考虑关节间隙的柔性机械臂动力学模型及特性分析.pdf

第5 7卷 第8期2 0 2 3年8月西 安 交 通 大 学 学 报J OUR NA LO FX IANJ I AO T ON GUN I V E R S I T YV o l.5 7 N o.8A u g.2 0 2 3.*考虑关节间隙的柔性机械臂动力学模型及特性分析徐向阳1,广永川1,杨宝军2,梁栋1,陈仁祥1(1.重庆交通大学机电与车辆工程学院,4 0 0 0 7 4,重庆;2.重庆华数机器人有限公司,4 0 0 7 1 4,重庆)摘要:为探究关节间隙对柔性机械臂动力学特性的影响,以柔性机械臂为研究对象建立了考虑关节间隙和臂杆柔性的耦合动力学模型并进行动态特性分析。首先,采用接触力碰撞模型和摩擦力改进计算模型,对关节间隙进行表征;其次,采用假设模态法,构建考虑平面转动关节间隙的柔性机械臂动力学分析模型,并基于拉格朗日法推导了其耦合动力学方程;最后,分析了间隙值和弹性模量参数对柔性机械臂系统动力学特性的影响。仿真实验结果表明:接触碰撞力随着关节间隙值的增大而增大,同时导致碰撞频率降低,使得机械臂末端平动加速度增大,运动波动频率降低;当间隙值为0.1mm时,接触碰撞力提高为无间隙下的1 7.7 6倍;柔性臂杆可以减缓关节内部碰撞,降低碰撞力幅值达8 0%以上,但弹性模量减小会加剧机械臂末端加速度幅值。该分析结果可为机器人系统可靠性和稳定性的研究提供参考。关键词:柔性机械臂;关节间隙;耦合动力学;接触碰撞中图分类号:TH 1 1 3 文献标志码:AD O I:1 0.7 6 5 2/x j t u x b 2 0 2 3 0 8 0 1 4 文章编号:0 2 5 3-9 8 7 X(2 0 2 3)0 8-0 1 3 8-1 0D y n a m i cM o d e l a n dC h a r a c t e r i s t i cA n a l y s i so fF l e x i b l eM a n i p u l a t o rC o n s i d e r i n gJ o i n tC l e a r a n c eXUX i a n g y a n g1,GUANGY o n g c h u a n1,YANGB a o j u n2,L I ANGD o n g1,CHE NR e n x i a n g1(1.S c h o o l o fE l e c t r o m e c h a n i c a l a n dV e h i c l eE n g i n e e r i n g,C h o n g q i n gJ i a o T o n gU n i v e r s i t y,C h o n g q i n g4 0 0 0 7 4,C h i n a;2.C h o n g q i n gH u a s h uR o b o t i c sC o.,L t d.,C h o n g q i n g4 0 0 7 1 4,C h i n a)A b s t r a c t:T oe x p l o r e t h e i n f l u e n c eo f j o i n t c l e a r a n c eo n t h ed y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f f l e x i b l em a-n i p u l a t o r s,ac o u p l e dd y n a m i cm o d e l c o n s i d e r i n g j o i n t c l e a r a n c ea n da r mf l e x i b i l i t y i se s t a b l i s h e da n dt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa r ea n a l y z e d.F i r s t l y,ac o n t a c t f o r c ec o l l i s i o nm o d e la n da ni m-p r o v e df r i c t i o nc a l c u l a t i o nm o d e l a r eu s e d t oc h a r a c t e r i z e t h e