2021高考数学(福建-理)一轮学案68-离散型随机变量的均值与方差.docx

学案68　离散型随机变量的均值与方差

导学目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简洁离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

自主梳理
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为

X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝____________________________________为随机变量X的均值或___________，它反映了离散型随机变量取值的____________．
(2)方差
称D(X)＝__________________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的______________，其________________________为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝____________.
(2)D(aX＋b)＝____________.(a，b为实数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X听从两点分布，则E(X)＝____，D(X)＝_____________________________.
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝______，D(X)＝____________.
自我检测
1．若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于(　　)
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x

A. B. C. D.
2．(2011·菏泽调研)已知随机变量X听从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
4．(2011·浙江)某毕业生参与人才聘请会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
5．(2011·杭州月考)随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.

探究点一　离散型随机变量的期望与方差
例1　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．

变式迁移1　编号1,2,3的三位同学任凭入座编号为1,2,3的三个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的同学的个数是X.
(1)求随机变量X的分布列；
(2)求随机变量X的数学期望和方差．

探究点二　二项分布的期望与方差
例2　(2011·黄山模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观看疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观看3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．

变式迁移2　某同学在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．

探究点三　离散型随机变量期望与方差的应用
例3　购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－.
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．

变式迁移3　因冰雪灾难，某柑桔基地果林严峻受损，为此有关专家提出两种挽救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，估量第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；其次年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，估量第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；其次年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与其次年相互独立，令ξi(i＝1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
(1)写出ξ1、ξ2的分布列；
(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
(3)不管哪种方案，假照实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，估量利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？

1．若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)．
2．若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．
3．求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是听从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　)
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5 B．6 C．7 D．8
2．设ξ～B(n，p)，若有E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，则n、p的值分别为(　　)
A．18， B．16， C．20， D．15，
3．随机变量X的分布列为
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
则E(5X＋4)等于(　　)
A．15 B．11 C．2.2 D．2.3
4．设掷1枚骰子的点数为ξ，则(　　)
A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝
C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝
5．(2011·成都调研)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ为“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：

x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝____________.
7．(2011·泰安模拟)设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.
8．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·江西)某饮料公司聘请了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别．公司预备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别力气．
(1)求X的分布列；
(2)求此员工月工资的期望．

10．(12分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋竞赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5，0.5.假设各盘竞赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

11．(14分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<p<1)．设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，对乙项目投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．
(1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E(ξ1)、E(ξ2)；
(2)当E(ξ1)<E(ξ2)时，求p的取值范围．

学案68　离散型随机变量的均值与方差
自主梳理
1．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　数学期望　平均水平　(2) (xi－E(X))2pi　平均偏离程度　算术平方根　2.(1)aE(X)＋b　(2)a2D(X)
3．(1)p　p(1－p)　(2)np　np(1－p)
自我检测
1．C　2.B　3.B
4.
解析　由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝.
随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
5.
课堂活动区
例1　解题导引　要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见大事概率的计算方法．第(2)小题留意性质E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)的应用．
解　(1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P

∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(ξ)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或
变式迁移1　解　(1)P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；P(X＝3)＝＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
3
P

(2)E(X)＝0×＋1×＋3×＝1.
D(X)＝(1－0)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1.
例2　解题导引　(1)精确     理解大事“甲类组”的含义，把“甲类组”这一简洁大事用几个互斥的基本大事的和来表示；
(2)第(2)小题首先推断随机变量ξ听从二项分布，再求其分布列和均值．
解　(1)设Ai表示大事“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2，
Bi表示大事“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.
依题意有
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝.
P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.
所求的概率为
P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)
＝×＋×＋×＝.
(2)ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B.
P(ξ＝0)＝3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝3＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
变式迁移2　解　(1)设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为大事A.由于大事A等价于大事“这名同学在第一和其次个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以大事A的概率为
P(A)＝××＝.
(2)由题意可得，ξ的可能取值为0,2,4,6,8(单位：min)．大事“ξ＝2k”等价于大事“该同学在上学路上遇到k次红灯”(k＝0,1,2,3,4)，所以P(ξ＝2k)＝Ck4－k (k＝0,1,2,3,4)．
即ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P

所以ξ的期望是
E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
例3　解题导引　各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，投保人中出险人数ξ～B(104，p)，进而利用二项分布的有关性质求解．
解　各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．
(1)记A表示大事：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当ξ＝0，
P(A)＝1－P()＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，
又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.
(2)该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10 000ξ＋50 000.
盈利η＝10 000a－(10 000ξ＋50 000)，
盈利的期望为E(η)＝10 000a－10 000E(ξ)－50 000，
由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10 000×10－3，
E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104
＝104a－104×104×10－3－5×104.
E(η)≥0⇔104a－104×10－5×104≥0
⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元．
变式迁移3　解　(1)ξ1的全部取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，
ξ2的全部取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.
ξ1、ξ2的分布列分别为：
ξ1
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15

ξ2
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
(2)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一大事，
P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，
P(B)＝0.24＋0.08＝0.32.
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．
(3)令η表示方案i的估量利润，则
η1
10
15
20
P
0.35
0.35
0.3

η2
10
15
20
P
0.5
0.18
0.32
所以E(η1)＝14.75，E(η2)＝14.1，
可见，方案一的估量利润更大．
课后练习区
1．C　[由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，
∴b＝0.4.
∴E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.
∴a＝7.]
2．A　[E(ξ)＝np＝12，D(ξ)＝np(1－p)＝4.
∴1－p＝＝，∴p＝，∴n＝18.]
3．A　[∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，
∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.]
4．B　[E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，
D(ξ)＝[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2]＝.]
5．A　[对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2CCC＝126条，ξ的可取值有0、1、2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.]
6．2
解析　设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则
E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
7.
解析　离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝ak＋b (k＝1,2,3,4)，所以
(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，
又X的均值E(X)＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，∴a＝，b＝0，
∴a＋b＝.
8.
解析　由题意知X～B，∴E(X)＝2×＝.
9．解　(1)X的全部可能取值为0,1,2,3,4.(2分)
P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)．(4分)
即
X
0
1
2
3
4
P

(6分)
(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的全部可能取值为2 100，2 800,3 500.(8分)
则P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝，
P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝.
E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280.(10分)
所以此员工月工资的期望为2 280元．(12分)
10．解　(1)设甲胜A的大事为D，乙胜B的大事为E，丙胜C的大事为F，则，，分别表示甲不胜A，乙不胜B，丙不胜C的大事．
由于P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立大事的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，
P()＝0.5.(2分)
红队至少两人获胜的大事有：DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个大事两两互斥且各盘竞赛的结果相互独立，(4分)
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(6分)
(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.(8分)
又由(1)知F，E，D是两两互斥大事，且各盘竞赛的结果相互独立，(9分)
因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D )
＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5
＝0.35，
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立大事的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.(11分)
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.(12分)
11．解　(1)ξ1的概率分布为
ξ1
1.2
1.18
1.17
P

E(ξ1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
(3分)
由题设得ξ～B(2，p)，即ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
P
(1－p)2
2p(1－p)
p2
(5分)
故ξ2的概率分布为
ξ2
1.3
1.25
0.2
P
(1－p)2
2p(1－p)
p2
所以ξ2的数学期望是E(ξ2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(8分)
(2)由E(ξ1)<E(ξ2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，
解得－0.4<p<0.3.由于0<p<1，所以，
当E(ξ1)<E(ξ2)时，p的取值范围是0<p<0.3.(14分)