.4,0.6.无论实施哪种方案，第二年与第一年柑橘的产量都相互独立.令X = 1,2)表示方案,实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数.(1) 写出Xi, X2的分布列；(2) 实施哪种方案可使两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？(3) 不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到灾前产量，预计可带来效 益10万元；如果柑橘产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；如果柑 橘产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元.问：实施哪种方案所带来的平均 效益更大？解(1)X的所有可能取值为0.8,0.9,1.0,1.125,1.25; X2的所有可能取值为0.8,0.96,1.0,1.2,1.44.故Xi, X2的分布列分别为Xi0.80.91.01.1251.25P0.20.15().35().150.15X20.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令A, 8分别表示实施方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的事 件，则 P(A) = 0.15 + 0.15 = 0.3, P(B) = 0.24+ 0.08 = 0.32.可见，实施方案二两年后 柑橘产量超过灾前产量的概率更大.+ 20X0.32= 14.1.可见，实施方案一所带来的平均效益更大.；O0O解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识 去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值.跟踪训练3受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的 利润与该轿车从售出到首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种 品牌轿车，保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50 辆，统计数据如下：品牌甲乙从售出到首次出现故障时间X年0xWl1202轿车数量/辆2345545每辆利润/万元1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2) 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为Xi,生产辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求Xl, X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一 种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明 理由.解 设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件1则P(A) =2 + 3 150 = 10-(2)依题意得，Xi, X?的分布列分别为Xi123P139255010X21.82.919pTo10(3)由(2)得，139E(Xi)= 1 X + 2X+3 X = 2.86(万元),顼 X2)= 1.8X志+ 2.9X齐 2.79(万元).因为E(Xi)E(X2),所以应生产甲品牌的轿车.随堂水平,达标SUI TANG SHUI PING DA BIAO1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X) = ()A. 0.765B. 1.75C. 1.765D. 0.22答案B解析 X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0) = (l -0.9)X(l -0.85) = 0.1X0.15 = 0.015；P(X= I) = 0.9X(! -0.85)4-0.85X(1 -0.9) = 0.22;P(X= 2) = 0.9X0.85 = 0.765./.E(X) = 0X0.015 + 1X0.22 + 2X0.765= 1.75.X4a910P0.30.1b0.22.已知随机变量X的分布列为若E(X) = 7.5,则。等于()A. 5B. 6C. 7D. 8答案C解析由题意得,0.3+ 0.1 +/? + 0.2 = 1,得4X0.3+ oX().l +9b+ 10X0.2 = 7.5,h = 0A,67 = 7.3.个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为代 不得分21的概率为c(o, b, c(0,l),已知他投篮一次得分的期望为2,则 +初的最小值为()c 28B. y、16D. y答案D22解析 由题意知3。+ 28 = 2,其中0“孑水1，所以；+13a + 2b (3b =2 2 r + 3b,= 3+： +专+ *3? + 2 =孚当且仅当a = 2b = 时取等号.X123P?I?4.随机变量X的概率分布列如下表:尽管“！ ”处完全无法看清，且两个“？ ”处字迹模糊，但能断定这两个“？ ”处的数值相同，则E(X) =.答案2解析 设“？ ”处的数值为，则“！ ”处的数值为1-2Z,所以E(X) = t + 2(1 -2/) + 3r = 2.5.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km时租车费为10 元，若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部 分按1 km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km,某司机经常驾 车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换 成行车路程(这个城市规定，每停车5 min按1 km路程计费，不足5 min的部分不 计费)，这个司机接送一次旅客转换后的行车路程X是一个随机变量，设他所收租 车费为K.(1) 求所收租车费V关于行车路程X的关系式;(2) 若随机变量X的分布列为求所收租车费V的数学期望；X15161718P().1().5().3().1(3) 已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了 15 km,问出租汽车在途中因故停车累计多长时间？解(1)依题意得r=2(X-4)+10, 即 y=2X+2, X315, XN(2) E(X)= 15X0.1 + 16X0.5+17X0.3+18X0.1 = 16.4.Y = 2X + 2, .E(Y) = E(2X + 2) = 2顼X) + 2 = 34.8. 故所收租车费V的数学期望为34.8元.(3) 由 38 = 2X+2,解得X=18,故停车累计时间，转换的路程为18-15 = 3(km). .3X5WK4X5,即出租汽车在途中因故停车累计时间15,20).