j o i n t c l e a r a n c e.S e c o n d l y,ad y n a m i ca n a l y s i sm o d e l,w i t ht h ep l a n a r r o t a t i o n a l j o i n t c l e a r a n c ec o n s i d e r e d,f o r f l e x i b l em a n i p u l a t o r s i sc o n s t r u c t e db yu s i n g t h e a s s u m e dm o d em e t h o d,a n d t h e c o r r e s p o n d i n gc o u p l e dd y n a m i c e q u a t i o ni sd e r i v e db a s e do nt h eL a g r a n g em e t h o d.F i n a l l y,t h ei n f l u e n c eo fc l e a r a n c ev a l u ea n de l a s t i cm o d u l u sp a r a m e t e r so nt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ff l e x i b l em a n i p u l a t o rs y s t e m si sa n a l y z e d.T h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a t,a st h ej o i n tc l e a r a n c ev a l u ei n c r e a s e s,t h ec o n t a c tc o l l i s i o nf o r c e i n c r e a s e s,w h i l et h ec o l l i s i o nf r e q u e n c yd e c r e a s e s,w h i c hm a k e st h et r a n s l a t i o n a la c c e l e r a-*收稿日期:2 0 2 2-1 1-2 0。作者 简介:徐 向阳(1 9 8 1),男,教 授。基 金 项目:重 庆市 杰出 青年 科 学基 金资 助项 目(c s t c 2 0 2 1 j c y j-j q X 0 0 1 0);重庆市技术创新与应用发展专项资助项目(C S T B 2 0 2 2 T I A D-K P X 0 0 7 8);重庆市教委科学研究重点项目(K J Z D-K 2 0 2 0 0 0 7 0 3)。网络出版时间:2 0 2 3-0 4-1 4 网络出版地址:h t t p s:k n s.c n k i.n e t/k c m s/d e t a i l/6 1.1 0 6 9.T.2 0 2 3 0 4 1 3.1 7 5 9.0 0 2.h t m l 第8期徐向阳,等:考虑关节间隙的柔性机械臂动力学模型及特性分析 h t t p:z k x b.x j t u.e d u.c n t i o na t t h ee n do f t h em a n i p u l a t o r i n c r e a s ea n dt h em o t i o nf l u c t u a t i o nf r e q u e n c yd e c r e a s e.Wh e nt h ec l e a r a n c ev a l u e i s0.1mm,t h ec o n t a c t i m p a c t f o r c e i s i n c r e a s e dt o1 7.7 6t i m e st h a tw i t h o u tc l e a r a n c e.T h e f l e x i b l ea r mc a na l l e v i a t e t h e i n t e r n a l c o l l i s i o no f t h e j o i n t a n dd e c r e a s e t h ea m p l i-t u d eo f t h e c o l l