2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第十章-第九节离散型随机变量的均值与方差.docx

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课时提升作业(七十二)
一、选择题
1.已知X的分布列为
X
-1
0
1
P

则下列命题:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.正确的个数是(　　)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2.随机变量ξ的分布列如下:
ξ
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)的值是(　　)
(A) (B) (C) (D)
3.(2021·杭州模拟)若随机变量X～B(100,p),X的数学期望E(X)=24,则p的值是(　　)
(A) (B) (C) (D)
4.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为(　　)
(A) (B) (C)3 (D)
5.已知随机变量X～B(6,),则P(-2≤X≤5.5)=(　　)
(A) (B) (C) (D)
6.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是(　　)

(A)A1 (B)A2 (C)A3 (D)A4
二、填空题
7.若随机变量ξ的分布列为:P(ξ=m)=,P(ξ=n)=a.若E(ξ)=2,则D(ξ)的最小值等于　　　.
8.某毕业生参与人才聘请会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=　　　.
9.抛掷两枚骰子,至少有一个4点或5点毁灭时,就说这次试验成功,则在10次试验中,成功次数X的期望是　　　　.
10.(力气挑战题)设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p= ______ 时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为　　　.
三、解答题
11.某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为0)的概率为0.1,飞镖落在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为30cm,20cm,10cm,飞镖落在不同区域的环数如图中标示.
(1)若这位同学向圆形靶投掷3次飞镖,求恰有2次落在9环区域内的概率.
(2)记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
12.(2021·广东六校联考)近几年来,我国很多地区经常毁灭干旱现象,为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得知,某地在将来5天的指定时间的降雨概率是:前3天均为50%,后2天均为80%,5天内任何一天的该指定时间没有降雨,则在当天实行人工降雨,否则,当天不实施人工降雨.
(1)求至少有1天需要人工降雨的概率.
(2)求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望.
13.(力气挑战题)某商店储存的50个灯泡中,甲厂生产的灯泡占60%,乙厂生产的灯泡占40%,甲厂生产的灯泡的一等品率是90%,乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.
(1)若从这50个灯泡中随机抽取出1个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等),则它是甲厂生产的一等品的概率是多少?
(2)若从这50个灯泡中随机抽取出2个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等),这2个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ,求E(ξ)的值.
14.(力气挑战题)一个口袋装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸2个球(每次摸奖后放回),2个球颜色不同则为中奖.
(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率.
(2)若n=5,求3次摸奖的中奖次数ξ=1的概率及数学期望.
(3)记3次摸奖恰有1次中奖的概率为P,当n取多少时,P最大?

答案解析
1.【解析】选C.E(X)=(-1)×+0×+1×=-,∴①正确;D(X)=(-1+)2×+(0+)2×+(1+)2×=,∴②不正确;由分布列知:③正确.
2.【解析】选C.∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
又a+b+c=1,且E(ξ)=-1×a+1×c=c-a=,
联立三式得a=,b=,c=,
∴D(ξ)=(-1-)2×+(0-)2×+(1-)2×=.
3.【解析】选C.∵X～B(100,p),∴E(X)=100p.
又∵E(X)=24,∴24=100p,p==.
4.【思路点拨】利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式构造含有x1,x2的方程组求解.
【解析】选C.分析已知条件,利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得:

解得或又∵x1<x2,∴x1+x2=3.
5.【解析】选A.依题意,P(-2≤X≤5.5)
=P(X=0,1,2,3,4,5)=1-P(X=6)=1-()6=.
6.【思路点拨】求出四种方案A1,A2,A3,A4盈利的期望,再结合期望作出推断.
【解析】选C.方案A1,A2,A3,A4盈利的期望分别是:
A1:50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7;
A2:70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5;
A3:-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7;
A4:98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.
所以A3盈利的期望值最大,所以应选择A3.
7.【解析】依题意有a=1-=,所以E(ξ)=m+n=2,即m+2n=6.又D(ξ)=(m-2)2+(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,所以当n=2时,D(ξ)取最小值为0.
答案:0
8.【解析】1-=.∵P(X=0)==(1-p)2×,
∴p=.1-=.随机变量X的可能取值为0,1,2,3,因此P(X=0)=,P(X=1)=×()2+×()2×2=,P(X=2)=×()2×2+×()2=,P(X=3)=×()2=,因此E(X)=0×+1×+2×+3×=.
答案:
9.【思路点拨】先求出一次试验成功的概率,再依据二项分布求解.
【解析】由题意一次试验成功的概率为1-×=,10次试验为10次独立重复试验,则成功次数X～B(10,),所以E(X)=.
答案:
10.【解析】D(ξ)=100p(1-p)≤100·()2=25,
当且仅当p=1-p,即p=时,D(ξ)最大,为25.
答案:　25
【变式备选】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,a,b,c∈(0,1),且无其他得分状况,已知他投篮一次得分的数学期望为1,则ab的最大值为　　　.
【解析】依题意得3a+2b+0×c=1,∵a>0,b>0,
∴3a+2b≥2,即2≤1,∴ab≤.当且仅当3a=2b时,等式成立.
答案:
11.【解析】(1)由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质量和外形无关.
由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为3∶2∶1,面积比为9∶4∶1,
所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5∶3∶1,
则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k,3k,k.
依据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1,解得k=0.1,
所以,这位同学向圆形靶投掷1次飞镖,落在9环区域内的概率为0.3,
所以,P(向圆形靶投掷3次飞镖,恰有2次落在9环区域内)=0.32(1-0.3)=0.189.
(2)随机变量X的取值为0,8,9,10,
P(X=0)=0.1,P(X=8)=0.5,P(X=9)=0.3,P(X=10)=0.1,
所以,离散型随机变量X的分布列为:
X
0
8
9
10
P
0.1
0.5
0.3
0.1
E(X)=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7.
12.【解析】(1)5天全不需要人工降雨的概率是P1=()3·()2=,故至少有1天需要人工降雨的概率是1-P1=1-=.
(2)X的取值是0,1,2,3,4,5,由(1)知5天不需要人工降雨的概率是:P(X=5)=P1=,
4天不需要人工降雨的概率是:
P(X=4)=()3×+()3()2==,3天不需要人工降雨的概率是:
P(X=3)=()3()2+()3()()+()3()2=,
2天不需要人工降雨的概率是:
P(X=2)=()3()2+()3()×()+()3×()2=,
1天不需要人工降雨的概率是:
P(X=1)=()3()2+()3()()
=,
0天不需要人工降雨的概率是:P(X=0)=
()3()2=,
故不需要人工降雨的天数x的分布列是:
x
0
1
2
3
4
5
P

