基于中点弦测法的中低速磁浮轨道不平顺误差研究.pdf

第 63 卷 第 7 期2023 年7 月铁道建筑Railway EngineeringVol.63 No.7July 2023文章编号：10031995（2023）07004507基于中点弦测法的中低速磁浮轨道不平顺误差研究李梦雪 张敏 左飞飞 马卫华 张一敏 罗世辉西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，成都 610031摘要 中低速磁浮轨道10 m弦测值作为评价轨道几何平顺性的标准时，由于弦测值在幅频范围内存在畸变并受基准线选取的影响而产生较大误差。本文推导了弦测法“以小推大”的传递函数，进一步定义了“以小推大”及其逆推算法的误差放大系数；分析了弦长、矩阵维度对误差积累特性的影响，结合传递函数分析不同波长对误差的敏感性差异，并通过数值模拟进行验证。结果表明：“以小推大”算法及其逆推算法在传递函数为0的波长范围内误差积累较严重，轨道不平顺功率谱密度出现阶跃信号；随着矩阵维度的增加，“以小推大”逆推算法的误差快速积累，推得的小弦长越小则误差积累越小。应用“以小推大”算法时应减小大小弦长比值；对于“以小推大”逆推算法，要减小采样步长、可换算最小弦长以及矩阵维度。关键词 中低速磁浮轨道；中点弦测法；数值模拟；轨道不平顺；误差分析；传递函数；弦长中图分类号 U237 文献标识码 A DOI：10.3969/j.issn.10031995.2023.07.09引用格式：李梦雪，张敏，左飞飞，等.基于中点弦测法的中低速磁浮轨道不平顺误差研究 J.铁道建筑，2023，63（7）：4551.中低速磁浮交通因其噪声低、爬坡能力强、转弯半径小等特点受到广泛关注，逐步实现商业化运营1-5。轨道不平顺是造成磁浮交通车-轨耦合振动现象的重要因素，直接影响着磁浮车辆运行安全性、稳定性。因此，减小轨道不平顺是解决磁浮交通的车-轨耦合振动问题的重要突破点6-10。我国对铁路轨道不平顺的研究较多，已经形成了成熟的理论和检测装置。但是，由于磁浮列车的运行方式及走行机构不同于传统轮轨，且磁浮交通起步较晚，缺少磁浮轨道不平顺的数据，目前对磁浮轨道不平顺缺乏系统性研究11-14，文献 15-17 采用美国六级谱或高速机场谱等作为磁浮轨道谱进行研究分析，还未形成统一的磁浮轨道不平顺功率谱。自20世纪中叶以来，弦测法就因其原理简单、不受速度影响、成本较低等优点广泛应用于轨道不平顺的测量18-19。由于弦测法的有效波长检测范围有限，文献 20 提出“以小推大”公式，使弦测法的有效波长检测范围增大。文献 21 根据弦测法传递函数重构有限长单位冲激响应（Finite Impulse Response，FIR）滤波器，将弦测值波长有效检测范围扩大至大于0.5倍弦长范围，并设置过渡带以减小误差。文献 22 将中点弦测法应用于长沙磁浮快线F轨轨道不平顺检测的相关研究中，并利用“以小推大”算法将测量的2.5 m弦测值换算得出10 m弦测值，并对10 m弦测值进行保留，填补了我国中低速磁浮F轨动态检测领域的空白。文献 23-24 提出基于弦测系统的轨迹几何误差理论及高频采样改进，但此方法仍有很大的误差积累。以上这些方法虽然都能在一定程度上改善弦测法的缺陷，但对弦测法的传递特性及误差积累特性的研究较少。而这方面的研究可以较好地了解中低速磁浮轨道不平顺时域空间和频域波长对误差的敏感性，为弦测法的广泛应用提供参考。为研究中低速磁浮轨道不平顺，分析中点弦测法的传递特性及误差积累特性，本文建立“以小推大”算法的传递函数模型，得出其传递特性并分析其误差积累特性；对“以小推大”逆推算法的误差积累特性进行分析，并利用数值模拟验证传递特性及误差积累特性；同时对长沙磁浮快线实测F轨10 m弦测值误差进行分析，为中低速磁浮轨道不平顺的研究提供借鉴。收稿日期：20221122；修回日期：20230130基金项目：国家自然科学基金(51875483，52102442)；中央高校科技创新项目(2682022CX060)第一作者：李梦雪(1996)，女，硕士研究生。E-mail:通信作者：马卫华(1979 )，男，研究员，博士。E-mail:铁道建筑第 63 卷1“以小推大”检测原理 1.1中低速磁浮轨道中点弦测法检测模型1.1.1中低速磁浮轨道不平顺通常将实际轨道几何形位与理想轨道形位的偏差表述为轨道不平顺。中低速磁浮轨道不平顺主要指两侧 F 轨在左右和高低方向的差值，如图 1所示。其中：x、y、z分别为钢轨纵向、横向和垂向；YA为轨向不平顺；YL、YR分别为左、右轨向不平顺。