i s i o n f o r c eb ym o r e t h a n8 0%,b u t t h e r e d u c t i o n i n t h e e l a s t i cm o d u l u s c a ne s c a l a t et h ea c c e l e r a t i o na m p l i t u d ea t t h ee n do f t h em a n i p u l a t o r.T h ea n a l y s i sr e s u l t sc a np r o v i d er e f e r-e n c e f o r t h er e s e a r c ho f r e l i a b i l i t ya n ds t a b i l i t yo f r o b o t s y s t e m s.K e y w o r d s:f l e x i b l em a n i f u l a t o r;j o i n t c l e a r a n c e;c o u p l i n gd y n a m i c s;c o u t a c t c o l l i s i o n 柔性机械臂具有重量轻、功重比大、耗能低等特点,在现代工业、航空航天、轨道交通等诸多领域有着重要应用1-2。机械臂关节一般分为移动关节和转动关节,转动关节包括带谐波减速器或R V减速器旋转结构、带轮减速旋转结构和带蜗轮蜗杆旋转结构等3种常见形式。受轴承游隙、制造装配误差及系统运动磨损等因素影响,关节内部会不可避免地产生间隙。耦合机械臂一旦发生柔性变形,系统内部极易产生碰撞和冲击,引起精度降低和疲劳失效等问题3。因此,研究考虑平面转动关节间隙的柔性机械臂动力学特性演化规律对于提高系统稳定性和使用寿命具有重要意义。目前,考虑间隙特征的机械系统动力学研究较多。F l o r e s等4-5对不同间隙类型和曲柄转速下的曲柄滑块机构开展实验,分析了其对机构动力学的影响。Y a q u b i等6以考虑间隙的曲柄滑块为对象,分析了其非线性特性,并提出了一种保持关节连续碰撞的控制方案。B a i等7以平面曲柄滑块为对象,将间隙视为力约束条件,研究了不同间隙类型对平面机械系统动力学响应的影响。为进一步研究多间隙对系统的影响,C h e n等8以多间隙关节机器人换挡操纵手为对象建立动力学模型,并对其进行了动力学特性分析。W a n g等9以一个典型刚性四杆机构为对象,分析研究了多间隙机构的动力学响应。王旭鹏等1 0-1 1建立了满足干摩擦和润滑状态的接触力模型,采用考虑间隙的曲柄滑块进行验证,并以此为基础分析了间隙个数和位置对系统动力学响应的影响规律。谷勇霞等1 2研究了间隙值和间隙关节数对漂浮空间机械臂动力学特性的影响。敬谦等1 3研究了圆柱副间隙下连杆机构的动力学响应。也有相关文献对考虑间隙的并联机构进行研究。V a r e d i-K o u l a e i等1 4以3 R R R平面并联机器人为研究对象,分析了间隙对系统动力学的影响,并给出多间隙下动态响应的数值结果。C h e n等1 5以考虑间隙的4-U P S-U P U机构为研究对象,分析了其动态响应和非线性特性。朱景原等1 6研究了关节间隙对3-C P A R R并联机构动力学特性的影响。然而,实际机器人系统应考虑柔性构件的影响。王见等1 7以单间隙曲柄连杆为对象,研究了其在柔性情况下的周期运动规律和动力学输出响应。孙东阳等1 8基于谐波齿轮柔性,建立了考虑间隙的动力学模型,并对曲柄滑块机构进行了特性分析。郑恩来等1 9考虑球面和转动副间隙同时存在情况下的柔性机构,研究了其动态特性。E r k a y a2 0以考虑柔性的间隙曲柄连杆为研究对象,分析了连杆柔性对机构动力学响应的影响。在降低间隙影响方面,迟华瑞2 1考虑了涂层情况并进行特性分析,V a r e d i等2 2为减轻间隙影响,对质量优化提出了新算法。上述研究主要基于刚性体、单间隙和单柔性构件模型,聚焦于碰撞力计算方法、间隙动力学模型以及系统动力学特性分析等领域,研究取得了一定成果,但同时将大臂小臂视为柔性构件,研究关节间隙和柔性机械臂耦合效应下系统动力学特性的文献依旧缺乏。本文以考虑平面转动关节间隙的柔性机械臂为研究对象,分析了关节间隙对大臂、小臂均为柔性的机械臂系统动态行为的影响规律。