不需要人工降雨的天数x的期望是:
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.1.
【方法技巧】求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)定义法:已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解.
(2)性质法:已知随机变量ξ的均值与方差,求ξ的线性函数η=aξ+b的均值与方差,可直接利用均值、方差的性质求解.
(3)公式法:如能分析所给随机变量是听从常用的分布(如两点分布,二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公式求解.
13.【解析】(1)方法一:设大事A表示“甲厂生产的灯泡”,大事B表示“灯泡为一等品”,依题意有
P(A)=0.6,P(B|A)=0.9,依据条件概率计算公式得P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.6×0.9=0.54.
方法二:该商店储存的50个灯泡中,甲厂生产的灯泡有50×60%=30(个),乙厂生产的灯泡有50×40%=20(个),其中是甲厂生产的一等品有30×90%=27(个),故从这50个灯泡中随机抽取出1个灯泡,它是甲厂生产的一等品的概率为=0.54.
(2)依题意,ξ的取值为0,1,2,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

∴E(ξ)=0×+1×+2×=1.08.
【变式备选】甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中目标的环数都稳定在7,8,9,10环,且每次射击成果互不影响,射击环数的频率分布表如下:
甲运动员
射击环数
频数
频率
7
10
0.1
8
10
0.1
9
x
0.45
10
35
y
合计
100
1
乙运动员
射击环数
频数
频率
7
8
0.1
8
12
0.15
9
z

10

0.35
合计
80
1
若将频率视为概率,回答下列问题:
(1)求甲运动员射击1次击中10环的概率.
(2)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率.
(3)若甲运动员射击2次,乙运动员射击1次,ξ表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数,求ξ的分布列及E(ξ).
【解析】由题意得x=100-(10+10+35)=45,
y=1-(0.1+0.1+0.45)=0.35.
由于乙运动员的射击环数为9时的频率为1-(0.1+0.15+0.35)=0.4,所以z=0.4×=32.
由上可得表中x处填45,y处填0.35,z处填32.
(1)设甲运动员射击1次击中10环为大事A,则P(A)=0.35,即甲运动员射击1次击中10环的概率为0.35.
(2)设甲运动员射击1次击中9环为大事A1,击中10环为大事A2,则甲运动员在1次射击中击中9环以上(含9环)的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)
=0.45+0.35=0.8,
故甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率P
=1-[1-P(A1∪A2)]3=1-0.23=0.992.
(3)ξ的可能取值是0,1,2,3,则
P(ξ=0)=0.22×0.25=0.01,
P(ξ=1)=×0.2×0.8×0.25+0.22×0.75=0.11,
P(ξ=2)=0.82×0.25+×0.8×0.2×0.75=0.4,
P(ξ=3)=0.82×0.75=0.48.
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
0.01
0.11
0.4
0.48
E(ξ)=0×0.01+1×0.11+2×0.4+3×0.48=2.35.
14.【解析】(1)记“1次从n+5个球中摸出2个球”为大事A,card(A)=.
“1次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为大事B,card(B)=5n,
所以,所求概率p=.
(2)3次放回式摸奖中“每次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为独立重复大事,
当n=5时,获奖次数ξ～B(3,),
P(ξ=1)=.E(ξ)=np==.
(3)ξ～B(n,p),
P(ξ=1)=p(1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1,
令f(p)=3p3-6p2+3p,由f′(p)=9p2-12p+3=0,得p=;
当p=时f(p)有最大值.
由p==,解得n=20.
所以当n=20时,3次摸奖恰有1次中奖的概率最大.
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