7.3-7.3.2-离散型随机变量的方差.docx

离散型随机变量的方差话(教师独具内容)
课程标准:
通过具体实例，理解离散型随机变量的方差.
教学重点:
离散型随机变量的方差、标准差的计算.
教学难点:
用离散型随机变量的均值、方差解决实际问题.

核I也概念
掌握
HE XIN GAI NIAN ZHANG WO -
知识
知识点一 方差、标准差的定义(1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X
XI
X2
• • •
Xn
P
Pi
P2
• • •
Pn
考虑X所有可能取值x,•与顼X)的偏差的平方31-即0)2,(X2 - E(X))2,…，3〃
-顼X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的
加权平均，来度量随机变量x取值与其均值顼X)的偏离程度.我们称D(X) =(XI n
-E(X))2pi + (尤2 - E(X))2P2 + …+ 3〃 - E(X))2p〃 =国歹 _ 顼为随机变量 Xz= 1
的方差，有时也记为就gx),并称阻框囱为随机变量X的标准差，记为"(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,
反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越匝］集
虫；方差或标准差越大，随机变量的取值越何分散.
知识点二方差的结论D(aX+b) = [oi\a2D(X).
眠卸拓展
I2m 7/7解析 由分布列中概率和为1,得。+ §=1, a = y'：E(X) = 2, /.y + y = 2,
1221
.'.m = 6 - 2n. /.D(X) = 3X(m — 2尹 + §X(〃 一 2尹=3X(〃 一 2尹 + 3X(6 — 2〃 一 2)2 =
2/?2 - 8n + 8 = 2(〃 - 2已.・. 〃 二2 时，O(X)取最小值 0.
5.(多选)随机变量X的分布列为其中沥尹0,下列说法正确的是()
X
0
1
2
P

b
b
a
2
2
a + b=I
3b£(X)=y
c. D(x)随次的增大而减小D.。(力有最大值
11
--
。一 2 +
2 +
a, Z?€(Oa), A 正确；E(X) = OXa +
答案ABD
b 3b
2X- = y, B 正确；D(X) = aX
-最一部+奈，n(O,l),可得力潟时，D(X)取得最大值• D(x)随人的增大先增 大后减小，C错误，D正确.故选ABD.
二、填空题6.已知离散型随机变量X的分布列如下表:
X
一 1
0
1
2
P
a
b
c
12
若 E(X) = O, O(X)=1,则。=
解析 VE(X) = O, D(X) = 1 ,由离散型随机变量X的分布列的性质知,计算得出
7.两封信随机投入A, B,。三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差
D(X) =2X2 4QX2 4
解析 X的所有可能取值为0,1,2, p（x=o）=—厂=如P（X=1） = 3_ =寻+
4- 9
X
2
2-3

+
4- 9
X
2
2-3
+
4- 9
X
2
\xdl7
2-3
I4412(
P(X=2)=^,^E(X) = QX-+IX- + 2X- = -,D(X) = [Q
I V 9~9*设p为非负实数，随机变量X的分布列为
解析
E(X) = 0X
OWpW；.

X
()
1
2
P
1
2~P
P
1
2
则顼X）的最大值为, D（X）的最大值为

d（x）=（p+i）2I

解 E(Xi) = 0X0.7+1X0.2+ 2X 0.06 + 3X 0.04 = 0.44,E(X2) = 0X0.8+ 1X0.06 + 2X0.04 + 3X0.10 = 0.44,
它们的均值相同，再比较它们的方差.
0(X1) = (0 - 0.44)2 X 0.7 + (1 - 0.44)2X0.2 + (2 - 0.44)2X0.06 + (3 - 0.44)2X 0.04 = 0.6064,
D(X2)= (0 - 0.44)2X0.8 +(i _ o.44)2X0.06 + (2 - 0.44)2X0.04 + (3 - 0.44)2X0.10 = 0.9264.
因为 D(Xi)<D(X2),所以A机床加工较稳定，质量较好.
10. 如图，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发 学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者连线的游戏，作为奖励，参加连 线的同学每连对一个奖励一朵小红花.假定一名小学生对四大名著没有了解，只 是随机地连线，试求该学生得到小红花数X的分布列及其均值、方差. 9 3
解 该小学生连线的情况有都连错，连对一个，连对两个，连对四个，故其 得小红花数可能为0个，1个，2个，4个.
《三国演义》
罗贯中
《水浒传》
施耐庵
《西游记》
吴承恩
《红楼梦》
曹雪芹