通过建立关节转动副径向间隙数学模型,利用假设模态法对柔性构件进行建模,并基于拉格朗日法建立了考虑关节间隙的机械臂柔性机构耦合动力学方程,研究了间隙值和弹性模量对柔性机械臂系统动力学的影响。研究结果对提高机器人系统可靠性和稳定性具有重要的参考价值。1 柔性机械臂转动关节间隙建模1.1 关节间隙分析机械臂转动关节中包含零件众多,它们均以旋转形式输出,通常采用不考虑内部构件的“轴-轴套”铰单元对其进行建模2 3-2 4。轴承作为铰单元的支撑零件,其内圈和外圈分别与轴和轴套紧密配合。理想情况下轴承无间隙,但在实际运动中,由于轴承游隙、不可避免的制造安装误差以及磨损等均会产生空间铰间隙。931西 安 交 通 大 学 学 报第5 7卷 h t t p:z k x b.x j t u.e d u.c n 在空间坐标X O Y中,轴承铰间隙可分解为3个移动分量xc、yc和zc以及绕单轴转动的3个转 动 分 量c2x(xc,xc)、c2y(yc,yc)和c2z(zc,zc),c为间隙,关节间隙矢量分解图如图1所示。图1 关节间隙矢量分解图F i g.1 T h ed e c o m p o s i t i o nd i a g r a mo f j o i n t c l e a r a n c ev e c t o r根据D-H参数法,移动分量c1可表示为c1=1 0 0 xc0 1 0 yc0 0 1 zc0 0 01 (1)利用偏航角理论将3个转动分量进行连乘积并整合,得到转动分量c2的表达式如下c2=1-zcyc0zc1-xc0ycxc100001 (2)使用过程中,转动关节轴向上用螺栓和螺母将电机、减速器等固紧后,一般不会产生轴向偏转,可认为关节内部轴与孔的轴线平行,仅考虑间隙的平面径向偏移,如下所示c 1=1 0 0 xc0 1 0 yc0 0 100 0 01 (3)因此,本文将轴承内圈和轴作为一体,外圈和轴套作为一体,以“轴-孔”形式进行建模。1.2 关节间隙表征模型建立关节“轴-孔”平面铰间隙矢量模型,如图2所示。下标a、b分别代表轴与轴承,其半径分别为Ra和Rb。在坐标系X O Y中,轴和轴承圆心分别为pa和pb,对应位置矢量为ra和rb,轴和轴承当前接触点Qa和Qb位置矢量为rQa和rQb,间隙c为轴承和轴半径之差,表示为c=Ra-Rb,构件之间偏心矩矢量e表示为e=ra-rb(4)图2 关节间隙模型示意图F i g.2S c h e m a t i cd i a g r a mo f j o i n t c l e a r a n c em o d e l 开始工作后,轴和轴承接触会产生变形,变形量用碰撞深度表示,其物理意义为偏心距值|e|与关节间隙值|c|之差,表示如下=|e|-|c|(5)通过的正负来判定轴和轴承之间是否发生接触碰撞。当0时,两者之间发生碰撞并产生弹性变形,图3为转动关节内部碰撞状态示意图。图3 转动关节内部碰撞状态示意图F i g.3 D i a g r a mo f r o t a t i n g j o i n t c o n t a c t s t a t e碰撞点Q处的间隙矢量Q可表示为Q=rQa-rQb(6)当轴和轴承发生碰撞,接触点Qa和Qb对应的位置矢量为rQa=ra+n RarQb=rb+n Rb(7)041 第8期徐向阳,等:考虑关节间隙的柔性机械臂动力学模型及特性分析 h t t p:z k x b.x j t u.e d u.c n 式中:接触点处单位法向量n可由式(4)推出,表示为n=e/e。将接触点位置矢量对时间求一阶导数,可得到速度矢量rQa和rQb。接着,利用接触点速度矢量对碰撞速度矢量Q进行法向和切向投影,得到相对法向速度和相对切向速度,如下所示VN=(rQa-rQb)TnVT=(rQa-rQb)Tt(8)式中单位向量n旋转9 0 即可得到切向向量t。当关节处发生接触碰撞时,根据相对法向速度VN可判定轴和轴承处于接触还是分离状态,根据相对切向速度VT可判定轴和轴承是否处于摩擦状态。1.3 接触碰撞力模型关节间隙的存在使得机构运动过程中会产生碰撞力。H e r t z接触模型是最典型的一种计算模型,但传统的H e r t z接触模型认为碰撞变形是纯弹性变形,碰撞过程不考虑能量耗散情况。本文采用L a n-k a r a n i-N i k r a v e s h(L-N)法建立法向接触碰撞力模型2 5,该模型既考虑了关节弹性碰撞,也考虑了碰撞过程中出现的能量耗散,更加符合真实情况。