7.3-7.3.2-离散型随机变量的方差.docx

离散型随机变量的方差话(教师独具内容)课程标准:通过具体实例，理解离散型随机变量的方差.教学重点:离散型随机变量的方差、标准差的计算.教学难点:用离散型随机变量的均值、方差解决实际问题.核I也概念掌握HE XIN GAI NIAN ZHANG WO -知识知识点一 方差、标准差的定义(1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示.XXIX2 XnPPiP2 Pn考虑X所有可能取值x,与顼X)的偏差的平方31-即0)2,(X2 - E(X)2,，3-顼X)2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量x取值与其均值顼X)的偏离程度.我们称D(X) =(XI n-E(X)2pi + (尤2 - E(X)2P2 + + 3 - E(X)2p =国歹 _ 顼为随机变量 Xz= 1的方差，有时也记为就gx),并称阻框囱为随机变量X的标准差，记为(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越匝集虫；方差或标准差越大，随机变量的取值越何分散.知识点二方差的结论D(aX+b) = oia2D(X).眠卸拓展I2m 7/7解析 由分布列中概率和为1,得。+ =1, a = y：E(X) = 2, /.y + y = 2,1221.m = 6 - 2n. /.D(X) = 3X(m 2尹 + X( 一 2尹=3X( 一 2尹 + 3X(6 2 一 2)2 =2/?2 - 8n + 8 = 2( - 2已. 二2 时，O(X)取最小值 0.5.(多选)随机变量X的分布列为其中沥尹0,下列说法正确的是()X012Pbba22a + b=I3b(X)=yc. D(x)随次的增大而减小D.。(力有最大值11-。一 2 +2 +a, Z?(Oa), A 正确；E(X) = OXa +答案ABDb 3b2X- = y, B 正确；D(X) = aX-最一部+奈，n(O,l),可得力潟时，D(X)取得最大值 D(x)随人的增大先增 大后减小，C错误，D正确.故选ABD.二、填空题6.已知离散型随机变量X的分布列如下表:X一 1012Pabc12若 E(X) = O, O(X)=1,则。=解析 VE(X) = O, D(X) = 1 ,由离散型随机变量X的分布列的性质知,计算得出7.两封信随机投入A, B,。三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X) =2X2 4QX2 4解析 X的所有可能取值为0,1,2, p（x=o）=厂=如P（X=1） = 3_ =寻+4- 9X22-3+4- 9X22-3+4- 9X2xdl72-3I4412(P(X=2)=,E(X) = QX-+IX- + 2X- = -,D(X) = QI V 99*设p为非负实数，随机变量X的分布列为解析E(X) = 0XOWpW；.X()12P12PP12则顼X）的最大值为, D（X）的最大值为d（x）=（p+i）2I解 E(Xi) = 0X0.7+1X0.2+ 2X 0.06 + 3X 0.04 = 0.44,E(X2) = 0X0.8+ 1X0.06 + 2X0.04 + 3X0.10 = 0.44,它们的均值相同，再比较它们的方差.0(X1) = (0 - 0.44)2 X 0.7 + (1 - 0.44)2X0.2 + (2 - 0.44)2X0.06 + (3 - 0.44)2X 0.04 = 0.6064,D(X2)= (0 - 0.44)2X0.8 +(i _ o.44)2X0.06 + (2 - 0.44)2X0.04 + (3 - 0.44)2X0.10 = 0.9264.因为 D(Xi)D(X2),所以两个保护区内每季度发生的违规事件平均次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散和波动.因此乙保护区的管理水平较高.1. 若x服从参数为p的两点分布，则D(X)=p(l-p).2. 求离散型随机变量X的均值、方差的步骤理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(1) 求X取每一个值的概率；写出随机变量X的分布列；(2) 由均值、方差的定义求E(X), D(X).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算顼&和 D(X).1评价自测判一判(正确的打“，错误的打“X”)(1) 离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.()若。是常数，则0(。) = 0.()(2) 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.()答案(1)X (2)V1. 做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率 =0.5,则顼X)和必X)分别(2)如果X是离散型随机变量，丫 =3X+2,那么D(y)=D(X).若 Z)(3X1)=18,则 D(X) =.答案(1)0.5 和 0.25 (2)9 (3)2形成HE XIN SU YANG XING CHENG题型一方差与标准差的计算 例1已知随机变量X的分布列为求X的方差及标准差；X010205060P1325X15_2_15X15(1) 设 Y=2X-E(X),求 D(F).12121解(1)E(X) = OX-+ 10X- + 20X + 50X + 60X = 16,1?clc 2D(X) = (0 - 16)设 K=2X+3,求 E(Y), D(Y).解(1)均值 E(X) = (一 I)x| + Ox|+ ix|=方差D(X) = (T +分 + +分+ (1 +分x/ = *标准差时(X)=乎.720(2)顼7) = 2顼X) + 3= D(Y) = 4D(X)=-.题型二两点分布的方差例2篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命 中的概率为0.7,求他一次罚球得分的方差.解设一次罚球得分为X, X服从两点分布，即X-+(10 - 16)2X-+(20 - 16)2X + (50 - 16)2X + (60 -16尸 X% =384.yD(xj = 8y/6.(2)Y=2X-E(X),. D(Y) = D(2X - E(X) = 4P(X) = 4X384= 1536.i H II求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数 学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX+b的方差可用D(oX + b) = a2D(X)求解.