第一章集合与简易逻辑综合能力测试.doc

第一章　集合与简易逻辑综合能力测试迹象界

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|mx＝1}，若Q⊆P，则实数m的数值为 (　　)
A．1　　　 B．－1　 　 C．1或－1　　 D．0,1或－1
答案：D
解析：当m＝0时，Q＝∅⊆P；
当m≠0时，由Q⊆P知，x＝＝1或x＝＝－1，得m＝1或m＝－1.
2．已知U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则 (　　)
A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝U
C．(∁UN)∪M＝U D．(∁UM)∩N＝N
答案：B
解析：由题意得M∩N＝{4,5}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，(∁UN)∪M＝{3,4,5,7}≠U，(∁UM)∩N＝{2,6}≠N，综上所述，选B.
3．(2009·江西)已知空集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为 (　　)
A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n
答案：D
解析：依题意，结合韦恩图分析可知，集合A∩B的元素个数是m－n，选D.
4．(2009·北京)设集合A＝{x|－＜x＜2}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝ (　　)
A．{x|－1≤x＜2} B．{x|－＜x≤1}
C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}
答案：A
解析：B＝{x|－1≤x≤1}，A∪B＝{x|－1≤x＜2}．
5．如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的是 (　　)
①命题“p且q”是真命题
②命题“p且q”是假命题
③命题“p或q”是真命题
④命题“p或q”是假命题
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
答案：C
解析：∵“非p或非q”是假命题，
∴非p和非q都是假命题，
∴p和q都是真命题，
故“p且q”和“p或q”都是真命题．
6．设全集为U，若命题p：2008∈A∪B，则命题┐p是 (　　)
A．2008∈A∪B
B．2008∉A或2008∉B
C．2008∈(∁UA)∩(∁UB)
D．2008∈(∁UA)∪(∁UB)
答案：C
解析：命题p即“2008∈A或2008∈B”，┐p为“2008∉A且2008∉B”．故选C.
总结评述：集合与简易逻辑属简单题，概念清楚则得分不难．
7．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么命题丁是命题甲的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案：B
解析：“甲是乙的充分不必要条件”⇔“甲⇒乙且乙甲”；“丙是乙的必要不充分条件”⇔“乙⇒丙且丙乙”；“丁是丙的充要条件”⇔“丙⇒丁且丁⇒丙”，由已知可得“甲⇒乙⇒丙⇒丁”，即“甲⇒丁”，若丁⇒甲，则由已知得“丙⇒丁⇒甲⇒乙”即“丙⇒乙”这与已知矛盾，所以“丁甲”，因此丁是甲的必要不充分条件，故选B.
总结评述：①用“⇒”表示命题间关系显得清晰直观．②“丁甲”必须明确，否则结论不准确．
8．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 (　　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
答案：C
解析：该命题的否定为其否定形式，而不是否命题，故选C.
9．命题：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是 (　　)
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
答案：D
解析：“且”的否定为“或”，因此逆否命题为若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0.
10．(2009·衡阳第一次联考)在△ABC中，“sin2A＝sin2B”是“A＝B”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由sin2A＝sin2B，得：A＝B或A＋B＝，∴sin2A＝sin2BA＝B，而A＝B⇒sin2A＝sin2B.
11．(2009·湖北，5分)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝ (　　)
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
答案：A
解析：由已知可求得P＝{(1，m)}，Q＝{(1－n,1＋n)}，再由交集的含义，有
⇒，所以选A.
12．(2010·河南省焦作市期中试题)设集合A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x2}，则A×B等于 (　　)
A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)
C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)
答案：A
解析：A＝{x|y＝}＝{x|0≤x≤2}
B＝{y|y＝2x2}＝{y|y≥0}
∴A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]
因此A×B＝(2，＋∞)，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上．)
13．设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有________个元素．
答案：6
解析：由(x－1)2＜3x＋7可得－1＜x＜6，即得A＝(－1,6)．
∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，即得集合A∩Z中共有6个元素．
