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图形的相似与位似
5．（2011浙江台州5，4分）若两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为 (▲)
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
【解题思路】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方；两个相似三角形的面积之比为所以相似比等于1：2，而相似三角形周长的比等于相似比，故选A，在选择时有可能没看清题意误选为B或D
【答案】A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，要求比的平方根，难度中等．
（2011海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB，于点D，则图中相似三角形共有（ ）
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC～△BCA～△CDA
【答案】C．
【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。难度中等。
1． （2011四川内江，11，3分）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．15 C．9 D．12
【思路分析】∠ADC= ∠ADE +∠EDC =∠B +∠BAD，∵∠ADE=∠B=60°，∴∠EDC =∠BAD．又∵∠C=∠B=60°，∴△ABD∽△DEC,∴EC:BD=DC:AB=1:3,∴AB=BC=3DC,∴BD=2DC，∴DC=2，∴BC=6，∴△ABC的面积是9．
【答案】C．
【点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过相似列比例式求解．
11．（2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD＝30°，AC⊥BC，AB＝8cm，则△COD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，∠DAB＝∠CBA，AD＝BC．∴△ABC≌△BAD．∴∠ABD＝∠BAC＝30°．∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∴∠ABC＝60°．∵AB＝8cm，∴BC＝AD＝4cm．在Rt△BOC中，∵BC2+AC2＝AB2，即42+AC2＝82，∴AC＝＝．∴S△ABC＝AC×BC＝××4＝．∵∠ABD＝∠BAC＝30°，∴OB＝OA．∵∠ABC＝60°，∠ABD＝30°，∴∠OBC＝30°．∴OB＝OA＝2OC．∴S△AOB∶S△OBC＝3∶1．∴S△AOB＝S△ABC＝(cm2)．∵DC∥AB，∴△COD∽△AOB．∴＝＝．∴S△COD＝S△AOB＝×＝(cm2)．
【答案】A
【点评】由梯形的上底和下底平行，得出三角形相似，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，所以求其中一个三角形的面积，可以求出与之相似的三角形的面积及两个三角形的相似比即可．
3. （山东省威，3,3分）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF:CF=( ).
A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5
【解题思路】利用△AEF与△CBF相似，将AF:CF转化成AE:BC的比值.
【答案】A.
【点评】本题考查到了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，求两线段的比值一般情况都利用相似来进行转化.难度较小.
A．
B．
D．
C．
题3图
3．（2011广东省，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（ A ）
郑颖杰
【解题思路】图形缩小，就是“大小变化而形状不变”，可判断选A符合要求.
【答案】A
【点评】本题考查图形的变换规律，解决关键要抓住图形是“大小变化而形状不变”这一本质，即图形相似. 难度较小.
3． （2011山东潍坊，3，3分）如图，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ）
A ．0 个 B．1个 C ． 2 个 D．3个
【解题思路】因为DE是三角形的中位线，所以DE=BC=1，DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以S△ADE：S△ABC===．
【答案】D．
【点拨】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定．三角形的中位线是指连接三角形任意两边中点的线段，它平行于第三边且等于第三边的一半．所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的面积比等于相似比的平方．难度中等．
15．（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是 （ ）
A. = B. = C. = D. =
【解题思路】因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADCB，DCAB. 证△EDF∽△EAB可得=；证△EDF∽△BCF可得=，；由△EDF∽△EAB可得，结合比例性质，有，从而=.
【答案】C
【点评】本题将相似三角形的判定与性质的考查置于平行四边形的背景之中，关注平行线与相似三角形的基本图形“A型”、“X型”在解题过程中带来的简捷，选项D中比例式的变形要求比较高. 难度中等.
11．（2011山东聊城 11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上。如果矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是（ ）．
A． B． C．或 D．或
【解题思路】矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，所以它们的相似比为。因点的坐标为，根据关于原点位似的坐标规律可知，的坐标是或，即为或
【答案】D
【点评】本题主要考查面积比与相似比的关系，以及关于原点位似的坐标规律，注意两种情况，不要漏解。
2． （ 2011四川内江，加2，6分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DF过EC的中点G，并与BC延长线交与点F，BE与DF交与点O.若△ADE的面积是S，则四边形BOGC的面积是 .
【思路分析】∵点D、E分别是AB、AC的中点，DE平行且等于，又∵△ADE的面积是S，∴△ABC的面积是4S，∴四边形DECB的面积是3S.∵点G是EC的中点，∴EG== ，∴△DEG的面积是△ADE的面积 的一半即S，同理△DEB的面积是S. 由DE∥CF，EG=GC，易知△DEG∽△GCF，∴DE=CF，又△DEO∽△BOF，∴EO：BO=DE：BF=1:3，∴△BDO的面积是△BDE的面积的即S，∴四边形BOGC的面积=3S-S-S=S.
