7.3-7.3.1-离散型随机变量的均值.docx

!■ 73.1离散型随机变量的均值
E3课园新日法(教师独具内容)
课程标准：通过具体实例，理解离散型随机变量的均值.
教学重点：1 .求离散型随机变量的均值.2.求两点分布的均值. 教学难点：用离散型随机变量的均值解决相关的实际问题.
国0掌握
HE XIN GAI NIAN ZHANG WO魅回导学
知识点一离散型随机变量的均值
1. 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
XXIX2
Xn
Pp\P2…

则称E(X) = R)T］xi7?l +X2P2 ++XnPn =匝］£珂力为随机变量X的均值或数学»= I
期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的而］平均水平.
2. 均值的结论
一般地，下面的结论成立：E(aX+b) = ［^\aE(X) + b,
知识点二两点分布的均值
—般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)二回］课后课时

课后课时
精练KE HOU KE SHI JING LIAN —
A级：“四基”巩固训练
—、选择题
15-2
- 旦3 +
8-6
+
5-2
1.已知X的分布列如图所示，若V=3X+2,则E（n = （）
X
1
2
3
P
1
2
t
3
A.号
B. |
c. |
D. 5
答案A

解析丫的分布列为
Y
5
8
11
P
1
2
t
1
3
2.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有 卖出的鲜花以每束1.6元进行处理，根据前四年的销售情况预测，节日期间这种 鲜花的需求量X（单位：束）的分布列如下表所示.若进这种鲜花500束，则利润 的均值是（）A. 706 元B. 690 元
X = k
200
300
400
500
P(X=k)
0.20
0.35
0.30
0.15

C. 754 元D. 720 元
答案A
解析 由分布列可以得到需求量的均值是E(X) = 200X0.20+ 300X0.35 +400X0.30 + 500X0.15 = 340.故利润的均值是(340X5 + 160X 1.6) - 500X2.5 =
706(元).
3. 甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程 相同的门数为X,则EWM )3
A. 1B. 25
C. 2D. $
答案B1
解析 随机变量x的可能取值为0,123,则P(X = 0) = ^ = 20, P(X=1)二o□ci ii q
~cIcF = 20, P(X=2) = ~C1cT = 20, P(X=3) = cIcI = 20,则 F(X) = 0X20+ 1X20
913+ 2X—+ 3X —=-故选 B.
4. 在某次射击训练中，每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第M =1,2,3)次击中目标得(4-Z)分，3次均未击中目标得0分.已知甲每次击中目标的
概率为0.9,各次射击结果互不影响，若他的得分记为X,则随机变量X的数学期 望为()
A. 2.889B. 2.988
C. 2D. 2.96
答案A
解析 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X = 0) = 0.13 = 0.001, P(X = 1) = 0.12 X 0.9= 0.009, P(X= 2) = 0.1X0.9 = 0.09, P(X=3) = 0.9,故 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.009
0.09
0.9
故 E(X) = 0X0.001 + IX0.009 + 2X0.09 + 3X0.9 = 2.889.故选 A.
5. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方 体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X,则X的均值 芯(X)等于()
A・168
J 125
答案B
解析125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27 个没有涂漆，...从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值顼x)= #xo +若XI
3686+ i25X2+125><3 = 5-
二、填空题某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假 2
定该毕业生得到甲公司面试的概率为3,得到乙、丙两公司面试的概率均为P，且 三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=O)S，则随机变量X的均值£(%) = —.
答案f
解析•.•P(X = ())=志= (l-p)2x?, .•.〃 = §,易知随机变量X的可能值为 0,1,2,3, P(X = 0) = & P(X=1) = |x& + 2X3X(2)2 = 3* P(X=2) = |x(£)2X2 + §x(*)2 = 3，P(X=3)=|x^2 = |, .•.E(X) = 0X志 + 1 X? + 2x3+3X卜
6. 对三架机床进行检验，各机床是否产生故障是相互独立的，且各机床产生 故障的概率分别为？，P2, P3, X为产生故障的机床的架数，则E(X) =—.
答案。|+。2+〃3
解析 x的取值为0,1,2,3, A, B, C分别表示三架机床发生故障，•••P(X二 0) = P( 7 )P( Z )P( C) = (1 - pi) (l - P2)(l - P3), P(X = 1) = P(A)P( B )P( C ) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P( B )P(Q =pi(1 -p2)(l -p3)+ (1 -pi)p2(l -P3)+ (1 -pi)(l -呻,P(X = 2) = P( A )P(B)P(。+ P(A)P( B )P(C) + P(A)P(B)P( C) = (l - pg3+ pi( 1 一 pi)p3 + PS(1 - P3), P(X = 3) = P(A)P(B)P(C) = P1/22/73 , E(X) = P(X = 1) + 2P(X =2) + 3P(X = 3) = p\ +/72 + p3.
7. 体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球 成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为 pg),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围为—.
答案(()，3
解析 由已知条件可得P(X=l)=p,
P(X=2) = (l-p)p,
P(X=3) = (l-p)2p + (l-p)3 = (l-p)2,
贝IJ E(X) = P(X= 1) + 2P(X=2) + 3P(X=3) = 〃 + 2(1 -p)p + 3(l -〃)2 = p2-3p +3>1.75,
解得 P>| 或 pv§,又由 p€(0J),得 p€(0, §).
三、解答题
8. 由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况如下表：
X|(甲得分)
0
1
2
P(X1 =Xi)
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P(X2=Xi)
0.3
0.2
0.5
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？

