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2022届高考数学一轮复习 第十章 10.9 离散型随机变量的均值与方差学案

2022届高考数学一轮复习 第十章 10.9 离散型随机变量的均值与方差学案

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第九节　离散型随机变量的均值与方差

【知识重温】
一、必记6个知识点
1．离散型随机变量X的分布列

X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
2.离散型随机变量X的均值与方差

均值(数学期望)
方差
计算
公式
E(X)＝①____________________________________
D(X)＝②____________________________
作用
反映了离散型随机变量取值的③________________
刻画了随机变量X与其均值E(X)的④________
标准
差
方差的算术平方根为随机变量X的标准差

3.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝⑤____________________(a，b为常数)．
(2)D(aX＋b)＝⑥____________________(a，b为常数)．
4．两点分布的均值与方差
若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝⑦________.
5．二项分布的均值与方差
若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝⑧________，D(X)＝⑨________.
6．两个常用结论
(1)均值与方差的关系
D(X)＝E(X2)－E2(X)．
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
二、必明2个易误点
1．两点分布，二项分布，超几何分布的均值与方差的计算公式容易记混淆，准确记忆公式是解题的必要条件．
2．在实际问题中注意深刻理解题意，准确判断实际问题是何种类型的分布是解题的关键．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)数学期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　)
(2)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量．(　　)
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　)
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．(　　)
二、教材改编

2．已知随机变量ξ的分布列是

ξ
1
2
3
P
0.4
0.2
0.4
则D(ξ)＝(　　)
A．0.6　　　　B．0.8　　　　C．1　　　　D．1.2
3．已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝，ξ的分布列如下，则a＝________.

ξ
0
1
2
3
P
a

b

三、易错易混
4．已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1,22)，则E(Y)＝________，D(Y)＝________.
5．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是(　　)
A．7.8 B．8 C．16 D．15.6

四、走进高考
6．[2017·全国卷Ⅱ]一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.

考点一　离散型随机变量的均值[互动讲练型]
[例1]　[2021·湖南邵阳联考]为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：

到班级宣传
整理、打包衣物
总计
20人
30人
50人
(1)如果用分层抽样的方法从这50名志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率．
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．

悟·技法
求离散型随机变量均值的方法步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求E(ξ).

[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·郑州高三测试]2016年河南多地遭遇“跨年霾”，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生在家躲霾．郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》(郑政办明电[2016]421号)，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日零时启动Ⅰ级响应，明确要求“幼儿园、中小学校等教育机构停课，停课不停学”．学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的．某调查机构为了了解学生和家长对这项举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：

年龄/岁
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；

(2)若从年龄在[25,35)，[65,75]两组的采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选取的4人中不赞成这项举措的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

考点二　二项分布有关的均值与方差
[例2]　[2021·北京石景山区检测]一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次6点获得15分，出现三次6点获得120分，没有出现6点则扣除12分(即获得－12分)．
(1)设每盘游戏中出现6点的次数为X，求X的分布列．
(2)玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率．
(3)玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．

悟·技法
解决二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤
第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布．
第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少．
第三步，根据二项分布的分布列P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列.

[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·宝鸡质检]现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．
(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；
(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．

考点三　均值与方差的实际应用
[例3]　[2021·惠州第一次调研]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7 000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；
方案二：交纳延保金10 000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．
某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：

维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
(1)求X的分布列；
(2)以所需延保金与维修费用的和的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

悟·技法
利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X的期望的意义在于描述随机变量的平均水平，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关．
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量X1，X2的期望，当E(X1)＝E(X2)时，不应误认为它们一样好，需要用D(X1)，D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度，稳定者就更好．
(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近．
(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差确定哪一个更好．若E(X1)与E(X2)比较接近，且期望较大者(此时期望表示较好的方面，如利润、产量)的方差较小，显然该变量更好；若E(X1)与E(X2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定的.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2021·武昌区高三年级调研考试]某健身馆在2019年7,8两个月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7,8两个月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7,8两个月100名客户的消费金额(单位：元)，分组如下：[0,200)，[200,400)，[400,600)，…，[1 000，1 200]，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)请用抽样的数据预估2020年7,8两个月健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

(2)若把2019年7,8两个月健身消费金额不低于800元的客户称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？

健身达人
非健身达人
总计
男
10

女

30

总计

(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1 000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种促销方案．
附：

P(K2≥k)
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
K2＝.