其中接触碰撞力的表达式可写为fN=K n1+3(1-c2e)40 (9)式中:为相对碰撞速度;0为初始碰撞速度;n为材料系数;ce为材料恢复系数;K为刚度系数,其表达式为K=43(a+b)RaRbRa+Rb(1 0)式中:a=(1-2a)/Ea;b=(1-2b)/Eb,其中a和b分别为轴和轴承的泊松比,Ea和Eb为两者对应的弹性模量。1.4 摩擦力模型库仑摩擦力模型目前应用较为广泛,其基本表述为:摩擦力方向与切向碰撞速度方向相反,大小和法向接触力成一定的比例关系2 6。关节处的轴和轴套在接触碰撞中会有相对运动趋势,当相对速度过小时可能会导致计算不收敛。因此,在传统摩擦模型基础上,本文提出了一种改进库仑模型,引入与速度VT有关的修正系数cd,将相对切向速度和碰撞力相结合,得到新的摩擦力模型表达如下FT=-fcdfNVTVT(1 1)式中:f为摩擦系数;cd为修正系数,综合表达式为cd=0,VtVm i nVt-Vm i nVm a x-Vm i n,Vm i nVtVm a x1,Vm a xVt(1 2)式中:Vt为t时刻的速度;Vm i n和Vm a x分别为给定速度的最小和最大临界值。结合式(9)(1 2),关节间隙接触碰撞力和摩擦力的耦合力可以表示为FQ=FN+FT(1 3)式中:FN为接触碰撞力矢量,可表示为FN=fNn。2 考虑关节间隙的柔性机械臂动力学建模 本文以双柔性臂杆机械臂为研究对象,该机构由柔性臂杆L 1和柔性臂杆L 2以及考虑间隙的转动关节组成,X O Y为固定坐标系,如图4所示。其中基座与柔性臂杆L 1之间的关节1为理想关节,柔性臂杆L 1和L 2之间的关节2为转动间隙关节,1和2为作用于对应柔性臂杆的驱动力矩。臂杆长度分别为l1和l2。1为柔性臂杆L 1在关节1处的转角,2为柔性臂杆L 2在关节2处的转角。图4 考虑关节间隙的柔性机械臂模型F i g.4F l e x i b l er o b o t a r m m o d e l c o n s i d e r i n g j o i n t c l e a r a n c e将机械臂等效成均质细长结构E u l e r-B e r n o u l l i梁,用以描述柔性机械臂的弹性变形。利用假设模态法,在某一时刻t,臂杆横向变形为w(x,t),轴向变形为v(x,t)。根据机械振动原理可以得出横向变形的表达式w(x,t)=ni=1i(x)qi(t)(1 4)式中:i为柔性臂第i阶振型函数;qi为振型函数对应的模态坐标。根据式(1 3)和(1 4),柔性臂杆L 1上任意点p1和柔性臂杆L 2上任意点p2的位置矢量可表示如下141西 安 交 通 大 学 学 报第5 7卷 h t t p:z k x b.x j t u.e d u.c n rp1=(x1+v1)c o s1-w1s i n1(x1+v1)s i n1+w1c o s1 rp2=l1c o s1+(x2+v2)c o s2-w2s i n2l1s i n1+(x2+v2)s i n2+w2c o s2 (1 5)考虑横向变形而忽略轴向拉伸变形,得到点p1和p2的速度矢量为rp1=-x11s i n1-w11c o s1-w1s i n1x11c o s1-w11s i n1+w1c o s1 rp2=-L11s i n1-x22s i n2-w22c o s2-w2s i n21c o s1+x22c o s2-w22s i n2+w2c o s2 (1 6)由此,可求得臂杆L 1和L 2动能为Ei=12li0ArTpirpidxi,i=1,2(1 7)式中:为柔性臂杆密度;A为柔性臂杆截面积。因此,整个机构的动能为E=E1+E2(1 8)臂杆L 1和L 2的应变势能由两柔性臂杆的弹性变形能构成,可写为Ui=12li0EiIiwit 2dxi,i=1,2(1 9)因此整个机构的应变势能为U=U1+U2(2 0)将动能和势能带入拉格朗日方程L,得到L=E-U(2 1)根据第二类拉格朗日方程,柔性臂动力学响应主要取决于前几阶振动模态2 7,故取柔性臂杆L 1的前3阶 模 态 坐 标1q1、1q2、1q3,L 2的 前3阶 模 态 坐标2q1、2q2、2q3和对应的两个转角1和2,得到系统广义坐标q=1,2,1q1,1q2,1q3,2q1,2q2,2q3 T。