解 E(Xi) = 0X0.2+ 1X0.5+ 2X0.3= 1.1,
E(X» = ()X0.3+ 1X0.2+ 2X0.5= 1.2,
/.E(Xi)<E(X2),派乙运动员参加比赛较好.
2 3
9. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为孑和 现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B设甲、乙两组的研发相互独立.
(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2) 若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功, 预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.
解 记8= ｛甲组研发新产品成功｝, F=｛乙组研发新产品成功｝.
2_13_2
由题设知 P(E)=§, P(E) = 3> P(. = g，P(F) = $,
且事件E与F, E与F, E与F, E与7都相互独立.
(1) 记〃=｛至少有一种新产品研发成功｝，则H=EF,199
于是 P(/?) = P(E)P(F') = 3><5=f5-213
故 P(/7)=l-P(月)=1-话=氏.
(2) 设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.
1 22
因为 P(X = 0) = P(E p)= -x- =—,-1 3 1
P(X= 1OO) = P(EF) = 3X5 = 5,_224
P(X= ]20) = P(EF) = ^X- = — i2 3?
P(X=220) = P(ED = §X§ = s，
故所求的分布列为2142
X
0
100
120
220
P
2
15
1
5
4
15
2
5
均值为 E(X) = 0X—+ 100X-+ 120X —+220X-= 140.
B级：“四能”提升训练
I. 某小组共1。人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
⑴设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的 概率；
(2) 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布 列和数学期望.
C\C\ + C? 1
解(1)由已知，得P(A)=& =亍
所以事件A发生的概率为§
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
C? + C? + C4 4 P(X = 0) =―茹一下，
CiCi + C\C\ 7 P(X= 1)= Cfe =l5,所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
4
15
7
15
4
15
474从而随机变量X的数学期望E(X) = ()X危+1X育+ 2X危=1.
2 .小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为: 以。为起点，再从Al, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8(如图)这8个点中任取两点 分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X = ()就参加学校合唱 团，否则就参加学校排球队.

⑴求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求X的分布列和数学期望.
解 ⑴从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C§ = 28种,X = 0时，Q 两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=O) 二赤
_2
=7
(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2, -1,O,1.X= -2时，有2种情形；X=1时，有8种情形；X = 0时，有8种情形；X=-l时，有10种情形. 所以X的分布列为
X
-2
_ 1
0
1
p
J_
_5_
2
2
14
14
7
7
15223从而 E(X) = (-2)X—+ (- l)X]^ + 0X-+ 1 X-=

1. 求离散型随机变量均值的步骤
(1) 确定离散型随机变量X的取值；
(2) 写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3) 根据公式写出均值.
2. 离散型随机变量均值的几个常用结论
(1) 顼。二C(C为常数)；
(2) 顼 oXi + bXi) = aE(X\) + bE(Xi);
(3) 如果 Xi, X2相互独立,则 E(Xi・X2)= E(Xi)・E(X2).
如评价自测
1. 判一判(正确的打“ 丁 ”，错误的打“ X ”)
(1) 随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化.()
(2) 随机变量的均值与样本的平均值相同.()
(3) 若随机变量X的数学期望顼X) = 3,则E(4X-5) = 7.()
答案(1)X (2)X (3) J
2. 做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若随机变量Y的分布列为Y
0
P
0.2

