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2022高考数学一轮复习 第十二章 概率 12.5 离散型随机变量的均值与方差学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第十二章 概率 12.5 离散型随机变量的均值与方差学案北师大版

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12.5　离散型随机变量的均值与方差
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.
(1)均值:称EX=　　　　　　　　　　　　　　为随机变量X的均值或数学期望. 
(2)方差:称DX=∑i=1n(xi-EX)2pi为随机变量X的方差,其算术平方根DX为随机变量X的　　　　. 
(3)期望的含义:①期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均;②EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X是可变的,可取不同值,而EX是不变的,它描述X取值的平均状态;③EX=x1p1+x2p2+…+xnpn直接给出了EX的求法,即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.
(4)方差的含义:①随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动.集中与离散的程度DX越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散.反之,DX越小,X的取值越集中在EX附近.②方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=　　　　　　; 
(2)E(ξ+η)=Eξ+Eη;
(3)D(aX+b)=　　　　　　. 
3.两点分布与二项分布的均值与方差
(1)若X服从两点分布,则EX=　　　　　　,DX=　　　　　. 
(2)若X~B(n,p),则EX=　　　,DX=　　　　. 

1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=EX1·EX2.
2.均值与方差的关系:DX=EX2-E2X.
3.Ek=k,Dk=0,其中k为常数.
4.E(X1+X2)=EX1+EX2.
5.若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为EX=μ,DX=σ2.
6.若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则E(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=A2DX.
7.超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX=nMN.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.(　　)
(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.(　　)
(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.(　　)
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.(　　)
(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.(　　)
2.已知某8个数的期望为5,方差为3,现又加入一个新数据5,此时这9个数的期望记为EX,方差记为DX,则(　　)

A.EX=5,DX>3 B.EX=5,DX<3
C.EX<5,DX>3 D.EX<5,DX<3
3.已知随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列选项正确的是(　　)
A.EX=72,DX=132 B.EX=2,DX=4
C.EX=2,DX=8 D.EX=74,DX=8
4.设0<a<1,随机变量X的分布列是:

X
0
a
1
P
13
13
13

则当a在(0,1)内增大时(　　)
A.DX增大 B.DX减小
C.DX先增大后减小 D.DX先减小后增大
5.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
求离散型随机变量的均值与方差

【例1】从某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:

(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;
(3)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在[40,60)记0分,在[60,80)记1分,在[80,100]记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分,求ξ的分布列和数学期望.

解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)由均值的定义求EX.
(5)由方差的定义求DX.
2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为EX,则对应随机变量aX+b的均值是aEX+b,方差为a2DX.
对点训练1某

班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均数(精确到0.1).
(2)若从第一、五组中随机取出三名学生成绩,设取自第一组的个数为ξ,求ξ的分布列,期望及方差.

考点
二项分布的均值与方差

【例2】(2020甘肃天水一中高三月考)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙答对每个试题的概率均为34,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.
(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;
(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y的分布列及数学期望和方差.

解题心得(1)求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式EX=np,DX=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aEξ+b以及Eξ=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b).
对点训练2

某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况,对其每天的用水量做了记录,得到了大量该企业的日用水量的统计数据,从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:吨).若用水量不低于95吨,则称这一天的用水量超标.
(1)从这12天的数据中随机抽取3个,求至多有1天的用水量超标的概率;
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,估计该企业未来3天中用水量超标的天数,记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数,求X的分布列、数学期望和方差.

考点
均值与方差在决策中的应用

【例3】(2020江苏启东中学高三月考)冠状病毒是一个大型病毒家族,已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据,首先取病人的唾液或咽拭子的样本,再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质,如果有病毒,样本检测会呈现阳性,否则为阴性.根据统计发现,疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(0<p<1),现有4例疑似病例,分别对其取样、检测,多个样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验,混合样本中只要有病毒,则混合样本化验结果就会呈阳性,若混合样本呈阳性,则将该组中各个样本再逐个化验;若混合样本呈阴性,则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案:
方案一:逐个化验;
方案二:四个样本混在一起化验;
方案三:平均分成两组化验.
在新冠肺炎爆发初期,由于检查能力不足,化检次数的期望值越小,则方案越“优”.
(1)若p=14,求2个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率;
(2)若p=14,现将该4例疑似病例样本进行化验,请问:方案一、二、三中哪个最“优”?
(3)若对4例疑似病例样本进行化验,且“方案二”比“方案一”更“优”,求p的取值范围.

解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.
对点训练3(2020四川三台高三一模)2020年春节期间,某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.
方案一:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得60元的返金券,若抽到白球,则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.
方案二:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得80元的返金券,若抽到白球,则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.
(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得180元返金券的概率;
(2)若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;
②为了吸引顾客消费,让顾客获得更多金额的返金券,该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动?

一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N+,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.X的均值为EX=nMN,X的方差为DX=nM(N-M)(N-n)N2(N-1).
【典例】已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则取出的3件产品中次品数的均值是　　　,方差是　　　. 
答案0.3　0.264 5
解析(方法1)用随机变量ξ表示取出的3件产品中的次品数,
则ξ的所有可能取值是0,1,2,3,且有P(ξ=0)=C100C903C1003≈0.7265,P(ξ=1)=C101C902C1003≈0.2477,
P(ξ=2)=C102C901C1003≈0.0250,P(ξ=3)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=2)≈0.0008,
所以ξ的分布列为

ξ
0
1
2
3
P
0.7265
0.2477
0.0250
0.0008

从而Eξ=0×0.7265+1×0.2477+2×0.0250+3×0.0008=0.3001≈0.3,
Dξ≈(0-0.3)2×0.7265+(1-0.3)2×0.2477+(2-0.3)2×0.0250+(3-0.3)2×0.0008≈0.2645.
(方法2)这是超几何分布问题,其中N=100,M=10,n=3,
故Eξ=nMN=3×10100=310=0.3,
Dξ=nM(N-M)(N-n)N2(N-1)=3×10×(100-10)×(100-3)1002×(100-1)=2911100≈0.2645.
解题心得求超几何分布的均值时,直接应用公式EX=nMN比较简单,而方差公式不太容易记忆,一般是根据超几何分布的概率公式求出分布列,代入离散型随机变量的方差公式计算.
对点训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.
(1)求ξ的分布列;
(2)求ξ的均值与方差;
(3)求ξ≤1的概率.

12.5　离散型随机变量的均值与方差
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
(2)标准差
2.(1)aEX+b　(3)a2DX
3.(1)p　p(1-p)　(2)np　np(1-p)
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
2.B　根据题意可知,EX=5×8+59=5,DX=3×8+(5-5)29=83<3.故选B.
3.B　E(2X+3)=2EX+3=7;D(2X+3)=4DX=16.故EX=2,DX=4.故选B.
4.D　根据题意可得EX=0+a+13=a+13,DX=0-a+132·13+a-a+132·13+1-a+132·13=6A2-6a+627=6a-122+9227,所以DX在a∈0,12上单调递减,在a∈12,1上单调递增,
所以DX是先减小后增大,故选D.
5.1.96　有放回地抽取,是一个二项分布模型,其中p=0.02,n=100,则DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
关键能力·学案突破
例1解(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,

有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.
(2)平均分为