将其代入到式(2 1),得到动力学方程为ddtL1 -L1 =1ddtL2 -L2 =2ddtLjqi -Ljqi =0,i=1,2,3,j=1,2 (2 2)求解并进行简化整理,得到Mq+Cq+K q=Q(2 3)式中:M为广义质量矩阵;C为广义阻尼矩阵;K为广义刚度矩阵;Q为系统广义力;q和q分别为系统广义坐标q对时间的一阶和二阶导数。当在柔性机械臂模型中考虑关节间隙时,间隙处因接触产生碰撞力而使系统呈现非线性行为。关节处因接触碰撞而产生的法向接触力和切向摩擦力,不能简单地当作内力处理,即原有外力将不再仅仅是驱动力。将接触碰撞力FQ(q,t)作为耦合作用力,对柔性机械臂动力学模型开展研究。由1.1节可知,关节内部运动并非任意时刻均在发生冲击碰撞,而是需要判断关节内部是处于自由运动状态还是接触碰撞状态。引入阶跃函数()=0,01,0(2 4)由式(1 3)和(2 1),可得实际接触碰撞力为F=()FQ(2 5)最后,结合式(2 2)、(2 3)和(2 4),得到关节间隙与机械臂柔性耦合后的动力学方程为Mq+Cq+K q=Qc+F(2 6)式中:Qc为广义外力。3 考虑关节间隙的柔性机械臂动力学特性研究3.1 结构参数、仿真参数和求解方法进一步对系统进行动力学特性研究,考虑了关节间隙柔性机械臂的结构参数和动力学仿真参数,分别如表1和表2所示。表1 考虑关节间隙的柔性机械臂结构参数 T a b l e1S t r u c t u r a lp a r a m e t e r so f f l e x i b l er o b o t i ca r mc o n s i d e r i n g j o i n t c l e a r a n c e构件长度/m质量/k g臂杆L 115臂杆L 215表2 考虑关节间隙的柔性机械臂动力学仿真参数 T a b l e2S i m u l a t i o np a r a m e t e r so f f l e x i b l er o b o t i ca r md y n a m i c sc o n s i d e r i n g j o i n t c l e a r a n c e参数数值轴承半径/mm1 5弹性模量/G P a2 0 7材料系数1.5泊松比0.2 9恢复系数0.9摩擦系数0.1容差0.0 0 01241 第8期徐向阳,等:考虑关节间隙的柔性机械臂动力学模型及特性分析 h t t p:z k x b.x j t u.e d u.c n 采用R u n g e-K u t t a法,对考虑了关节运动副间隙和柔性机械臂的耦合动力学方程进行求解,求解过程如图5所示。图5 机械臂动力学方程求解流程图F i g.5 R e s o l v i n gf l o wc h a r t3.2 间隙值对机械臂末端动力学影响分析研究考虑关节处运动副间隙大小,分析了关节间隙对柔性机械臂动力学特性的影响。为保证分析过程的严谨性和准确性,采用控制变量法仅考虑臂杆L 1和L 2之间关节2位置处的间隙,关节1视为理想关节。选择无间隙、间隙为0.0 2、0.1和0.5mm等4种情况进行讨论。机械臂初始状态为1=/4和2=/2,轴承与轴套处于同一轴心。根据机械臂末端运 动 范 围,设 计 驱 动 力 矩1为3 s i n 2 t,2为2 s i n 2 t,仿真时间为1.6 s。图6图8分别给出了不同间隙下,关节2位置处的接触碰撞力、机械臂末端平动速度和平动加速度图。图6为不同间隙下关节2位置处的接触碰撞力对比图。由图可见,间隙为0.0 2mm时接触碰撞力的峰值为5 5 2.8 3N,间隙为0.1mm时碰撞力的峰值高达1 1 6 9.8 9N,增长至前者的2.1 1倍;间隙为0.5m m时接触碰撞力峰值高达5 4 0 7.7 7N,增长为0.0 2m m时的9.7 8倍以及0.1mm时的4.6 2倍。由此可见,随着关节运动副间隙增大,关节接触碰撞力峰值也逐渐增大。从机械臂运动轨迹可以看出,虽然间隙增大会使得接触碰撞力的幅值发生剧烈波动,但间隙越大波动频率反而逐渐降低,这是因为关节间隙增大会导致轴和轴承的接触碰撞频率变小。图6 不同间隙下关节2位置处的接触碰撞力对比F i g.6 C o m p a r i s o no f c o n t a c t i m p a c t f o r c e a t j o i n t 2u n-d e rd i f f e r e n t c l e a r a n c ev a l u e s不同间隙下机械臂末端平动速度的对比如图7所示,可见随着关节运动副间隙增大,机械臂末端平动速度并没有明显变化,特别是当间隙为0.0 2mm时,速度曲线和无间隙时的速度曲线差别很小,末端平动速度峰值和低谷的变化范围分别为4.8 85.2 1m/s和-1.7 2-0.9 9m/s。