Y
0
P
0.2

1
2
0.3
m

则V的数学期望F(n =
(2)设随机变量X服从两点分布，且E(X) = 4,则〃二
⑶若 E(X)=|,则 E(2X+3) 二
答案(1)1.3 (2)4 (3)y形成
HE XIN SU YANG XING CHENG -
题型一求离散型随机变量的均值
例1根据以往的经验，某工程施工期间的降水量x(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X<300
300WXV700
700WXV900
XN900
工期延误夭数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别
为0.3,0.7,0.9,求工期延误天数V的均值.
［解1由已知条件和概率的加法公式得
P(X<300) = 0.3,
P(300 WXv700) = P(Xv700) - P(X<300) = 0.7 - 0.3 = 0.4,
P(700 WXv900) = P(Xv900) - P(Xv700) = 0.9 - 0.7 = 0.2,
P(XN900) = 1 - P(Xv900) = 1 一 0.9 = 0.1,
所以Y的分布列为所以芯(y)= ()X0.3 + 2X0.4 + 6X0.2+ 10X0.1 =3,
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1

故工期延误天数丫的均值为3.
；—
求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：
(1) 确定X的可能取值；
(2) 计算出 p(x=ky,
(3) 写出分布列；
(4) 利用项X)的计算公式计算E(X).
［跟踪训练U盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在 无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及 均值.
解X的所有可能取值为1,2,3,32 3 3
则 P(X=1) 二 §, P(X = 2)=^X- = —,
P(X=3)=-x|xi =-^.
3-2
抽取次数X的分布列为331
X
1
2
3
P
3
5
3
10
1
To
所以 E(X)= lX- + 2Xj^ + 3Xj^ =

题型二均值结论的应用例2已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X) = 6.3.
X
4
a
9
P
().5
().1
b
⑴求如
⑵求。；
⑶若 K=2X-3,求 E(V).
［解］(1)由随机变量的分布列的性质，得0.5 + 0.1+/;=!,
解得b = 0.4.
(2) E(X) = 4 X 0.5 +。X 0.1 + 9 X 0.4 = 6.3,
解得a = 7.
(3) 由公式 E0X + /?) = aE(X) + b,
得 E(y)= E(2X-3) = 2E(X)-3 = 2X63-3 = 9.6.
［…囹网菸o
求均值的关键是求出随机变量的分布列，只要求出随机变量的分布列，就可 以套用求均值的公式求解.对于求aX^b型随机变量的均值，可以利用均值的性 质求解，当然也可以先求出随机变量心+b的分布列，再用定义求解.
［跟踪训练2］已知随机变量X和K,其中"12X+7,且E(V) = 34,若X
的分布列如下表：
X
1
2
3
4
P
4
m
n
1
12

则m的值为.
答案I91
解析 由 r=12X + 7,则 E(D=12E(X) + 7 = 34,从而 E(X) = ^, .-.F(X)=1X^+ 2m + 3/z + 4 X

+ 2m + 3/z + 4 X
1 91112 = 4-又〃? + 〃 +正 + 广
题型三离散型随机变量均值的实际应用
例3某柑橘基地因冰雪灾害导致果林严重受损，为此有关专家提出两种拯 救果林的方案，每种方案都需分两年实施.
若实施方案一，预计当年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8 倍的概率分别是0.3,0.3,04；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍、1.0 倍的概率分别是0.5,0.5.
若实施方案二，预计当年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍 的概率分别是().2,().3,().5;第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍、1.()倍 的概率分别是0.4,0.6.
无论实施哪种方案，第二年与第一年柑橘的产量都相互独立.
令X" = 1,2)表示方案,•实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数.
(1) 写出Xi, X2的分布列；
(2) 实施哪种方案可使两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？
(3) 不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到灾前产量，预计可带来效 益10万元；如果柑橘产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；如果柑 橘产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元.问：实施哪种方案所带来的平均 效益更大？
［解］(1)X的所有可能取值为0.8,0.9,1.0,1.125,1.25; X2的所有可能取值为0.8,0.96,1.0,1.2,1.44.
故Xi, X2的分布列分别为
Xi
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
().35
().15
0.15
X2
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
(2)令A, 8分别表示实施方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的事 件，则 P(A) = 0.15 + 0.15 = 0.3, P(B) = 0.24+ 0.08 = 0.32.可见，实施方案二两年后 柑橘产量超过灾前产量的概率更大.

