资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图是二次函数的图象，使成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
3．已知点P（a，b）是平面直角坐标系中第四象限的点，则化简+|b-a|的结果是（ ）
A． B．a C． D．
4．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则k的值为（ ）
A．－2 B．12 C．6 D．－6
5．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14 B．12 C．9 D．7
6．在Rt△ABC中，∠C=90°．若AC=2BC，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，矩形的对角线交于点，已知，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定
10．已知二次函数y = ax2+ 2ax + 3a2+ 3（其中x是自变量），当x ³ 2时，y随x的增大而增大，且-3 £ x £ 0时，y的最大值为9，则a的值为（ ）．
A．1或 B．或 C． D．1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算： = _________ ．
12．如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_______．
13．如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠为，点落在边上，若，，则________．
14．已知一个不透明的盒子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外均相同，现从盒中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是________ ．
15．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
16．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．
17．不透明布袋里有5个红球，4个白球，往布袋里再放入x个红球，y个白球，若从布袋里摸出白球的概率为，则y与x之间的关系式是_____．
18．某市某楼盘的价格是每平方米6500元，由于市场萎靡，开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元. 设平均每次下调的百分率为，则可列方程为____________________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中．共调查了______名中学生家长；
（2）将图形①、②补充完整；
（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=1．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=﹣3时，求方程的根．
21．（6分）定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y），所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集．如：x+y＞3是二元一次不等式，（1，4）是该不等式的解．有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合．
（1）已知A（，1），B （1，﹣1），C （2，﹣1），D（﹣1，﹣1）四个点，请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是x﹣y﹣2≤0的解的点是 ．
（2）设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G．
①求G的面积；
②P（x，y）为G内（含边界）的一点，求3x+2y的取值范围；
（3）设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线y＝x2+2mx+3m2﹣m﹣1与图形M有交点时m的取值范围．
22．（8分）如图，一艘渔船位于小岛Ｍ的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）：
（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：）
23．（8分）已知，，，（如图），点，分别为射线上的动点（点C、E都不与点B重合），连接AC、AE使得，射线交射线于点，设，.
（1）如图1，当时，求AF的长.
（2）当点在点的右侧时，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域.
（3）连接交于点，若是等腰三角形，直接写出的值.
24．（8分）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．
（1）分别求出线段AP、CB的长；
（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果tan∠E=，求DE的长．
25．（10分）如图，在中，，点为上一点且与不重合．，交于．
（1）求证：；
（2）设，求关于的函数表达式；
（3）当时，直接写出_________．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】先找出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象即可解决问题．
【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-3，0）和（1，0），
∴时，x的取值范围为．
故选：A．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会数形结合,根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
2、B
【解析】试题分析：由OC与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，由OA与OD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB=2AD即可求出AB的长．∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD=0.5AB，在Rt△AOD中，OA=5，OD=3，根据勾股定理得：AD=4则AB=2AD=1．故选B．
考点：垂径定理
点评：此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键
3、A
【解析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，求解即可．
【详解】∵点P(a,b)是平面直角坐标系中第四象限的点，
∴a>0，b<0，
∴b−a<0，
∴+|b-a|=−b−(b−a)=−b−b+a=−2b+a=a−2b，
故选A.
【点睛】
本题考查点的坐标， 二次根式的性质与化简，解题的关键是根据象限特征判断正负.
4、D
【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
【详解】∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（-2，3），
∴k=-2×3=-1．
故选：D．
【点睛】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
5、D
【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．
【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故选D.
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型．
6、C
【分析】设BC=x，可得AC=2x，Rt△ABC中利用勾股定理算出AB=x，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA的值．
【详解】解：由AC=2BC，设BC=x，则AC=2x，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，得AB=.
因此，sinA=．
故选：C.
