2022版《名师金典》高考数学(理科)大一轮复习课时检测65离散型随机变量的均值与方差、正态分布-.docx

课时限时检测(六十五)　离散型随机变量的均值与方差、正态分布
(时间：60分钟　满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设随机变量ξ听从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】　B
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P

则在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.
正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】　C
3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
【答案】　B
4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】　B
5．已知随机变量ξ听从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　)
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
【答案】　C
6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为(　　)
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】　B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．在某项测量中，测量结果ξ听从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
【答案】　0.8
8．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P

a
设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．
【答案】　
9．某公司有5万元资金用于投资开发项目，假如成功，一年后可获利12%；假如失败，一年后将丢失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192例
8例
则该公司一年后估量可获收益的期望是________元．
【答案】　4 760
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)(2021·湖北高考改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是听从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.求p0的值．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4)
【解】　由于随机变量X听从正态分布N(800,502)，
故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.977 2.
11．(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图10－9－3记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

图10－9－3
(1)指出这组数据的众数和中位数；
(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估量整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
【解】　(1)众数：8,6；中位数：8.75
(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人．
设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为大事A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝
(3)从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人的概率为＝，故依题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极幸福”的人的概率P＝
ξ的可能取值为0,1,2,3
P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝1)＝C2＝
P(ξ＝2)＝C2＝；P(ξ＝3)＝3＝
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.75
另解由题可知ξ～B，
所以Eξ＝3×＝0.75.
12．(13分)如图10－9－4所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．

图10－9－4
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．
【解】　(1)依题意及频率分布直方图知，
0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.
X的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.