间隙大小会影响速度的变化频率,间隙增大,速度变化频率降低,这是因为间隙增大 会导致关节 内 部 接 触 碰 撞 次 数减少。图7 不同间隙下机械臂末端平动速度对比F i g.7 C o m p a r i s o no ft r a n s l a t i o n a ls p e e do fm a n i p u l a t o re n du n d e rd i f f e r e n t c l e a r a n c ev a l u e s图8给出了不同间隙下机械臂末端平动加速度的对比结果。可以看出,随着间隙增大,加速度波动频率逐渐降低,但峰值逐渐增大。无间隙、间隙为0.0 2、0.1和0.5mm时,对应的末端加速度峰值分别为3 8.2 4、5 3.2 7、1 1 0.3 7m/s2和6 8 0.1 2m/s2。当间隙为0.5mm时,末端加速度增大为无间隙时的1 7.7 6倍。末端速度和加速度波动最剧烈时,柔性机械臂正处于极限位置阶段。341西 安 交 通 大 学 学 报第5 7卷 h t t p:z k x b.x j t u.e d u.c n 图8 不同间隙下机械臂末端平动加速度对比F i g.8C o m p a r i s o no ft r a n s l a t i o n a la c c e l e r a t i o no fm a n i p u-l a t o re n du n d e rd i f f e r e n t c l e a r a n c ev a l u e s综上所述,关节运动副间隙的存在会导致柔性机械臂的关节内部接触碰撞力、末端平动速度和平动加速度发生变化,且间隙增大到一定程度会直接影响机械臂的工作性能。3.3 臂杆柔性对柔性机械臂动力学影响分析研究刚性和柔性情况下,关节2位置处的接触碰撞力如图9所示。考虑关节间隙作用时,柔性和刚性情况下的接触碰撞力图均出现毛刺现象。刚性情况下碰撞力峰值为25 4 5.7 6N,柔性情况下碰撞力峰值为4 1 1.8 3N,下降幅度达8 3.8 2%。柔性情况下接触碰撞力明显减小,波动频率降低,是由于柔性机械臂产生的弹性变形对接触碰撞起到了明显的缓冲作用。因此,考虑臂杆柔性可以减少机构因碰撞力过大而引起的破坏性碰撞。图9 刚性臂和柔性臂下关节2位置处的接触碰撞力对比F i g.9C o m p a r i s o no f c o n t a c t c o l l i s i o nf o r c ea t j o i n t2o fr i g i da r ma n df l e x i b l ea r m为了深入探讨柔性对间隙关节机械臂动力学特性的影响,本文通过改变机械臂的杨氏模量来模拟机械臂柔性程度,从而分析臂杆柔性对考虑了关节间隙的串联机器人动力学特性的影响。视关节1为理想关节,关节2位置处为恒定间隙,将大臂和小臂同时当作柔性臂进行研究。不同弹性模量下,关节2位置处的接触碰撞力如图1 0所示。由图可见,当弹性模量Ek分别为2、2 0和2 0 0 G P a时,对 应 的 碰 撞 力 峰 值 分 别 为6 4 6.3 0、4 1 0.6 1和4 0 5.1 3N,表明臂杆弹性模量越大,碰撞力峰值越大。当弹性模量相对较小,即柔性程度较大时,由于柔性可消耗部分能量,接触碰撞力降低。图1 0 不同弹性模量下关节2位置处的接触碰撞力对比F i g.1 0 C o m p a r i s o no fc o n t a c tc o l l i s i o nf o r c eo fj o i n t2u n d e rd i f f e r e n tm o d u l u so f e l a s t i c i t yv a l u e s图1 1和1 2分别给出了不同弹性模量下,机械臂末端平动速度和平动加速度的对比图。由图1 1可见,不同弹性模量下速度值和峰值波动情况差异较小,即臂杆柔性对机械臂末端速度影响较小。如图1 2所示,当柔度相对较大时,加速度幅值会发生大幅度变化。当弹性模量为2G P a时,加速度的波动范围为-5 6.2 8 1 1 6.9 6m/s2,非常不利于机械臂系统的运行安全。