中低速磁浮轨道不平顺常分为高低、水平、轨向和轨距不平顺。高低不平顺：F轨顶面在垂向的不平顺，通常由左、右轨高低不平顺的平均值进行描述；水平不平顺：F轨高低不平顺在左右轨不同步所形成的沿轨长方向的差值；轨向不平顺：轨道在横向的不平顺，通常由轨道中心线的实际值与相对值的偏差表示，表达式为YA=(YL+YR)/2；轨距不平顺：伴随轨向不平顺形成，轨距不平顺（YG）由左右轨的轨向不平顺的差值表示，即YG=YR-YL。1.1.2中低速磁浮轨道弦测法测量原理中点弦测法适用于中低速磁浮轨道不平顺检测22，其原理见图2。将间隔L/2的激光传感器放置在测量基准x轴的a、d、c处，bd、aa、cc的弦线测量值分别为f(x)、f(x-L/2)、f(x+L/2)，则弦长为L的弦测值 g0(x)为弦 线 中 点 测 量 值f(x)与 弦 线 两 端 测 量 值f(x-L/2)、f(x-L/2)的偏差，即g0(x)=f(x)-f(x-L/2)+f(x+L/2)/2（1）对式（1）进行离散傅里叶变换，f(x)、g0(x)分别进行傅里叶变换得到X()、Y()，进而得到弦测值的幅值响应 H()及相位响应()的规律，即传递函数为 H()=Y()X()=1-cosL2()=0 （2）式中：为空间频率，=2/，为波长。由传递函数可以看出弦测值幅值存在畸变，因此，弦长固定时弦测值波长的有效检测范围有限。中低速磁浮轨道进行动力学仿真时，轨道不平顺的波长通常定义在 0.5 50 m10。根据 CJJ/T 2622017 中低速磁浮交通设计规范，通常将10 m弦测值作为评价中低速磁浮轨道几何不平顺的标准。要得到0.5 50 m波长的轨道不平顺，需要0.5、10 m弦测值，其波长的有效检测范围见表125。1.2“以小推大”检测原理通常使用“以小推大”算法获得大弦长的弦测值，以扩大波长的有效检测范围。如图3所示，当采样步长=L/2时，大弦长的弦测值（GAB）可由2n-1个小弦长为L的弦测值gi(i=1，2，2n-1)求得。其中，n为大小弦长的比值，即n=|AB|/L。工程中弦测值远小于弦长，则弦测值gi可近似认为与AC、BD平行。由相似三角形原理得出各相似三角形在AC或BD上的边长（Xi）、线段AC的长度（AC）、线段BD的长度（BD）、大弦长的弦测值（GAB）分别为Xi=2igi i=1，2，n 2(2n-i)gi i=n+1，n+2，2n（3）图1中低速磁浮轨道不平顺图2中点弦测法原理表 1弦测值波长的有效检测范围弦长/m0.510起始波长/m0.56终止波长/m6100图3“以小推大”算法原理46第 7 期李梦雪等：基于中点弦测法的中低速磁浮轨道不平顺误差研究 AC=i=1nXii=1n2igi （4）BD=i=n+12nXii=n+12n2(2n-i)gi （5）GAB=AC+BD2=i=1nigi+i=n+12n(2n-i)gi （6）1.3“以小推大”传递函数由式（2）可知，传递函数可以很好地描述幅频的传递特性。为了更好地描述“以小推大”算法的传递特性，提出“以小推大”算法的传递函数。“以小推大”算法的测量向量M=1，2，n，2，1，小弦长的弦测值（gi）可以描述成关于弦线前进位移（x）的函数g x-(n-i)L/2，用向量F表示，表达式为F=g1g2gng2n-2g2n-1=g x-(n-1)L/2g x-(n-2)L/2g xg x+(n-2)L/2g x+(n-1)L/2（7）因此，可将式（6）中大弦长的弦测值写成关于x的线性函数G（x），即G(x)=12n21Tg x-(n-1)L/2g x-(n-2)L/2g xg x+(n-2)L/2g x+(n-1)L/2=M F（8）对式（8）进行傅里叶变换，可以得到“以小推大”传递函数。小弦长弦测值g(x)、大弦长弦测值G(x)进行傅里叶变换得到X()、Y()，进而得到弦测值的幅值响应 H()及相位响应()的规律，即传递函数为 H()=Y()X()=n+i=1n2(n-i)cosn-(n-i)L2()=0（9）小弦长为2.5 m、大弦长为10 m时，n=4，对比“以小推大”传递函数的数据拟合曲线和公式推导曲线，结果见图4（a）。可知：小弦长为2.5 m、大弦长为10 m时，数据拟合曲线与公式推导曲线吻合良好，说明“以小推大”传递函数可以很好地描述“以小推大”算法的传递特性。大弦长为10 m，n取值不同时，传递函数的公式推导曲线见图4（b）。可知：当大弦长固定时，小弦长越小，短波范围内畸变越严重，长波范围内幅值响应越大。由个小弦长可推得-2(n-1)个大弦长的弦测值，记为GH。