【答案】S.
【点评】相似三角的面积比等于相似比的平方，等底（或等高）的两个三角的面积比等于高（或底）得比．切勿认为△BDO和△BDE、△DEG和△ADE相似，根据面积比等于相似比来寻找他们的面积关系，应根据面积公式来寻求面积关系．
16．（2011山东日照，16，5分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．
【解题思路】设BM=x，则CM=4-X,由△ABM∽△CMN得：即：,所以CN=，配方得：CN=，所以当x=2时，CN最大，四边形的面积也是最大。
【答案】2
【点评】本题考察了利用三角形的相似形建立函数关系式，继而求得二次函数解析式后，配方求函数最大值的方法。难度偏大。
16． （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF⊥CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________________．
【解题思路】因为正方形AENM的面积为AE2，矩形EFDB的面积为：BE·BD=BE·AB，又因为正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，所以AE2=BE·AB，即点E是线段AB的黄金分割点，所以AE=AB=．
【答案】．
【点拨】本题结合阴影部分的面积考查了黄金分割．若线段上的一个点把线段分为两部分，其中较长线段是较小线段和原线段的比例中项，我们称为这个点是线段的黄金分割点，黄金比为：≈0．618．难度中等．
21．（2011广东省，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)
题21图(1)
B
H
F
A（D）
G
C
E
C（E）
B
F
A（D）
题21图(2)
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.
【解题思路】第（1）小题可以利用角的关系来证明，也可以考虑先证明DE⊥BC,还可以考虑用三角形的中位线来证明．第（2）小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系来讨论．第（3）小题当“四边形MEND与△BDE的面积相等”相等时可带来≌,可以推证得到DE=BE,DM=BM.对于本题，还有很重要的一点那就是∽，它的三边之比是3:4:5.综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题.
【答案】（1）△HAB及△HGA
（2）由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0<x<)
（3）由角平分线性质易得·
∵
∴··即
∴EM是BD的垂直平分线．
∴∠EDB=∠DBE
∴∠EDB=∠CDE ∴∠DBE=∠CDE
又∵∠DCE=∠BCD
∴△CDE∽△CBD
∴①
∴即可
又∵ ∴
由①式得
∴ ∴
∴
【点评】本题是一个两点同时运动的动态图形变化问题，求三角形的面积，关键是求决定这个三角形面积的几个量。本题难点在第三问上，有利于培养学生的分类讨论思想，但难度较大，具有明显的区分度．
19、（2011年四川省南充市19题8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上。(1)求证：⊿ABF∽⊿DFE;
(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.
【解题思路】本题中由折叠易得角的关系，利用三角形的外角或内角和均可得出角相等的结论。由两对等角则可证明两三角形相似。由两三角形相似可进一步得出边的关系。再利用三角函数与直角三角形的边的关系求解。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴
∵△BCE沿BE折叠为△BFE
∴
∴
∴
△ABF∽△DFE
(2)解在Rt△DEF中，
∴设
∵△BCE沿BE折叠为△BFE
∴,
又由（1）△ABF∽△DFE
∴
∴
【点评】结合图形变换三角函数等知识考查相似图形的判定与性质。由图形折叠可得全等形，进而得到边角的相等关系。三角形相似的判定思路：条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两边的比相等；条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或找第三边的比等于前两组边的比。
（山东临沂 第25题 11分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.
（1）求证：EF=EG;
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
A
E
D
F
C
G(B)
图3
E(A)
G
B
C
F
D
图1
A
G
B
C
F
D
E
图2
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边始终经过点B，其他条件不变，若AB=a,BC=b,求的值.
A
G
B
C
F
D
E
图2
N
M
解题思路：（1）要证明EF=EG可以证它们所在△ABG与△ADF全等；（2）由（1）小题的启发，过点E分别作BC边和CD边的垂线段，构造全等三角形来证明EF=EG;也可以过点A分别作EF和EG的平行线，把（2）小题转化为（1）小题，由平行线得到成比例线段容易证得结论；（3）分别过点E分别作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N，构造相似三角形，根据对应边成比例，把转化为,再由平行线得到成比例线段，用a、b表示从而求解.
解答：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD,∠BAD=∠BAF+∠FAD=900,
∵∠BAF+∠GAB=900, ∴∠FAD=∠GAB,
∵∠D=∠ABG=900, ∴△ADF≌△ABG, ∴EF=EG.
（2）过点E分别作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N，
∵正方形ABCD，∴四边形EMCN是正方形，∴EM=EN.