【点睛】
本题已知直角三角形的两条直角边的关系，求角A的正弦之值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．
7、B
【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°
∴AO=CO=BO=DO,
∴∠OCD=∠ODC=β,
A、,故A选项正确；
B、在Rt△ADC中，cos∠ACD= , ∴cosβ=,∴AO=，故B选项错误；
C、在Rt△BCD中，tan∠BDC= , ∴ tanβ=∴BC=atanβ，故C选项正确；
D、在Rt△BCD中，cos∠BDC= , ∴ cosβ=∴，故D选项正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.
8、C
【分析】因为OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理可得OP、DQ、PQ的长度，又因为CPDQ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证CPE∽DQE，可得，设PE=x，则EQ=14-x，解得x的取值，OE= OP-PE，则OE的长度可得．
【详解】解：∵在⊙O中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CPAB，QDAB，
∴OCP和ODQ为直角三角形，
根据勾股定理：，，且OQ=6，
∴PQ=OP+OQ=14，
又∵CPAB，QDAB，垂直于用一直线的两直线相互平行，
∴CPDQ，且C、D连线交AB于点E，
∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，
∴CPE∽DQE，故，
设PE=x，则EQ=14-x，
∴，解得x=6，
∴OE=OP-PE=8-6=2，
故选：C．
【点睛】
本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE与DQE相似，并得出线段的比例关系．
9、C
【解析】试题解析：∵一个三角形的两个内角分别是
∴第三个内角为
又∵另一个三角形的两个内角分别是
∴这两个三角形有两个内角相等，
∴这两个三角形相似.
故选C.
点睛：两组角对应相等，两三角形相似.
10、D
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-3 £ x £ 0时时，y的最大值为9，可得x=-3时，y=9，即可求出a．
【详解】∵二次函数y = ax2+ 2ax + 3a2+ 3 (其中x是自变量)，
∴对称轴是直线，
∵当x⩾2时，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∵-3 £ x £ 0时，y的最大值为9，
又∵a>0，对称轴是直线，
，
∴在x=-3时，y的最大值为9，
∴x=-3时, ，
∴，
∴a=1,或a=−2(不合题意舍去).
故选D.
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握二次函数的基本性质即可解答.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、7
【分析】本题先化简绝对值、算术平方根以及零次幂，最后再进行加减运算即可．
【详解】解：
=6-3+1+3
=7
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
12、8
【分析】过点B'作B'E⊥AC于点E，由题意可证△ABC≌△B'AE，可得AC=B'E=4，即可求△AB'C的面积．
【详解】解：如图：过点B'作B'E⊥AC于点E
∵旋转 ∴AB=AB'，∠BAB'=90°
∴∠BAC+∠B'AC=90°，且∠B'AC+∠AB'E=90°
∴∠BAC=∠AB'E，且∠AEB'=∠ACB=90°，AB=AB'
∴△ABC≌△B'AE（AAS）
∴AC=B'E=4
∴S△AB'C=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质解决问题是本题的关键．
13、5
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折叠的性质可求BF=BC=10，EF=CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，
∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，
在Rt△ABF中，AF==6
∴DF=AD-AF=4
在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2=CE2，
∴16+（8-CE）2=CE2，
∴CE=5
故答案为：5
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
14、
【分析】先求出这个口袋里一共有球的个数，然后用红球的个数除以球的总个数即可．
【详解】因为共有5个球，其中红球由3个，
所以从中任意摸出一个球是红球的概率是，
故答案为．
【点睛】
本题考查了概率公式，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
15、k≤5且k≠1．
【解析】试题解析：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，
∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，
解得：k≤5且k≠1.
考点：根的判别式．
16、
【分析】根据题意画出草图，可得OG=2，，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.
【详解】
解：如图，连接、，作于；
则，
∵六边形正六边形，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.
17、x﹣2y＝1．
【分析】根据从布袋里摸出白球的概率为，列出＝，整理即可得．
【详解】根据题意得＝，
整理，得：x﹣2y＝1，
故答案为：x﹣2y＝1．
【点睛】
本题考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键．
18、
【分析】根据连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元，可得出一元二次方程.
【详解】根据题意可得，楼盘原价为每平方米6500元，每次下调的百分率为，经过两次下调即为，最终价格为每平方米5265元.