其中第k个大弦测值GH，k的表达式为GH，k=i=1nigi+k+i=n+12n(2n-i)gi+kk=0，1，-2n+1（10）式中：gi+k为第i+k个小弦测值。将式（10）整理成线性方程组，表达式为GH=GH，0GH，-2n+1=M00Mg1g（11）定义T为转换矩阵，即T=M00M（12）则式（11）可表达为GH=T F（13）2“以小推大”误差分析 实际工程应用中，弦测值必定存在测量误差。为研究“以小推大”算法的误差积累特性，对式（13）引入随机误差。GH为真实大弦测值，则引入随机误差e后实测大弦测值（G*H）为G*H=T (F+e)=GH+T e（14）由此可得“以小推大”模型的绝对误差Eabs为Eabs=|G*-G|=T e（15）可以看出，Eabs只与T和e有关。为研究误差积累特性，设 e 服从均值为 0、方差为2的正态分布，即E(eu)=0，E(e2u)=2。其中，eu为e中第u个元素，u=1，2，。第j个测量值的绝对误差，也就是Eabs中第j个元素为ej=u=1Tjueu，其中，Tju为T中第j行第u列的元素。ej的均值及方差分别可以描述为图4“以小推大”传递函数曲线（大弦长10 m）47铁道建筑第 63 卷 E(ej)=E()u=1Tjueu=u=1Tju E(eu)=0（16）E ej-E(ej)2=E(ej)2=E()u=1T2jue2u=2u=1T2ju （17）定义第j个测量值的误差放大系数为Cj，表达式为Cj=u=1T2ju=i=1nn2（18）显然，Cj与测量误差无关，只与大小弦长比值（n）有关，不同位置的放大系数相等。取不同大小弦长进行计算，得到不同n下的误差放大系数，见图5。可知：Cj随n增大而增大。在满足中低速磁浮轨道不平顺波长范围的情况下，当小弦长为0.5 m、大弦长为10 m时误差积累最大，Cj=73.08。长沙磁浮快线10 m弦测值是由2.5 m弦测值推得22，即 n=4，算得Cj=6.63。由此可知，当测量精度为0.01 mm标准差时，误差可控制在0.07 mm以内。3“以小推大”逆推算法误差分析 3.1“以小推大”逆推算法为扩大波长有效检测范围，文献 25 中提出一种“以小推大”逆推算法。由于T不是满秩矩阵，则由式（13）求得的F不是唯一解，因此引入边界条件。将两端约束幅值定义为0，则T可转换成满秩矩阵T，即T=n101n101n（19）可求得T的逆矩阵S，则“以小推大”逆推算法表达式为F=S GH（20）3.2误差放大系数上述方法在不考虑误差时可以很好地由大弦测值逆推得到小弦测值。但是，实际测量过程中不可避免地会产生误差，因此有必要对“以小推大”逆推算法进行误差积累特性分析。对式（20）引入随机误差e，则反演模型可表示为F*=S G*H=S (GH+e)=F+S e（21）式中：F*为实测小弦长的弦测值。因此，反演模型的绝对误差（Eabs）与e的关系可以描述为Eabs=|F*-F|=S e（22）反演模型中第j个测量值的绝对误差，也就是Eabs中第j个元素为ej=z=1-2(n-1)Sjzez。其中：Sjz为S中第j行第z列的元素；ez为e中第z个元素。ej的均值及方差分别可以描述为 E(ej)=E z=1-2(n-1)Sjzez=z=1-2(n-1)SjzE(ez)=0（23）E ej-E(ej)2=E(ej)2=E z=1-2(n-1)S2jze2z=2z=1-2(n-1)S2jz （24）则反演模型中第j个测量值的误差放大系数（Cj）的表达式为Cj=z=1-2(n-1)S2jz=Sj2（25）3.3矩阵维度及弦长对误差的影响当大弦测值为10 m时，分析矩阵维度及小弦长对误差放大系数的影响。当小弦长取5 m时，不同矩阵维度下误差放大系数的变化曲线见图6（a）。可知：当弦长确定时，误差放大系数随矩阵维度的增大而增大。当矩阵维度取1 000时，不同小弦长下误差放大系数的变化曲线见图 6（b）。可知：当矩阵维度确定图5不同n下的误差放大系数图6不同参数下误差放大系数的变化曲线48第 7 期李梦雪等：基于中点弦测法的中低速磁浮轨道不平顺误差研究时，小弦长越小，误差放大系数越小。由式（21）可知，“以小推大”逆推模型的误差项只与S和e有关，且当S e 0时F*F，因此减小误差可以从两方面入手：减小测量时的随机误差；优化逆矩阵（S），减小误差积累。4 数值模拟验证 4.1误差分析数值仿真流程为验证前述“以小推大”逆推算法及误差积累特性分析的可靠性，对美国六级谱进行弦测法模拟。仿真流程见图7。4.2算例分析采用里程为1 km的美国六级谱轨向不平顺进行弦测模拟，得到10 m弦测值，并引入0.01 cm的随机误差（大于0.07 mm）。