14．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为______________．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
解析：写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．
15．若命题p：不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p且q”“p或q”及“非p”形式的复合命题中的真命题是__________．
答案：非p
解析：命题p为假命题，命题q为假命题，故只有“非p”是真命题．
16．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若┐p是┐q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是__________．
答案：[0，]
解析：解|4x－3|≤1得≤x≤1.解q得a≤x≤a＋1.由题设条件得q是p的必要不充分条件，即p⇒q，qp.
∴[，1][a，a＋1]．
∴a≤且a＋1≥1，得0≤a≤.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．)
17．(本小题满分10分)设集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求a、b、c的值．
分析：由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．
解答：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A且－3∈B，
将－3代入方程：x2＋ax－12＝0中，得a＝－1，
从而A＝{－3,4}．
将－3代入方程x2＋bx＋c＝0，得3b－c＝9.
∵A∪B＝{－3,4}，∴A∪B＝A，∴B⊆A.
∵A≠B，∴BA，∴B＝{－3}．
∴方程x2＋bx＋c＝0的判别式△＝b2－4c＝0，
∴
由①得c＝3b－9，代入②整理得：(b－6)2＝0，
∴b＝6，c＝9.
故a＝－1，b＝6，c＝9.
18．(2009·山东济南高三12月月考)(本小题满分12分)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1＞0的解集为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求m的取值范围．
解析：p为真命题⇔⇒m＞2.
q为真命题⇔△＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0⇒1＜m＜3.
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，则m＞2，且m≤1或m≥3，所以m≥3.
若p假q真，则m≤2，且1＜m＜3，所以1＜m≤2.
综上所述，m的取值范围为{m|1＜m≤2，或m≥3}．
19．(本小题满分12分)设全集I＝R，A＝{x|x2－2x＞0，x∈R}，B＝{x|x2－ax＋b＜0，x∈R}，C＝{x|x3＋x2＋x＝0，x∈R}．又∁R(A∪B)＝C，A∩B＝{x|2＜x＜4，x∈R}，试求a、b的值．
解析：∵A＝{x|x＜0或x＞2}，B＝{x|x2－ax＋b＜0，x∈R}＝{x|x1＜x＜x2，x1、x2∈R}，C＝{x|x＝0}，∁R(A∪B)＝C＝{0}，
∴A∪B＝{x|x≠0且x∈R}．
又A∩B＝{x|2＜x＜4，x∈R}，可得x1＝0，x2＝4.
又x1、x2是方程x2－ax＋b＝0的两根，
∴x1＋x2＝a，x1x2＝b.
从而求得a＝4，b＝0.
20．(本小题满分12分)求关于x的方程ax2－(a2＋a＋1)x＋a＋1＝0至少有一个正根的充要条件．
解析：方法一：若a＝0，则方程变为－x＋1＝0，x＝1满足条件，若a≠0，则方程至少有一个正根等价于
＜0或
或
⇔－1＜a＜0或a＞0.
综上：方程至少有一正根的充要条件是a＞－1.
方法二：若a＝0，则方程即为－x＋1＝0，
∴x＝1满足条件；
若a≠0，∵△＝(a2＋a＋1)2－4a(a＋1)
＝(a2＋a)2＋2(a2＋a)＋1－4a(a＋1)
＝(a2＋a)2－2a(a＋1)＋1＝(a2＋a－1)2≥0，
∴方程一定有两个实根．
故而当方程没有正根时，应有
，解得a≤－1，
∴至少有一正根时应满足a＞－1且a≠0，
综上，方程有一正根的充要条件是a＞－1.
21．(本小题满分12分)已知条件p：|5x－1|＞a和条件q：＞0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题；“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．
解析：已知条件p即5x－1＜－a或5x－1＞a，
∴x＜或x＞，
已知条件q即2x2－3x＋1＞0，
∴x＜或x＞1；
令a＝4，则p即x＜－或x＞1，此时必有p⇒q成立，反之不然．
故可以选取的一个实数是a＝4，A为p，B为q，对应的命题是若p则q，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．
(注：本题为一开放性命题，答案不唯一，只需满足≤，且≥1即可．)
22．(2011·高考原创题)(本小题满分12分)已知函数f(x)满足下列条件：(1)f()＝1；(2)f(xy)＝f(x)＋f(y)；(3)f(x)的值域为[－1,1]．试证：不在f(x)的定义域内．
命题意图：本题主要考查利用函数的性质求值和反证法．
解析：假设在f(x)的定义域内．
则f()有意义，且f()∈[－1,1]．
又由题设，得f()＝f(·)＝f()＋f()＝2∉[－1,1]与f()∈[－1,1]矛盾．
故假设不成立，从而不在f(x)的定义域内．
总结评述：1.用反证法证明命题的一般步骤为：
(1)假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
(3)由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
2．常用的正面叙述词语和它的否定词语：
正面
词语
等于
大于(＞)
小于(＜)
是
都是
任意的
否定
词语
不等于
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
某个

正面
词语
所有的
任意两个
至多有
一个
至少
有一个
至多有
n个
否定
词语
某些
某两个
至少有
两个
一个也
没有
至少有
n＋1个