故得：
【点睛】
本题主要考察了一元二次方程的应用，熟练掌握解平均变化率的相关方程题时解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）200；（2）详见解析；（3）48000
【分析】（1）用无所谓的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
（2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数；
（3）用家长总数乘以持反对态度的百分比即可．
【详解】解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200人；
故答案为：200.
（2）持赞成态度的学生家长有200-50-120=30人，
B所占的百分比为：；
C所占的百分比为：；
故统计图为：
（3）持反对态度的家长有：80000×60%=48000人．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出有关信息．
20、（1）原方程无实数根.
（2）x1=1，x2=﹣3.
【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号即可判断：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根.
（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.
【详解】解：（1）∵当m=3时，△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜1，
∴原方程无实数根.
（2）当m=﹣3时，原方程变为x2+2x﹣3=1，
∵（x﹣1）（x+3）=1，∴x﹣1=1，x+3=1.
∴x1=1，x2=﹣3.
21、（2）：A、B、D;（2）①2;②﹣22≤2x+2y≤2;（2）0≤m≤．
【分析】（2）在直角坐标系描出A、B、C、D四点，观察图形即可得出结论
（2）①分别画出直线y=2x+2、y=-x-2、y=-2得出图形为G，从而求出G的面积；
②根据P（x，y）为G内（含边界）的一点，求出x、y的范围，从而2x+2y的取值范围；
（2）分别画出直线y=2x+2、y=2x-2、y=-2x-2、y=-2x+2所围成的图形M，再根据抛物线的对称轴x＝﹣m，和抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m﹣2与图形M有交点，从而求出m的取值范围
【详解】解：（2）如图所示：
这四个点中是x﹣y﹣2≤0的解的点是A、B、D．
故答案为：A、B、D；
（2）①如图所示：
不等式组在坐标系内形成的图形为G，
所以G的面积为：×2×2＝2．
②根据图象得：
﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤﹣2，
∴﹣6≤2x≤2，﹣6≤2y≤﹣2，
∴﹣22≤2x+2y≤2．
答：2x+2y的取值范围为﹣22≤2x+2y≤2．
（2）
如图所示为
不等式组的解集围成的图形，设为M，
抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m﹣2与图形M有交点时m的取值范围：
∵抛物线的对称轴x＝﹣m，
﹣m≥﹣，或﹣m≤，
∴m或m≥﹣．
又﹣2≤2m2﹣m﹣2≤2，
∴0≤m≤，
综上：m的取值范围是0≤m≤
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到了一次函数与方程、一次函数与不等式、二次函数与不等式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键
22、（1）90海里；（2）1．4小时．
【分析】(1)过点M作MD⊥AB于点D，根据AM=180海里以及△AMD的三角函数求出MD的长度；(2)根据三角函数求出MB的长度，然后计算.
【详解】解： (1)过点M作MD⊥AB于点D，
∵∠AME=45°，
∴∠AMD=∠MAD=45°，
∵AM=180海里，
∴MD=AM•cos45°=90（海里），
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90海里；
(2)在Rt△DMB中，
∵∠BMF=60°，
∴∠DMB=30°，
∵MD=90海里，
∴MB=60海里，
∴60÷20≈1.4（小时），
答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为1.4小时．
考点：三角函数的实际应用
23、（1）；（2）；（3）或或.
【分析】过点作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的长，利用勾股定理即可求出AN的长，根据线段的和差关系可得CN的长，利用勾股定理可求出AC的长，根据AD//BC，AD=BC即可证明四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，进而可证明△ABC∽△ADF，根据相似三角形的性质即可求出AF的长；（2）根据平行线的性质可得，根据等量代换可得，进而可证明△ABC∽△ABE，根据相似三角形的性质可得，可用x表示出BE、CE的长，根据平行线分线段成比例定理可用x表示出的值，根据可得y与x的关系式，根据x>0，CE>0即可确定x的取值范围；（3）分PA=PD、AP=AD和AD=PD三种情况，根据BE=及线段的和差关系，分别利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.