+ 20X0.32= 14.1.可见，实施方案一所带来的平均效益更大.
；—©O0O
解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识 去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值.
［跟踪训练3］受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的 利润与该轿车从售出到首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种 品牌轿车，保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50 辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
从售出到首次出
现故障时间X年
0<xWl
1<xW2
x>2
0<x^2
x>2
轿车数量/辆
2
3
45
5
45
每辆利润/万元
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：

(1) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率;
(2) 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为Xi,生产辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求Xl, X2的分布列;
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一 种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明 理由.
解 ⑴设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件1则P(A) =2 + 3 1
~50" = 10-(2)依题意得，Xi, X?的分布列分别为
Xi
1
2
3
P
1
3
9
25
50
10

X2
1.8
2.9

1
9
p
To
10
(3)由(2)得，139
E(Xi)= 1 X —+ 2X^+3 X — = 2.86(万元),

顼 X2)= 1.8X志+ 2.9X齐 2.79(万元).
因为E(Xi)>E(X2),所以应生产甲品牌的轿车.
随堂水平,
达标
SUI TANG SHUI PING DA BIAO
1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X) = ()
A. 0.765B. 1.75
C. 1.765D. 0.22
答案B
解析 X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0) = (l -0.9)X(l -0.85) = 0.1X0.15 = 0.015；
P(X= I) = 0.9X(! -0.85)4-0.85X(1 -0.9) = 0.22;P(X= 2) = 0.9X0.85 = 0.765.
/.E(X) = 0X0.015 + 1X0.22 + 2X0.765= 1.75.
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
2.已知随机变量X的分布列为
若E(X) = 7.5,则。等于()
A. 5B. 6
C. 7D. 8
答案C解析由题意得,
0.3+ 0.1 +/? + 0.2 = 1,得'
4X0.3+ oX().l +9b+ 10X0.2 = 7.5,h = 0A,
67 = 7.
3.—个篮球运动员投篮一次得3分的概率为〃，得2分的概率为代 不得分21
的概率为c(o, b, c'€(0,l)),已知他投篮一次得分的期望为2,则＜ +初的最小值为()
c 28B. y
、16
D. y
答案D22
解析 由题意知3。+ 28 = 2,其中0＜“＜孑°＜水1，所以；+
1
3a + 2b (
3b =
2 {
‘2 r〃 + 3b,
= 3+： +专+ *3? + 2 =孚当且仅当a = 2b = ^\时取等号.
X
1
2
3
P
?
I
?
4.随机变量X的概率分布列如下表:
尽管“！ ”处完全无法看清，且两个“？ ”处字迹模糊，但能断定这两个

“？ ”处的数值相同，则E(X) =—.
答案2
解析 设“？ ”处的数值为，，则“！ ”处的数值为1-2Z,所以E(X) = t + 2(1 -2/) + 3r = 2.
5.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km时租车费为10 元，若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部 分按1 km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km,某司机经常驾 车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换 成行车路程(这个城市规定，每停车5 min按1 km路程计费，不足5 min的部分不 计费)，这个司机接送一次旅客转换后的行车路程X是一个随机变量，设他所收租 车费为K.
(1) 求所收租车费V关于行车路程X的关系式;
(2) 若随机变量X的分布列为求所收租车费V的数学期望；
X
15
16
17
18
P
().1
().5
().3
().1

(3) 已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了 15 km,问出租汽车在途中因故停车累计多长时间？
解(1)依题意得r=2(X-4)+10, 即 y=2X+2, X315, X€N\
(2) E(X)= 15X0.1 + 16X0.5+17X0.3+18X0.1 = 16.4.
Y = 2X + 2, .'.E(Y) = E(2X + 2) = 2顼X) + 2 = 34.8. 故所收租车费V的数学期望为34.8元.
(3) 由 38 = 2X+2,
解得X=18,
故停车累计时间，转换的路程为18-15 = 3(km). .•.3X5WK4X5,
即出租汽车在途中因故停车累计时间［15,20).