ClX2 81P(x=i)=-^-=-=-,
P(X=2) =
C?X1
"aT
= 24 = 4J

P(X = 4)=xj = *故X的分布列为
X
0
1
2
4
P
3
1
1
上
8
3
4
24
3111^I^E(X) = OX^+ 1X- + 2X- + 4X —= 1,
3111
D(X) = gX(0-l)2 + 3X(l-l)2+-X(2-l)2+^X(4-1)2=1.
B级：“四能”提升训练（多选）设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量V满足K=2X+1,则下列结果正确的有（）
A. g = O・lE(X) = 2, D(X)= 1.4
B. E(X) = 2, D(X)=1.8E(Y) = 5, D(Y) = 7.2
答案ACD解析 由离散型随机变量X的分布列的性质得，^=1-0.4-0.1-0.2-0.2 =
0.1, E(X) = 0X0.1 + 1X0.4+ 2X0.1 +3X0.2+ 4X0.2 = 2, Z)(X) = (0 - 2)2X0.1 + (1 一 2)2 X 0.4 + (2- 2)2 X0.1 +(3 - 2)2 X 0.2 + (4- 2)2 X 0.2 = 1.8, ■/ 离散型随机变量 Y 满足 F=2X+1, .・・E(F) = 2E(X) + 1=5, D(y)= 4D(X) = 7.2.故选 ACD.
1. 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量 也大致相等.这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分 别为：

解甲保护区的违规次数Xi的均值和方差为
顼 Xi) = 0X0.3 + 1X0.3+ 2X0.2+ 3X0.2 = 1.3；O(Xi) = (0- 1.3)2X0.3 + (1 - 1.3)2。0.3 + (2 - 1.3)2X0.2 + (3 - 1.3)2X0.2 =
1.21.
乙保护区的违规次数X2的均值和方差为E(X2) = 0X0.1 + 1X0.5 + 2X04= 1.3;
0(X2)= (0 — 1.3)2 X 0.1 + (1 — 1.3)2 X0.5 + (2- 1.3)2 X 0.4 = 0.41.
因为E(Xi) = E(X2), D(Xi)>D(X2),所以两个保护区内每季度发生的违规事件
平均次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护
区内发生的违规事件次数相对分散和波动.因此乙保护区的管理水平较高.
1. 若x服从参数为p的两点分布，则D(X)=p(l-p).
2. 求离散型随机变量X的均值、方差的步骤理解X的意义，写出X的所有可能的取值；
(1) 求X取每一个值的概率；写出随机变量X的分布列；
(2) 由均值、方差的定义求E(X), D(X).
特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算顼&和 D(X).
±1评价自测£判一判(正确的打“，错误的打“X”)
(1) 离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.()若。是常数，则0(。) = 0.()
(2) 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.()答案(1)X (2)V⑶"
1. 做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率〃 =0.5,则顼X)和必X)分别
(2)如果X是离散型随机变量，丫 =3X+2,那么D(y)=D(X).
⑶若 Z)(3X—1)=18,则 D(X) =.
答案(1)0.5 和 0.25 (2)9 (3)2形成
HE XIN SU YANG XING CHENG
题型一方差与标准差的计算 例1已知随机变量X的分布列为求X的方差及标准差；
X
0
10
20
50
60
P
1
3
2
5
X
15
_2_
15
X
15
(1) 设 Y=2X-E(X),求 D(F).
12121
［解］(1)E(X) = OX-+ 10X- + 20X —+ 50X —+ 60X —= 16,1?clc 2
D(X) = (0 - 16)设 K=2X+3,求 E(Y), D(Y).
解(1)均值 E(X) = (一 I)x| + Ox|+ ix|=
方差D(X) = (T +分'§ + ［° +分+ (1 +分x/ = *标准差时(X)=乎.
720
(2)顼7) = 2顼X) + 3=〒 D(Y) = 4D(X)=-^-.
题型二两点分布的方差
例2篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命 中的概率为0.7,求他一次罚球得分的方差.
［解］设一次罚球得分为X, X服从两点分布，即
X-+(10 - 16)2X-+(20 - 16)2X —+ (50 - 16)2X — + (60 -
16尸 X% =384.
.'.y［D(xj = 8y/6.
(2)\'Y=2X-E(X),・.・ D(Y) = D(2X - E(X)) = 4P(X) = 4X384= 1536.
i H II
求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数 学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX+b的方差可用D(oX + b) = a2D(X)求解.
［跟踪训练1］已知随机变量X的分布列如下表:
X
-1
0
1
P
1
1
1
2
3
6
(1) 求X的均值、方差和标准差；
X
0
1
P
0.3
0.7
・.・ D(X) =p(l—p) = 0.7 X 0.3 = 0.21.
金阀点｝睛】盘澄弩部浇寥绞.盘誓橙2薰
解决此类问题的第一步是判断随机变量x服从什么分布，第二步代入相应的
公式求解.若x服从两点分布，则D(X)=p(l-p).
［跟踪训练2］若随机变量X的分布列如下表所示:
X
0
1
P
0.4
0.6
则顼X)二—,D(X) =答案 0.6 0.24
解析 E(X) = 0X0.4+ 1XO.6 = O.6, D(X) = 0.6X(1 -0.6) = 0.6X0.4 = 0.24. 题型三方差的实际应用
例3有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示:
甲
分数X甲
80
90
100
概率
0.2
0.6
0.2