【详解】（1）如图，过点作于N，
∵AB=5，，
∴在中，=5×=3，
∴AN===4，
∵BC=x=4，
∴CN=BC-BN=4-3=1，
在中，，
∵AD=4，BC=x=4，
∴AD=BC，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴△ABC∽△ADF，
∴，
∴
解得：，
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△ABE，
∴，
∴，
∵AD//BC，
∴，
∴，
∵x>0，CE=>0，
∴0<x<5，
∴，
（3）①如图，当PA=PD时，作AH⊥BM于H，PG⊥AD于G，延长GP交BM于N，
∵PA=PD，AD=4，
∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE，
∵AD//BE，
∴GN⊥BE，∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠AEB，
∴PB=PE，
∴BN=EN=BE=，
∵，AB=5，
∴BH=AB·cos∠ABH=3，
∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，
∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，
∴四边形AHNG是矩形，
∴HN=AG=2，
∴BN=BH+HN=3+2=5，
∴=5，
解得：x=.
②如图，当AP=AD=4时，作AH⊥BM于H，
∴∠ADB=∠APD，
∵AD//BM，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠DBC=∠BPE，
∴BE=PE=，
∵cos∠ABC=，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∴在Rt△AEH中，(4+)2=42+(3-)2，
解得：x=，
③如图，当AD=PD=4时，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，
∴∠DAP=∠DPA，
∵AD//BM，
∴∠DAP=∠AEB，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠BPE=∠AEB，
∴BP=BE=，
∵cos∠ABC=，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，
∴四边形AHND是矩形，
∴DN=AH=4，HN=AD=4，
中Rt△BND中，(4+)2=42+(4+3)2，
解得：x=，
综上所述：x的值为或或.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合，熟练掌握锐角三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想是解题关键.
24、（1）CB=2，AP =2；（2）证明见解析；（3）DE=．
【分析】（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=AB=2；
（2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=BC=1，再计算出，根据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=，然后根据平行线分线段成比例定理得，再利用比例性质可计算出DE=．
【详解】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，
∴BC==2，
∵直径FG⊥AB，
∴AP=BP=AB=2；
（2）∵AP=BP，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP=BC=1，
∴，
而，
∴，
∵∠EOC=∠AOP，
∴△EOC∽△AOP，
∴∠OCE=∠OPA=90°，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵BC∥EP，
∴∠DCB=∠E，
∴tan∠DCB=tan∠E=
在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，
∴BD=3，
∴CD==，
∵BC∥EP，
∴，即，
∴DE=．
25、（1）详见解析；（2）；（3）1
【分析】（1）先根据题意得出∠B＝∠C，再根据等量代换得出∠ADB＝∠DEC即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出，将相应值代入化简即可得出答案；
（3）根据相似三角形的性质得出，再根据已知即可证明AE=EC从而得出答案．
【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB＋∠CDE＝∠CDE＋∠DEC＝135°
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝x，AE＝y，
则DC＝，
代入上式得：
，
∴，
即
（3）,
在中，
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解题的关键．
26、（1）抛物线的解析式为；（2）①P点坐标为P1（）或P2（）或P2（）；②D（）．
【分析】（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可．
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，从而得出最值即可．
【详解】解：（1）解方程x2﹣2x﹣2=0，得 x1=2，x2=﹣1．
∵m＜n，
∴m=﹣1，n=2．
∴A（﹣1，﹣1），B（2，﹣2）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴，解得：．
∴直线AB的解析式为．
∴C点坐标为（0，）．
∵直线OB过点O（0，0），B（2，﹣2），
∴直线OB的解析式为y=﹣x．
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，﹣x）．
（i）当OC=OP时，，
解得（舍去）．
∴P1（）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P2（）．
（iii）当OC=PC时，由，
解得（舍去）．
∴P2（）．
综上所述，P点坐标为P1（）或P2（）或P2（）．
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，﹣x），D（x，）．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH
=DQ（OG+GH）
=
=．
∵0＜x＜2，
∴当时，S取得最大值为，此时D（）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