当弹性模量分别为2 0和2 0 0G P a时,末端加速度变化差异显著减小。图1 1 不同弹性模量下机械臂末端平动速度对比 F i g.1 1C o m p a r i s o no f t r a n s l a t i o n a l s p e e do fm a n i p u l a t o r e n du n d e rd i f f e r e n tm o d u l u so f e l a s t i c i t yv a l u e s441 第8期徐向阳,等:考虑关节间隙的柔性机械臂动力学模型及特性分析 h t t p:z k x b.x j t u.e d u.c n 图1 2 不同弹性模量下机械臂末端平动加速度对比 F i g.1 2C o m p a r i s o no f t r a n s l a t i o n a l a c c e l e r a t i o no fm a n i p u l a t o re n du n d e rd i f f e r e n tm o d u l u so f e l a s t i c i t yv a l u e s实际工作中,机械臂常常需要考虑负载情况。如图1 3所示,在负载情况下,接触碰撞力并非随着弹性模量的减小而无限下降,弹性模量减小会使变形增大,末端响应加剧。因此,在对机械臂弹性模量进行选择时,应该综合考虑实际工况以及精度要求。合适的柔性程度能够减弱机构冲击碰撞,但如果柔性程度过大,会导致加速度波动剧烈,从而影响机构整体性能。(a)三维图(b)俯视图图1 3 不同负载和弹性模量下接触碰撞力 F i g.1 3C o n t a c t c o l l i s i o nf o r c eu n d e rd i f f e r e n t l o a d sa n de l a s t i cm o d u l u s4 结 论本文通过构建关节间隙柔性机械臂关节转动副间隙模型、接触碰撞力模型和摩擦力模型,采用假设模态法建立了完整的考虑关节间隙柔性机械臂动力学响应的分析模型,并进一步分析了关节间隙值和弹性模量参数对动力学特性的影响,得到结论如下。(1)关节间隙增大,接触碰撞力增大,碰撞频率降低。关节间隙对机械臂末端平动速度影响较小,但对平动加速度影响十分显著。随着关节间隙增大,平动加速度变大,运动波动频率降低。间隙增大1倍可使碰撞力和加速度增大数倍甚至1 0倍以上,且导致末端抖动加剧,影响机构的稳定性和可靠性。(2)臂杆柔性引起的弹性变形,对接触碰撞能起到一定的缓冲作用。在有间隙情况下,弹性模量减小,一方面会减小关节碰撞力波动幅值,但另一方面却会增大机械臂末端平动加速度幅值,降低位置精度,影响机构稳定性。因此,在对柔性机械臂进行选择或优化设计时,可以适当减小杆件的弹性模量,以改善关节碰撞力;同时也应综合考虑实际负载、机构变形和位置精度等情况,从而在起到减缓冲击作用的同时满足精度要求。研究结果可为考虑间隙的柔性机械臂的稳定性和设计研究提供参考。参考文献:1 L UOJ i a y u a n,X U X i a n g y a n g,WE IP e i t a n g,e ta l.M a c h i n i n gp a t ho p t i m i z a t i o no f 3 Cl o c k i n gr o b o t su s i n ga d a p t i v ea n t c o l o n yo p t i m i z a t i o nJ.M o b i l eI n f o r m a-t i o nS y s t e m s,2 0 2 1,2 0 2 1:2 6 4 2 8 0 5.2 尚东阳,李小彭,尹猛,等.采用R B F神经网络辨识的柔性机械臂抑振控制策略 J.西安交通大学学报,2 0 2 2,5 6(6):7 6-8 4.S HAN GD o n g y a n g,L IX i a o p e n g,Y I N M e n g,e ta l.V i b r a t i o ns u p p r e s s i o nc o n t r o l s t r a t e g yf o r f l e x i b l em a-n i p u l a t o ru s i n gR B Fn e u r a ln e t w o r k