乙
分数X乙
80
90
100
概率
0.4
0.2
0.4
试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些.

［解］在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)二
80X0.2 + 90X0.6+ 100X0.2 = 90,E(X 乙)=80X0.4 + 90X0.2 + 100X0.4 = 90.
方差分别为D(X 甲)=(80 一 90)2 X 0.2 + (90 - 90)2 X 0.6+ (100- 90)2 X 0.2 = 40,
D(X 乙)=(80 一 90)2 X 0.4 + (90 - 90)2 X 0.2+ (100- 90)2 X 0.4 = 80. 由上面数据，可知顼X甲)= E(X乙)，D(X 甲)<D(X 乙).
这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲
同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好.
金阀点｝睛】盘澄弩部浇寥绞.盘誓橙2薰
离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映 了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此，在实际决策问 题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的 水平发挥相对稳定.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两 者都要分析.
［跟踪训练3］甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变
(2)计算X, K的期望与方差，并依此分析甲、乙的技术状况・
解(1)由离散型随机变量分布列的性质得。+ 0.1+0.6=1,解得1 = 0.3;同 If 0.3 +/? +0.3 = 1,角车得 8 = 0.4・
(2)E(X) =1X0.3 + 2X0.1+3X0.6 = 23;E(Y)= 1X0.3 + 2X0.4 4-3X0.3 = 2;
D(X) = (1-2.3)2 X 0.3 + (2 - 2.3)2 X0.1 +(3-2.3)2 X 0.6 = 0.81;D(y)= (1 — 2)2 X 0.3 + (2 — 2)2 X 0.4 + (3 - 2)2X 0.3 = 0.6.
由于E(X)>E(y),说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)>D(Y), 说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与 劣势.
达标
SUI TANG SHUI PING DA BIAO
1.已知随机变量X的分布列为设 Y=2X+3,则 D(y)= ()
X
0
1
2
P
1
3
1
3
1
3
A 8「5
A- 3B* 3C- 3D' 3
答案A解析 -/E(x)= ox|+ ix| + 2x| = 1, .\r)(X) = (0- l)2x|+(l - 1)2x|+(2
9 1 28
-l)2X- = -, .・.D(y)= Q(2X+3) = 4O(X)=§2.设 10 XI <X2<X3<X4 104 , X5 = io5.随机变量 Xl 取值尤1, X2, X3 , X4 , X5 的
XI +X2 X2 + X3 X3 +X4 X4 + X5 X5 + XI
概率均为0.2,随机变量X2取值二一，,二一的概率也 均为0.2.若记D(Xi), 0(X2)分别为Xi, X2的方差，贝IJ()D(Xi)>D(X2)
A. D(Xi) = D(X2)O(Xi)vO(X2)
B. 0(X1)与0(X2)的大小关系与XI, X2, X3, X4的取值有关答案A
解析 先求出两个随机变量的方差，再比较大小.由条件可得，随机变量X1,
X2 的平均数相同，记为[，则 D(X1) = 0.2 X [(XI - X )2 +(X2 - 5 )2 + ・・・ +(X5 - X )2],0(X2)= 0.2 X