跟踪训练1已知随机变量X的分布列如下表:X-101P111236(1) 求X的均值、方差和标准差；X01P0.30.7. D(X) =p(lp) = 0.7 X 0.3 = 0.21.金阀点睛】盘澄弩部浇寥绞.盘誓橙2薰解决此类问题的第一步是判断随机变量x服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若x服从两点分布，则D(X)=p(l-p).跟踪训练2若随机变量X的分布列如下表所示:X01P0.40.6则顼X)二,D(X) =答案 0.6 0.24解析 E(X) = 0X0.4+ 1XO.6 = O.6, D(X) = 0.6X(1 -0.6) = 0.6X0.4 = 0.24. 题型三方差的实际应用例3有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示:甲分数X甲8090100概率0.20.60.2乙分数X乙8090100概率0.40.20.4试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些.解在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)二80X0.2 + 90X0.6+ 100X0.2 = 90,E(X 乙)=80X0.4 + 90X0.2 + 100X0.4 = 90.方差分别为D(X 甲)=(80 一 90)2 X 0.2 + (90 - 90)2 X 0.6+ (100- 90)2 X 0.2 = 40,D(X 乙)=(80 一 90)2 X 0.4 + (90 - 90)2 X 0.2+ (100- 90)2 X 0.4 = 80. 由上面数据，可知顼X甲)= E(X乙)，D(X 甲)E(y),说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)D(Y), 说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与 劣势.达标SUI TANG SHUI PING DA BIAO1.已知随机变量X的分布列为设 Y=2X+3,则 D(y)= ()X012P131313A 85A- 3B* 3C- 3D 3答案A解析 -/E(x)= ox|+ ix| + 2x| = 1, .r)(X) = (0- l)2x|+(l - 1)2x|+(29 1 28-l)2X- = -, .D(y)= Q(2X+3) = 4O(X)=2.设 10 XI X2X3D(X2)A. D(Xi) = D(X2)O(Xi)vO(X2)B. 0(X1)与0(X2)的大小关系与XI, X2, X3, X4的取值有关答案A解析 先求出两个随机变量的方差，再比较大小.由条件可得，随机变量X1,X2 的平均数相同，记为，则 D(X1) = 0.2 X (XI - X )2 +(X2 - 5 )2 + +(X5 - X )2,0(X2)= 0.2 X0(X2)= 0.2 XXI +X20,即 D(X1)D(X2).2. 袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球， 若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则 X的方差为.答案V解析X的分布列为X135P13216111817贝I E(X)= 1X-+3X + 5X = -, D(X) =4 .随机变量X的分布列如下:X-101Pabc其中。，久。成等差数列.若E(X)=*则Q(X)的值是 答案3解析., b, c成等差数列， /. 2b = a + c,又 o + Z? + c、=l, E(X) = (-l)Xa + OXb+lXc = c-a = ,联立三式得。泰b = yb = y5. A, B两个投资项目的利润率分别为随机变量Xi, X2.根据市场分析，Xi和X2的分布列分别如下表所示:Xi5%10%P0.80.2%22%8%12%（1）在A, 3两个项目上各投资10。万元，H和岐分别表示投资项目A和8 所获得的利润（单位：万元），求方差Dm,必岐）；P0.20.50.3（2）将x（0WxW 100）万元投资A项目，100-X万元投资3项目，尔）表示投资 A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求犬工）的最小值，并 指出X为何值时，./U）取到最小值.解（1）由题设可知V1和岐的分布列分别为D(y1)=(5-6)2X0.8 + (10-6)2X0.2 = 4;D(y1)=(5-6)2X0.8 + (10-6)2X0.2 = 4;E(y2) = 2 X 0.2 + 8 X 0.5 + 12 X 0.3 = 8,D(丫2) = (2 - 8)2 X 0.2 + (8 8尸 X 0.5 + (12 - 8)2 X 0.3 = 12.100100 ?42必卜2）=而了 子+3(100- x)2=总一 6 皈 + 30000)=弟54(工 一 75)2 + 7500.故当“75时，必）取得最小值3.课后课时,精练KE HOU KE SHI JING LIANA级：“四基”巩固训练一、选择题I.已知X的分布列为X-101p131313I231则EgD0=云,P(X=O)=亍其中正确的个数为()A. 0B. 1C, 2D. 3答案B解析 e(x)=(-i)x|+ox|+ix|=o,故不正确；z)(x)=(-i-o)2x|+1121(O_O)2X-+(l-O)2X- = -5故不正确；P(X=0)=3,显然正确已知随机变量X的分布规律为P(X=k) = 阵3,6,9,则D(X)等于()A. 6B. 9C. 3D. 4答案A解析 E(X) = 3x|+6x| + 9x| = 6, D(X) = (3 - 6)2x|+ (6 - 6)2x| + (9 - 6)2X = 6.2. (乂-。(&)的值为()A. 0B. 1C. D(X)D. 2D(X)答案C解析.D(X)是一个常数，.-.D(X-D(X) = D(X).3. 若随机变量X的分布规律为P(X=m) = l，P(X) = a,若E(X) = 2,则 的最小值等于()A. 0B. 2c. 4D,无法计算答案A3 f(X)max = 2*p)+p2.p + (p- 1)2如-p2-p+ 1 = -(P + 2.当 p = 0 时，D（X）max= l.三、解答题A, B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，A, 8两台