引入误差后的弦测值见图8（a）。可知：10 m弦测值的幅值不超过1.5 cm。由于矩阵维度固定时小弦长越小误差积累越小，因此由10 m弦测值推算出0.5 m弦测值，见图8（b）。可知：引入误差后逆推得到的0.5 m弦测值符合3.3节中的误差积累特性，时域范围内轨道中部误差积累较大。可见，“以小推大”逆推算法不仅可以满足中低速磁浮轨道不平顺对波长的需求，而且可以减小误差积累，满足工程需求。小弦长为0.5 m、大弦长为10 m时，引入误差前后0.5 m 弦测值与传递函数曲线的对比见图 9（a）。可知：在频域范围内，引入误差后，0.5 m弦测值总体和传递函数曲线相符，但0.5 m弦测值不能很好地描述幅值响应为0处的波长的轨道不平顺。幅值响应为0处的波长的轨道不平顺误差积累较大，轨道不平顺功率谱密度 图9（b）出现阶跃信号。将特殊波长范围的阶跃信号去除后，可以很好地反演出0.5 100 m波长的轨道不平顺。4.3实测数据验证利用长4 km的长沙磁浮快线10 m弦测值实测数据（图10）对前述误差积累特性进行验证，并对实测数据在测量中的误差及产生原因进行分析。利用逆推算法将10 m弦测值换算得0.5 m弦测值，见图11（a）。可知：0.5 m弦测值的均值约为0，离群点约占10%，离群点明显为异常值，且呈线性分布，这是“以小推大”逆推算法边界条件的引入及测量基准线的选取造成的。实测数据整体测量误差较小，且由于边界条件的引入及基准线的选取，端部误差较大。由于离群点占比较少，可以将离群点替换为均值。替换后0.5 m弦测值见图11（b）。图7数值仿真流程图8弦测值里程曲线图10长沙试验线实测数据图11长沙试验线0.5 m弦测值图9轨道不平顺传递函数及功率谱密度曲线49铁道建筑第 63 卷将长沙试验线左右轨向弦测值经逆滤波后得到左右轨向不平顺，再将左右轨向不平顺转化为轨距不平顺，并与实测长沙试验线轨距不平顺进行功率谱密度对比，见图12。可知：在频域内，误差主要体现在传递函数为0的波长范围内，且整体误差较小，这些噪声对总体结果无影响。因此，弦测值可以很好地模拟0.5 100 m波长的轨道不平顺，并应用于工程实践。5 结论 建立中点弦测法“以小推大”及其逆推算法的误差积累模型，定义了误差放大系数，分析了不同参数对误差积累的影响，并利用数值模拟及实测数据对误差积累模型进行了验证，得到以下结论。1）“以小推大”算法在不同位置处误差积累特性相同，误差放大系数随着大小弦长的比值n增大而增大。在满足中低速磁浮轨道不平顺的波长检测范围内n的最大值为20，误差放大系数最大为73.08。2）“以小推大”逆推算法在不同位置处误差积累特性不同，端部的误差积累较小，轨道中部的误差积累较大。降低误差积累可以从以下三点考虑：降低测量误差；减小矩阵维度；大弦长固定时尽量推得最小的弦测值。3）在频域内，“以小推大”及“以小推大”逆推算法的误差积累具有相似性，波长在传递函数为0范围内的误差积累较严重。4）长沙试验线误差，在时域范围内出现离群点，端部误差较大，在频域范围内主要在传递函数为0的波长范围内；符合误差积累特性的分析，且总体测量误差较小，弦测值可以很好地模拟0.5 100 m波长范围内的轨道不平顺。参考文献1 马卫华，罗世辉，张敏，等.中低速磁浮车辆研究综述 J 交通运输工程学报，2021，21（1）：199-2162 PARK D Y，SHIN B C，HAN H.Koreas Urban Maglev Program J.Proceedings of the IEEE，2009，97（11）：1886-18913 吴祥明.磁浮列车 M.上海：上海科学技术出版社，20034 翟婉明，赵春发.现代轨道交通工程科技前沿与挑战 J 西南交通大学学报，2016，51（2）：209-2265 LEE H W，KIM K C，LEE J.Review of Maglev Train TechnologiesJ.IEEE Transactions on Magnetics，2006，42（7）：1917-19256 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Midpoint Chord Measurement MethodLI Mengxue，ZHANG Min，ZUO Feifei，MA Weihua，ZHANG Yimin，LUO ShihuiState Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，ChinaAbstract