0(X2)= 0.2 X
XI +X2
< 2
(X2+X3
X5 +X1
所以。(％)-

0(X2)=备[31 一 X2)2 +(X2 一 X3)2 + …+(X5 - xi)2]>0,即 D(X1)>D(X2).
2. 袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球， 若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则 X的方差为—.
答案V解析X的分布列为
X
1
3
5
P
1
3
\
2
1
6
111817贝I] E(X)= 1X-+3X~ + 5X^ = -, D(X) =

4 .随机变量X的分布列如下:
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中。，久。成等差数列.若E(X)=*则Q(X)的值是— 答案3
解析.•«, b, c成等差数列， /. 2b = a + c,又 o + Z? + c、=l, E(X) = (-l)Xa + OXb+lXc = c-a = ^,联立三式得。泰
b = y

b = y

5. A, B两个投资项目的利润率分别为随机变量Xi, X2.根据市场分析，Xi和X2的分布列分别如下表所示:
Xi
5%
10%
P
0.8
0.2

%2
2%
8%
12%
（1）在A, 3两个项目上各投资10。万元，H和岐分别表示投资项目A和8 所获得的利润（单位：万元），求方差Dm,必岐）；
P
0.2
0.5
0.3
（2）将x（0WxW 100）万元投资A项目，100-X万元投资3项目，尔）表示投资 A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求犬工）的最小值，并 指出X为何值时，./U）取到最小值.
解（1）由题设可知V1和岐的分布列分别为D(y1)=(5-6)2X0.8 + (10-6)2X0.2 = 4;

D(y1)=(5-6)2X0.8 + (10-6)2X0.2 = 4;

E(y2) = 2 X 0.2 + 8 X 0.5 + 12 X 0.3 = 8,D(丫2) = (2 - 8)2 X 0.2 + (8 — 8尸 X 0.5 + (12 - 8)2 X 0.3 = 12.
100
100 ?
4
2必卜2）=而了 ［子+

3(100- x)2]=总一 6° 皈 + 30000)=弟5〔4(工 一 75)2 + 7500].
故当“75时，必）取得最小值3.
课后课时,
精练
KE HOU KE SHI JING LIAN
A级：“四基”巩固训练一、选择题
I.已知X的分布列为
X
-1
0
1
p
1
3
1
3
1
3
I231则①Eg—②D0=云,③P(X=O)=亍
其中正确的个数为()
A. 0B. 1C, 2D. 3
答案B解析 e(x)=(-i)x|+ox|+ix|=o,故①不正确；z)(x)=(-i-o)2x|+
1121
(O_O)2X-+(l-O)2X- = -5故②不正确；③P(X=0)=3,显然正确・已知随机变量X的分布规律为P(X=k) = § 阵3,6,9,则D(X)等于()
A. 6B. 9C. 3D. 4
答案A
解析 E(X) = 3x|+6x| + 9x| = 6, D(X) = (3 - 6)2x|+ (6 - 6)2x| + (9 - 6)2X^ = 6.
2. £>(乂-。(&)的值为()A. 0B. 1
C. D(X)D. 2D(X)答案C
解析..•D(X)是一个常数，.-.D(X-D(X)) = D(X).
3. 若随机变量X的分布规律为P(X=m) = l，P(X『) = a,若E(X) = 2,则 的最小值等于()A. 0B. 2
c. 4D,无法计算答案A
3• f(X)max = 2*
p)+p2.p + (p- 1)2如-p2-p+ 1 = -(P + 2..•当 p = 0 时，D（X）max= l.
三、解答题A, B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，A, 8两台