第九节　离散型随机变量的均值与方差
【知识重温】
①x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
②(xi－E(X))2pi　③平均水平
④平均偏离程度　⑤aE(X)＋b　⑥a2D(X)
⑦p(1－p)　⑧np　⑨np(1－p)
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：E(ξ)＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，D(ξ)＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(3－2)2×0.4＝0.8.
答案：B
3．解析：E(ξ)＝0×a＋1×＋2×＋3×b＝，解得b＝.又a＋＋＋b＝1，∴a＝.
答案：
4．解析：由X～N(1,22)得E(X)＝1，D(X)＝4，又X＋2Y＝4，所以Y＝2－.所以E(Y)＝2－E(X)＝，D(Y)＝D(X)＝1.
答案：　1
5．解析：X的取值为6,9,12，相应的概率
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，
P(X＝12)＝＝.
E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
答案：A
6．解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
答案：1.96
课堂考点突破
考点一
例1　解析：(1)用分层抽样的方法，抽样比是＝，
所以5人中参与班级宣传的志愿者有20×＝2(人)，
参与整理、打包衣服的志愿者有30×＝3(人)，
故所求概率P＝1－＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为

X
0
1
2
P

所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
变式练
1．解析：(1)补全的频率分布直方图如图所示．

(2)由题意知，X所有可能的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝·＝＝，
P(X＝1)＝·＋·＝＝，
P(X＝2)＝·＋·＝＝，
P(X＝3)＝·＝＝，
则随机变量X的分布列为

X
0
1
2
4
P

所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.
考点二
例2　解析：(1)依题意，抛掷三次骰子出现“6点”的次数X的所有可能取值为0,1,2,3.每次抛掷骰子，出现“6点”的概率p＝.
P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列为

X
0
1
2
3
P

(2)设“第i盘游戏获得15分”为事件Ai(i＝1,2)，
则P(A1)＝P(A2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝.
所以“两盘游戏中至少有一盘获得15分”的概率为1－P()·P()＝.
因此，玩两盘游戏，至少有一盘获得15分的概率为.
(3)设每盘游戏得分为Y，则Y的所有可能取值为－12,15,120.
由(1)知，Y的分布列为

X
－12
15
120
P

Y的数学期望E(Y)＝－12×＋15×＋120×＝－.
这表明，得分Y的数学期望为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
变式练
2．解析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为，去参加乙项目联欢的概率为.设“这4个人中恰好有i人去参加甲项目联欢”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci·4－i.
(1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)＝C22＝.
(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝.
∴这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，
P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝，
∴ξ的分布列为

ξ
0
2
4
P

E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.
考点三
例3　解析：(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝××2＝，
P(X＝2)＝×＋××2＝，
P(X＝3)＝××2＋××2＝，
P(X＝4)＝×＋××2＝，
P(X＝5)＝××2＝，
P(X＝6)＝×＝，
∴X的分布列为

X
0
1
2
3
4
5
6
P

(2)选择延保方案一，所需延保金与维修费用的和Y1(单位：元)的分布列为

Y1
7 000
9 000
11 000
13 000
15 000
P

E(Y1)＝×7 000＋×9 000＋×11 000＋×13 000＋×15 000＝10 720(元)．
选择延保方案二，所需延保金与维修费用的和Y2(单位：元)的分布列为

Y2
10 000
11 000
12 000
P

E(Y2)＝×10 000＋×11 000＋×12 000＝10 420(元)．
∵E(Y1)>E(Y2)，∴该医院选择延保方案二更合算．
变式练
3．解析：(1)因为2019年7,8两个月这100名客户消费金额的平均值为(100×0.000 50＋300×0.000 75＋500×0.001 00＋700×0.001 25＋900×0.001 00＋1 100×0.000 50)×200＝620(元)．
所以预估2020年7,8两个月健身客户人均消费金额为620元．
(2)列联表如下：

健身达人
非健身达人
总计
男
10
40
50
女
20
30
50
总计
30
70
100
因为K2＝≈4.762>3.841，所以有95%的把握认为“健身达人”与性别有关．
(3)若选择方案一，则需付款900元；
若选择方案二，设需付款X元，则X的可能取值为700,800,900,1 000，
P(X＝700)＝C()3＝，P(X＝800)＝C()3＝，P(X＝900)＝C()3＝，P(X＝1 000)＝C()3＝，所以E(X)＝700×＋800×＋900×＋1 000×＝850(元)．
因为850<900，所以选择方案二更划算．