When the 10 meter chord measurement value of a medium and low speed maglev track was used as a standard to evaluate the geometric irregularity of the track，significant errors occur due to the distortion of the chord measurement value in the amplitude frequency range and the influence of the reference line selection.This paper derived the transfer function of“using small to push big”and further defined the error amplification coefficients of“using small to push big”and its inverse calculation methods.The influence of chord length and matrix dimension on error accumulation characteristics was analyzed，the sensitivity differences of different wavelengths to errors were analyzed by combining with transfer function，which was verified through numerical simulation.The results show that the error accumulation of“using small to push big”and its inverse calculation method is serious within the wavelength range of the transfer function of 0，and the spectral density of the track irregularity power has a step signal.As the dimension of the matrix increases，the error accumulation of the“using small to push big”inverse calculation method quickly accumulates.The smaller the derived small chord length，the smaller the error accumulation will be.When applying the algorithm of“using small to push big”，the ratio of size to chord length should be reduced.For the“using small to push big”inverse algorithm，it is necessary to reduce the sampling step size，the minimum chord length which can be converted and the matrix dimension.Key words medium and low speed maglev track；midpoint chord measurement method；numerical simulation；track irregularity；error analysis；transfer function；chord lengthCitation format：LI Mengxue，ZHANG Min，ZUO Feifei，et al.Research on Irregularity Error of Medium and Low Speed Maglev Track Based on Midpoint Chord Measurement Method J.Railway Engineering，2023，63（7）：4551.（编辑：苗蕾 校对：李付军）51