∵∠GEM+∠MEF=900, ∠FEN+∠MEF=900, ∴∠GEM=∠FEN,
∵∠ENF=∠EMG=900, ∴△ENF≌△EMG, ∴EF=EG.
(3) 过点E分别作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N，
A
E
D
F
C
G(B)
图3
N
M
易证∠GEM=∠FEN, ∴△GEM∽△FEN,∴,
∵∠D=900, ∴EN∥AD, ∴,
同理：,∴,∴，
∴.
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形、相似三角形、平行线分线段成比例等知识，运用了数学的转化思想进行数学探究活动，难点是如何通过添作高线构造全等三角形和相似三角形.本题的难度较大.
25．（2011四川绵阳25，14）(本题满分14分）
已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1．
(1)若BD是AC的中线，如图2，求的值；
(2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值；
(3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由．
【解题思路】(1)设AD＝x，得出AB＝2x，由勾股定理得出BD的长；然后根据△ABD∽△ECD，得出比例式，求出CE，然后计算出的值．(2)由角平分线性质定理，得出DC与AD的关系，再由勾股定理表示出BD的长；然后根据△ABD∽△ECD，得出比例式，求出CE，然后计算出的值．(3)当点D与点A重合时，＝1，而点D从A向点C移动时，的值逐渐增大，则≥1；再设CD＝xAD，分别表示AB，BD，CE，由得出关于x的一元二次方程，解方程求出x，从而求出D的位置．
【答案】(1)∵△ABC是等腰直角三角形，BD是AC的中线，∴AC＝AB＝2AD．设AD＝CD＝x，则AB＝2x．根据勾股定理，可得BD＝x．∵CE⊥BE，∴∠E＝∠A＝90°，又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△ECD．∴，即．可得CE＝x，∴＝．
（2）方法一：∵BD是角平分线，∴，即DC＝AD．设AD＝x，则DC＝x，AB＝x+x．由勾股定理可知BD＝．同理△ABD∽△ECD，∴，即，∴EC＝．∴＝＝2．
方法二：延长BA交CE的延长线于F，∵BD是角平分线，BD⊥CE，∴△BFE≌△BCE．∴EF＝CE，CF＝2CE．∵∠BAD＝∠CED＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF．又∵AB＝AC，∴Rt△ABD≌Rt△ACF．∴BD＝CF．∴BD＝2CE，即＝2．
(3)由前面两步的结论可以看出，，所以这样的点是存在的．
设CD＝xAD，则AB＝(x+1)AD，由勾股定理，得BD＝AD．当时，CE＝BD＝AD．∵，即．整理，得x2－2x－6＝0，解得x1＝1+，x2＝1－(舍去)．即当CD＝(1+)AD时，．所以当＞1+时，．
【点评】①有两个角对应相等的三角形相似；②找出未知线段与同一条线段的关系，并用字母进行表示，求出未知线段的比值．
B
C
A
O
图10
(2011河北省，20，8分)如图10，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A´B´C´，使△A´B´C´和△ABC位似，且位似比为1∶2；
（2）连接（1）中的AA´，求四边形AA´C´C的周长.（结果保留根号）
【分析与解】（1）作位似图形关键是利用图形位似的特征，关键要抓住位似中心及位似比，注意对应点不要弄错；（2）求值要借助正方形网格的特征，利用勾股定理即可确定.
（1）如图1.
B
C
A
O
A´
C´
B´
（2）AA´＝C´C＝2，在Rt△OA´C中，OA´＝OC´＝2，得A´C´＝2；于是AC＝4，
∴四边形AA´C´C的周长＝4＋6
【点评】本题属于简单中等题，网格具有可操作性和直观性等特点，以网格为背景考查网格作图及计算，将网格的性质体现的淋漓尽致，简而不俗．
22、(2011杭州，22，10分)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=900，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA、OB的中点分别为点E、F.
(1)求证：△FOE≌△DOC；
(2)求sin∠OEF的值；
(3)若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，求的值。
【解题思路】（1）求证两三角形全等考虑两三角形全等的判定；（2）求一个锐角的三角函数值应考虑将这个角放入一个直角三角形中或将此角转化到直角三角形中；（3）利用三角形的相似得出对应边的比
【答案】解：（1）是的中位线，
而
（2）
（3）
，
同理
【点评】本题主要考查了两三角形全等的判定、一个锐角的三角函数值、两三角形相似的性质、比例的计算。是代数与几何的综合性考查，有一定的思维含量，在考查基本知识的同时也考查了学生的逻辑思维能力。难度中等
12
用心 爱心 专心
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